Nevlastní limita ve vlastním bodě

Limita funkce je jedním z nejdůležitějších pojmů matematické analýzy. Popisuje chování nějaké funkce v okolí určitého bodu, díky čemuž můžeme například definovat spojitost funkce. Limita funkce nám pomůže pochopit chování funkce i v místech, ve kterých není vůbec definovaná.

Nevlastní limita ve vlastním bodě

V předchozí části jsme se bavili o vlastní limitě ve vlastním bodě. Bod x₀ je vlastní, pokud x₀ ∈ ℝ, pokud je to reálné číslo. Ale bodem můžeme myslet i nekonečno — takový bod pak nazveme nevlastní. Rozlišujeme plus a minus nekonečno: +∞, −∞. Nevlastní limita ve vlastním bodě tak znamená, že máme nějakou funkci f, vlastní bod x₀ a limita v tomto bodě nám vyjde nekonečno. Příkladem takové funkce může být $f(x)=|\frac{1}{x}|$. Graf:

Ve vlastním bodě x₀ = 0 má funkce limitu plus nekonečno — ať už se k x₀ přibližujeme z kterékoliv strany, vždy nám hodnota roste do nekonečna. Nechť x₀ je hromadným bodem definičního oboru funkce f. Funkce f má v bodě x₀ limitu +∞, pokud

$$(\mathrm{\forall }K\in \mathbb{R})(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in D(f))(0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow f(x)>K)$$

a −∞ pokud

$$(\mathrm{\forall }K\in \mathbb{R})(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in D(f))(0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow f(x)<K).$$

Pokud je definice splněna, můžeme napsat

$$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=\pm \mathrm{\infty }.$$

Co nám definice říká? Proměnná K představuje, v první definici, jakousi hranici na ose y. Definice pak říká, že ať zvolíme jakkoliv velkou (vysokou) hranici K, vždy najdeme nějaké redukované δ-okolí bodu x₀, přičemž pro všechny prvky z tohoto okolí bude platit, že mají funkční hodnotu větší než K.

Pro příklad si zkusíme ukázat definici na předchozí funkci — budeme hledat limitu v bodě x₀ = 0. Zvolíme K = 4:

Nyní musíme najít takovou hodnotu δ, aby všechny body z intervalu (−δ, 0) ∪ (0, δ) měly funkční hodnotu větší než K. Můžeme zvolit například δ = 0,2. Když to zakreslíme do obrázku, dostaneme:

Vidíme, že funkční hodnoty, které jsou v intervalu (−δ, 0) ∪ (0, δ) se nachází nad hodnotou K. Můžeme si to také spočítat. Pro hodnotu x = −0,2 dostáváme f(−0,2) = |−1/0,2| = 5. Funkce je v záporných číslech rostoucí, takže pro všechna x z intervalu (−0,2; 0) bude funkční hodnota určitě větší než pět a tedy i větší než K = 4. Podobně pro druhý interval.

Teď jsme to ukázali jen pro jedno konkrétní K. Pokud má mít funkce limitu plus nekonečno, musí to platit pro jakékoliv K. Zkusíme si to dokázat. Protože f(x) = f(−x) (funkce je sudá), stačí, když budeme počítat pouze s kladnou variantou, tj. omezíme se na interval (0, ∞).

Máme dané nějaké K a my musíme najít takové δ, aby platilo, že pro všechna x ∈ (0, δ) je f(x) > K. Protože je funkce v kladném intervalu klesající, stačí, když nalezneme takové δ, pro které platí f(δ) > K. Pak to bude jistě platit i pro všechna x ∈ (0, δ). Nyní řešíme tuto nerovnici: f(δ) > K, po dosazení:

$$\frac{1}{\delta }>K.$$

Celou nerovnici nyní vynásobíme δ. Hodnota δ je z definice vždy kladná, takže si to můžeme dovolit. Dostaneme:

$$1>\delta \cdot K$$

Uvažujme nyní, že K > 0. Pro K ≤ 0 je důkaz triviální, protože f(x) > 0 pro všechna x. Nyní můžeme celou nerovnici vydělit K:

$$\frac{1}{K}>\delta .$$

To je výsledek. Pokud budeme mít zadané K, hodnotu δ nalezneme tak, že vezmeme jakékoliv číslo, které je menší než hodnota 1/K (a větší než nula, podle definice) a získáme náš interval (0, δ).

V předchozím případě jsme měli K = 4. Pokud si dosadíme, tak zjistíme, že 1/4>δ. Delta musí být menší než jedna čtvrtina. My jsme zvolili 0,2, jednu pětinu a vyšlo nám to správně.