Jednostranná limita

Běžně počítáme oboustrannou limitu, tedy zjišťujeme, k jakému bodu se blíží funkční hodnoty jak zleva, tak zprava. My ale můžeme zjišťovat pouze jednostrannou limitu — pouze zleva nebo pouze zprava.

Jednostranné limity

Mějme nějakou funkci f(x) a nějaký bod x₀, ve kterém chceme spočítat limitu. Normálně bychom napsali:

$$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=?$$

K bodu x₀ se ale můžeme blížit pouze z nějaké strany — buď zleva, nebo zprava. Zapisuje se to pomocí značek minus a plus v horním indexu. Takže „x blížící se k sedmičce zleva“ a „x blížící se k desítce zprava“ bychom zapsali takto:

$$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 7^{-}}{lim}f(x)& =& L_1\\ \underset{x\to {10}^{+}}{lim}f(x)& =& L_2\end{array}$$

Definici upravíme jednoduše tak, že místo celého okolí hromadného bodu budeme brát pouze jeho levé či pravé okolí. Upravená definice limity zprava:

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in D(f))((x_0<x<x_0+\delta )\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ).$$

Všimněte si, že v implikaci bereme pouze ta x, která jsou větší než x₀ — bereme tak ta x, která jsou na číselné ose napravo od čísla x₀. Definice limity zleva:

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in D(f))((x_0-\delta <x<x_0)\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ).$$

Levá a pravá limita se obecně nemusí rovnat. Může nastat několik případů: funkce má v bodě limitu zleva i zprava, funkce má jen jednu z těchto limit a nakonec nemusí mít ani jednu z těchto limit.

Přitom platí, že funkce f má v bodě x₀ limitu právě tehdy, když má v tomto bodě limitu zleva a zprava a obě limity se rovnají. Pokud má obě jednostranné limity, ale tyto limity jsou různé, pak funkce nemá v daném bodě limitu — má pouze jednostranné limity.

Zkusíme si vše demonstrovat na jednoduché funkci f(x) = 1/x. Graf následuje:

Triviálním případem je limita pro x blížící se k jedné. V bodě jedna je funkce spojitá, je definovaná a vůbec je to hezký příklad. Zleva i zprava se funkční hodnota blíží jedničce, takže i limita bude jedna. Co ale, když budeme chtít spočítat limitu pro x blížící se k nule?

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{x}=?$$

Toto už je zajímavý příklad. Všimněte si, že se snažíme hledat limitu v bodě, který není v definičním oboru funkce. Pokud dosadíme do funkce hodnotu nula, získáme neplatný výraz (nulou nepodělíš!). To nám vůbec nevadí, protože v definici se mluví o hromadném bodě a nula je hromadným bodem definičního oboru, protože v každém jeho okolí nalezneme nějaký prvek definičního oboru funkce.

Když se podíváme na graf a začneme se z levé strany blížit nule, vidíme, že se funkční hodnota neustále snižuje. Příklady:

$$\begin{array}{rcl}f(-10)& =& -1/10\\ f(-1)& =& -1\\ f(-\frac{1}{2})& =& -2\\ f(-1/10)& =& -10\end{array}$$

Pokud bychom si vzali nějaké záporné číslo, které se „hodně“ blíží nule, třeba −0,000 001, dostali bychom jako funkční hodnotu „velmi“ malé číslo: −1 000 000.

Čím blíže budeme k nule z levé strany, tím více se funkční hodnota bude blížit k minus nekonečnu. Naopak vidíme, že pokud se k nule blížíme z pravé strany, potom funkční hodnota roste. Čím více se blížíme k nule zprava, tím více se funkční hodnota blíží k nekonečnu. Jak to vyřešíme? Jednoduše řekneme, že funkce nemá v bodě nula limitu. Má pouze dvě různé jednostranné limity:

$$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{1}{x}& =& -\mathrm{\infty }\\ \underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{1}{x}& =& +\mathrm{\infty }\end{array}$$