Nevlastní limita ve vlastním bodě

Limita funkce je jedním z nejdůležitějších pojmů matematické analýzy. Popisuje chování nějaké funkce v okolí určitého bodu, díky čemu můžeme například definovat spojitost funkce. Limita funkce nám pomůže pochopit chování funkce i v místech, ve kterých není vůbec definovaná.

Nevlastní limita ve vlastním bodě

V předchozí části jsme se bavili o vlastní limitě ve vlastním bodě. Bod x₀ je vlastní, pokud x₀ ∈ ℝ, pokud je to reálné číslo. Ale bodem můžeme myslet i nekonečno — takový bod pak nazveme nevlastní. Rozlišujeme plus a minus nekonečno: +∞, −∞. Nevlastní limita ve vlastním bodě tak znamená, že máme nějakou funkci f, vlastní bod x₀ a limita v tomto bodě nám vyjde nekonečno. Příkladem takové funkce může být $f(x)=|\frac{1}{x}|$. Graf:

Ve vlastním bodě x₀ = 0 má funkce limitu plus nekonečno — ať už se k x přibližujeme z kterékoliv strany, vždy nám hodnota roste do nekonečna. Nechť x₀ je hromadným bodem definičního oboru funkce f. Funkce f má v bodě x₀ limitu +∞, pokud

$$(\forall K\in\mathbb{R}),(\exists\delta > 0),(\forall x\in D(f)),(0 < |x-x_0| < \delta\Rightarrow f(x) > K)$$

a −∞ pokud

$$(\forall K\in\mathbb{R}),(\exists\delta>0),(\forall x\in D(f)),(0 < |x-x_0| < \delta\Rightarrow f(x) < K).$$

Pokud je definice splněna, můžeme napsat

$$\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=\pm\infty.$$

Co nám definice říká? Proměnná K představuje, v první definici, jakousi hranici na ose y. Definice pak říká, že ať zvolíme jakkoliv velkou (vysokou) hranici K, vždy najdeme nějaké δ-okolí bodu x₀, přičemž pro všechny prvky z tohoto okolí bude platit, že mají funkční hodnotu větší než K.

Pro příklad si zkusíme ukázat definici na předchozí funkci — budeme hledat limitu v bodě x₀ = 0. Zvolíme K = 4:

Nyní musíme najít takovou hodnotu δ, aby všechny body z intervalu (−δ, 0) ∪ (0, δ) měly funkční hodnotu větší než K. Můžeme zvolit například δ = 0,2. Když to zakreslíme do obrázku, dostaneme:

Vidíme, že funkční hodnoty, které jsou v intervalu (−δ, 0) ∪ (0, δ) se nachází nad hodnotou K. Můžeme si to také spočítat. Pro hodnotu x = −0,2 dostáváme f(−0,2) = |−1/0,2| = 5. Funkce je v záporných číslech rostoucí, takže pro všechna x z intervalu (−0,2; 0) bude bude funkční hodnota určitě větší než pět a tedy i větší než K = 4. Podobně pro druhý interval.

Teď jsme to ukázali jen pro jedno konkrétní K. Pokud má mít funkce limitu v nekonečnu, musí to platit pro jakékoliv K. Zkusíme si to dokázat. Protože f(x) = f(−x) (funkce je sudá), stačí, když budeme počítat pouze s kladnou variantou, tj. s omezíme se na interval (0, ∞).

Máme dané nějaké K a my musíme najít takové δ, aby platilo, že pro všechna x ∈ (0, δ) je f(x) > K. Protože je funkce v kladném intervalu klesající, stačí, když nalezneme takové δ, pro které platí f(δ) > K. Pak to bude jistě platit i pro všechna x ∈ (0, δ). Nyní řešíme tuto nerovnici: f(δ) > K, po dosazení:

$$\frac{1}{\delta} > K.$$

Celou nerovnici nyní vynásobíme δ. Hodnota δ je z definice vždy kladná, takže si to můžeme dovolit. Dostaneme:

$$1 > \delta\cdot K$$

Uvažujme nyní, že K > 0. Pro K ≤ 0 je důkaz triviální, protože f(x) > 0 pro všechna x. Nyní můžeme celou rovnici vydělit K:

$$\frac{1}{K}>\delta.$$

To je výsledek. Pokud budeme mít zadané K, hodnotu δ nalezneme tak, že vezmeme jakékoliv číslo, které je menší než hodnota 1/K (a větší než nula, podle definice) a získáme náš interval (0, δ).

V předchozím případě jsme měli K = 4. Pokud si dosadíme, tak zjistíme, že 1/4>δ. Delta musí být menší než jedna čtvrtina. My jsme zvolili 0,2, jednu pětinu a vyšlo nám to správně.