Vytýkání

Ještě předtím, než se pustíme do vytýkání, si probereme roznásobování závorek, protože to s vytýkáním samotným velice souvisí. Dalo by se dokonce říci, že vytýkání je zcela opačná funkce k roznásobování závorek.

Roznásobování závorky

Roznásobování závorky je jednoduchá operace, který si ukážeme na příkladu: vypočítejme výraz 3 · (5 + 8). Máme dva způsoby, jak postupovat. Můžeme výraz v zárovce sečíst a dostaneme 3 · 13, protože 5 + 8 = 13.

Druhý způsob je, že závorku roznásobíme. To znamená, že vezmeme číslo před závorkou, trojku, a tímto číslem vynásobíme obě čísla v závorce. Znaménko plus v závorce zůstane. Dostaneme tak:

$$ 3 \cdot (5 + 8) = (3 \cdot 5 + 3 \cdot 8) $$

Oba postupy vedou ke stejnému výsledku: (3 · 5 + 3 · 8) = 15 + 24 = 39.

Proč roznásobení závorky funguje

Proč si můžeme tento postup dovolit, proč roznásobování funguje? Představme si součin jako rozepsaný součet. Pokud například napíšeme 3 · 7, říkáme tím, že chceme třikrát sečíst číslo sedm, tj. 3 · 7 = 7 + 7 + 7.

Stejně tak můžeme ale rozepsat příklad se závorkou: 3 · (5 + 8) je totéž jako (5 + 8) + (5 + 8) + (5 + 8). Protože u sčítání nezáleží na pořadí, můžeme odstranit závorky a přesunou pětky a osmičky vedle sebe takto: 5 + 5 + 5 + 8 + 8 + 8. A tady už vidíme, že tento výraz můžeme přepsat pomocí násobení takto: 3 · 5 + 3 · 8, což je to, co jsme provedli u roznásobení.

Příklady na roznásobování

  1. Roznásobte 5 · (4 + 7). Opět jen čísla v závorce vynásobíme pětkou a získáme 5 · (4 + 7) = 5 · 4 + 5 · 7.
  • Roznásobte 6 · (x + 4). Neznáme se nelekejme a zkrátka ji taky jen vynásobme šestkou. Dostáváme: 6 · (x + 4) = 6x + 6 · 4.
  • Roznásobte x · (4 + 173). Teď máme neznámou před závorkou, takže obě čísla uvnitř závorky vynásobíme x. Získáme x · (4 + 173) = 4x + 173x.
  • Roznásobte: 4x · (2x + 7). Teď máme neznámou ped závorkou i v ní, ale zároveň máme před závorkou složitější výraz. To opět nevadí, obsah závorky vynásobíme 2x takto: 4x · (2x + 7) = 4x · 2x + 4x · 7 = 8x2 + 28x.

Jednoduché vytýkání

Vytýkání je opačný postup oproti roznásobení závorky. Na začátku máme například výraz 10x + 5. Pokud nyní nalezneme nějaké číslo, kterým můžeme oba sčítance nějak rozumně podělit, můžeme toto číslo tak zvaně vytknout. V našem výrazu to bude číslo 5, protože 10x / 5 = 2x a 5 / 5 = 1. Můžeme tak napsat, že

$$ 10x + 5 = 5 \cdot (2x + 1). $$

Když zpětně roznásobíme závorku 5 · (2x + 1), dostaneme zase 10x + 5. Cílem vytýkání je obyčejně daný výraz zjednodušit nebo ho dostat do tvaru součinu, abychom mohli jednu sečíst zkrátit ve zlomku.

Vytýkání neznámé

Často se vytýká samotná neznámá, nemusíme vytýkat pouze číslo. Takže pokud máme výraz 3x2 + 7x, můžeme z něj vytknout x, tj. oba výrazy vydělíme x, přidáme závorky a závorku vynásobíme x. Dostaneme 3x2 + 7x = x · (3x + 7).

Obvykle se snažíme vytknout co „nejvíce“ věcí, takže pokud bychom měli výraz 8x2 + 12x, můžeme vytknout pouze x a dostat 8x2 + 12x = x · (8x + 12), ale vidíme, že bychom ze závorky mohli vytknout ještě číslo 4. Můžeme tak udělat teď, dodatečně a získáme: x · (4 · (2x + 3)). Ty vnější závorky můžeme odstranit a získáme: 4x · (2x + 3).

Ke stejnému výsledku bychom se ale dostali, kdybychom z původního výrazu 8x2 + 12x vytkli přímo výraz 4x. Pokud bychom to rozepsali, získali bychom

$$ 8x^2 + 12x = 4x \cdot (8x^2 / 4x + 12x / 4x) = 4x \cdot (2x + 3). $$

Vytýkání složitějších výrazů

Zatím jsme vytýkali pouze z výrazů, které obsahují dva sčítance. My ale můžeme vytýkat i z delších výrazů. Například z 7x3 + 5x2 + 2x můžeme vytknout x a získáme x · (7x2 + 5x + 2).

Nemusíme také vždy vytýkat pouze nějaké hezké číslo, můžeme vytknout cokolic. Například z výrazu 6x + 7 můžeme vytknout číslo 2, získáme ale nehezký výsledek, protože oba výrazy musíme podělit dvěma. U 6x nám to vyjde v pohodě, protože 6x / 2 = 3x, ale u čísla 7 už nám to moc hezky nevyjde: 7 / 2 = 3, 5. Dostaneme tak výsledný výraz: 6x + 7 = 2 · (3x + 3, 5).

Řešené příklady

  • Nějak hezky vytkněte 25x + 45. Na první pohled je vidět, že můžeme vytknout číslo 5, takže dostáváme 5 · (5x + 9).

  • Zjednodušte zlomek

    $$ \frac{3x^2+7x}{x}. $$

    Jako první v čitateli zlomku vytkneme x. Dostaneme tak v čitateli x · (3x + 7). Nyní můžeme v celém zlomku zkrátit x.

    $$ \frac{3x^2+7x}{x} = \frac{x \cdot (3x + 7)}{x} = 3x + 7 $$

  • Nějak hezky vytkněte −2x2 − 8x. Tady máme poprvé záporná čísla. To vůbec nevadí, stejně jako jsme vytýkali kladná čísla, tak můžeme vytýkat záporná. Můžeme tak hned najednou vytknout −2x. Dostaneme

    $$ -2x^2-8x = -2x (x + 4). $$