L'Hospitalovo pravidlo

L'Hospitalovo pravidlo (čti: lopitalovo pravidlo) lze někdy použít pro výpočet limit ve tvaru podílu.

Definice

Pokud počítáme limitu funkce v bodě, pak si za jistých okolností můžeme vypomoci derivacemi. Mějme tedy funkci ve tvaru podílu, tj. máme funkce f(x) a g(x) a hledáme limitu

$$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}.$$

Pokud platí $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=\underset{x\to x_0}{lim}g(x)=0$, obě funkce mají derivaci na nějakém okolí bodu x₀ (v samotném bodě x₀ ji mít nemusí) a existuje limita

$$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)},$$

pak platí vztah:

$$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}.$$

Pokud limita $\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$ neexistuje, tak to neznamená, že neexistuje ani limita $\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}$. Pokud neexistuje limita s derivacemi, musíme původní limitu bez derivací vypočítat jiným způsobem.

Příklad

1. Vypočítejte limitu

   $$\underset{x\to 3}{lim}\frac{x^2-9}{x^2-x-6}$$

   Můžeme tento příklad řešit L'Hospitalovým pravidlem? Jako první musíme ověřit, zda je limita obou funkcí (té ve jmenovateli zlomku a té v čitateli) v bodě x₀ = 3 rovna nule. Označme si funkce f(x) = x² − 9 a g(x) = x² − x − 6. Obě jsou mnohočleny, a tedy spojité, takže jejich limity jsou rovny funkčním hodnotám:

   $$\begin{array}{rcl}f(3)& =& 3^2-9=0\\ g(3)& =& 3^2-3-6=0\end{array}$$

   První podmínka je splněna. Všimněte si, že limitu nemůžeme vypočítat prostě tak, že za x dosadíme číslo tři, protože celá funkce je v bodě x₀ = 3 nespojitá, resp. vůbec tam nemá funkční hodnotu (tu nemá proto, že abychom ji získali, museli bychom dělit nulou). Nyní můžeme zkusit použít L'Hospitalovo pravidlo a zderivovat obě funkce. Pozor, nederivujeme podle vzorce pro podíl, derivujeme zvlášť funkci v čitateli a zvlášť funkci ve jmenovateli. Takže získáme:

   $$\begin{array}{rcl}{f}^{\prime }(x)& =& 2x\\ g^{\prime }(x)& =& 2x-1\end{array}$$

   Místo předchozí limity tak můžeme řešit tuto limitu:

   $$\underset{x\to 3}{lim}\frac{2x}{2x-1}$$

   Tato funkce je v bodě x₀ = 3 spojitá, takže už můžeme pouze dosadit za x hodnotu tři a vypočítat funkční hodnotu celé funkce:

   $$\underset{x\to 3}{lim}\frac{2x}{2x-1}=\frac{2\cdot 3}{2\cdot 3-1}=\frac{6}{5}$$

   Vidíme, že limita této funkce existuje, proto existuje i limita $\underset{x\to 3}{lim}\frac{x^2-9}{x^2-x-6}$ a tyto limity jsou si rovny. Platí tak:

   $$\underset{x\to 3}{lim}\frac{x^2-9}{x^2-x-6}=\underset{x\to 3}{lim}\frac{2x}{2x-1}=\frac{6}{5}.$$

2. Vypočtěte limitu

   $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{\sin x}$$

   Jak vypadá situace v bodě x₀ = 0? Opět označíme f(x) = x a g(x) = sin x. Platí, že f(0) = 0 a g(0) = 0. Dostáváme podíl $\frac{0}{0}$, funkce je v daném bodě nespojitá. Můžeme zkusit použít L'Hospitalovo pravidlo. Zderivujeme obě funkce:

   $$\begin{array}{rcl}{f}^{\prime }(x)& =& 1\\ g^{\prime }(x)& =& \cos x\end{array}$$

   Derivace funkcí máme, zkusíme vypočítat limitu

   $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{\cos x}$$

   Jaká nastane situace v bodě x₀ = 0? Protože cos(0) = 1, dostáváme zlomek $\frac{1}{1}=1$. Funkce je v bodě x₀ = 0 spojitá, takže platí

   $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{\cos x}=\frac{1}{1}=1.$$

   Protože existuje tato limita, existuje i limita $\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{\sin x}$ a tyto limity jsou si rovny. Dostáváme

   $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{\sin x}=1$$