Lineární obal

Kapitoly: Vektorové prostory, Příklady vektorových prostorů, Vektorový podprostor, Lineární kombinace vektorů, Lineární obal, Báze vektorového prostoru, Dimenze vektorového prostoru, Matice přechodu

Pokud máme nějakou množinu vektorů a spočítáme jejich všechny lineární kombinace, pak získáme lineární obal této množiny vektorů.

Definice lineárního obalu

Mějme vektory x1, …, xn. Už víme, že z těchto vektorů můžeme poskládat nový vektor pomocí lineární kombinace. Zvolíme reálná čísla a1, …, an a nový vektor y získáme vynásobením a sečtením

$$ \mathbf{y}=a_1 \cdot \mathbf{x}_1 + \ldots + a_n \cdot \mathbf{x}_n $$

Tímto způsobem, pokud je alespoň jeden z vektorů xi různý od nulového vektoru, můžeme z množiny vektorů x1, …, xn vyrobit nekonečně mnoho „dalších“ vektorů — stačí jen nějak vhodně zvolit jiné koeficienty a1, …, an.

Pokud budeme generovat vektory dál a dál, získáme nakonec všechny vektory, které můžeme získat lineární kombinací vektorů x1, …, xn. Takovou množinu pak nazýváme lineárním obalem vektorů x1, …, xn. Lineární obal množiny vektorů X značíme pomocí špičatých závorek: <X>. Formálně bychom mohli lineární obal zapsat takto

$$ \left<\mathbf{x}_1, \ldots, \mathbf{x}_n\right> = \left\{a_1 \cdot \mathbf{x}_1+\ldots+a_n \cdot \mathbf{x}_n | a_1, \ldots, a_n \in \mathbb{R}\right\}, $$

pokud máme konečný počet vektorů. Máme-li nekonečnou množinu vektorů X, můžeme vzít všechny konečné podmnožiny Yi ⊆ X, tedy |Yi| = r pro nějaké r ∈ ℕ, a lineárním obalem množiny X by pak bylo sjednocení všech množin <Yi>.

Příklad

Zůstaneme u oblíbeného vektorového prostoru 3. Zvolíme si jednobodovu množinu X1 = {[1, 2, 1]} a ptáme se, jaký je lineární obal této množiny? Jsou to všechny lineární kombinace vektoru [1, 2, 1]. Výsledný obal bude mít tvar

$$ \left<X_1\right> = \left\{\left[a,2a,a\right]|a\in \mathbb{R}\right\} $$

Budou to tak vektory tvaru [3, 6, 3], [8, 16, 8], [−1, −2, −1] atd. Můžeme si zkusit ověřit, že součet některých dvou vektorů nám dá nový vektor stejného tvaru:

$$\begin{eqnarray} \left[3,6,3\right]+\left[3,6,3\right]&=&\left[6,12,6\right]\\ \left[3,6,3\right]+\left[-1,-2,-1\right]&=&\left[2,4,2\right]\\ \left[8,16,8\right]+\left[2,4,2\right]&=&\left[10,20,10\right] \end{eqnarray}$$

Druhým příkladem mohou být klasické vektory X2 = {[1, 0, 0], [0, 1, 0]}. Když spočítáme všechny lineární kombinace, tak zjistíme, že mají tvar [a, b, 0], kde a, b, ∈ ℝ. Lze to ukázat jednoduše, protože

$$\left[a,b,0\right] = a \cdot \left[1,0,0\right] + b \cdot \left[0,1,0\right].$$

Vektory tohoto obalu jsou tak například [0, 8, 0], [14, 15, 0] apod. Formálně bychom to zapsali takto:

$$ \left<X_2\right> = \left\{\left[a,b,0\right] | a,b \in \mathbb{R}\right\} $$

Lineární obal jako nejmenší podprostor

Mějme vektorový prostor V a nějakou množinu vektorů X ⊆ V. Lineární obal <X> je pak vektorový podprostor prostoru V, tj. obal <X> je vektorový prostor.

Stačí nám prokázat, že je obal <X> uzavřený vůči sčítání a násobení. To jistě je, protože jakýkoliv vektor x ∈ <X> vznikl jako lineární kombinace vektorů z X.

Lineární obal množiny X je zároveň nejmenší podprostor, který obsahuje všechny vektory z množiny X. Proč? Nejmenší vektorový podprostor, který obsahuje vektory z X, musí obsahovat i všechny lineární kombinace vektorů z X — jinak by to nebyl vektorový prostor. Můžeme sporem předpokládat, že existuje nějaký menší vektorový podprostor, označme ho Y, který obsahuje všechny vektory z X, tedy X ⊆ Y. Protože je, dle předpokladu, Y menší než obal <X>, tak musí existovat vektor x, který je v <X>, ale není v Y, tedy $\mathbf{x}\in\left<X\right> \wedge \mathbf{x}\notin Y$.

Přitom ale platí, že vektor x musí jít sestrojit jako lineární kombinace vektorů z X, musí tak existovat vektory x1, …, xn∈ X a koeficienty a1, …, an takové, že

$$ \mathbf{x}=a_1 \cdot \mathbf{x}_1 + \ldots + a_n \cdot \mathbf{x}_n $$

Pokud ale Y tento vektor x neobsahuje a přitom obsahuje vektory x1, …, xn, tak Y nemůže být vektorový prostor, a tedy ani podprostor. Obal <X> je tak nejmenším podprostorem, který obsahuje všechny vektory z X.

Základní vlastnosti lineárního obalu

  • Vždy platí, že W ⊆ <W>. To by mělo být jasné. Lineární obal množiny W bude vždy stejný nebo větší než množina W. Protože lineární obal <W> obsahuje všechny lineární kombinace vektorů z W, tak <W> musí obsahovat i všechny vektory z W, protože pokud vezmeme nějaký vektor x ∈ W, tak platí, že pro a = 1 získáme kombinaci a · x = x.

    Příklad: lineární obal množiny W = {[1, 0, 0]} je množina

    $$\begin{eqnarray} \left<W\right> &=& \left\{\left[a,0,0\right],|,a\in \mathbb{R}\right\}\\. \end{eqnarray}$$

    Zřejmě platí, že {[1, 0, 0]} ⊆ {[a, 0, 0], |, a∈ ℝ}.

  • Vždy platí, že <W> = <<W>>. Pokud už jednou spočítáme lineární obal, pak lineární obal tohoto obalu je tentýž obal. <W> obsahuje všechny lineární kombinace z W. Pokud bychom znova spočítali všechny lineární kombinace z <W>, nezískali bychom žádné nové.

  • Mějme nějaký vektorový prostor V a mějme dvě podmnožiny tohoto prostoru (ne nutně podprostory) W1 a W2, tj. W1, W2 ⊆ V. Pokud zároveň platí, že W1 ⊆ W2, pak platí i <W1> ⊆ <W2>.

    Jinak řečeno: pokud máme dvě množiny vektorů, přičemž jedna z nich je menší, tak tato menší množina vektorů má menší nebo stejný lineární obal než ta větší množina.

    Příklad: nechť W1 = {[1, 0, 0]} a W2 = {[1, 0, 0], [0, 1, 0]}. Vidíme, že platí W1 ⊆ W2. Jaké by byly lineární obaly?

    $$\begin{eqnarray} \left<W_1\right> &=& \left\{\left[a,0,0\right],|,a\in \mathbb{R}\right\}\\ \left<W_2\right> &=& \left\{\left[a,b,0\right],|,a,b\in \mathbb{R}\right\}\\ \end{eqnarray}$$

    Množina vektorů W2 „vygenerovala větší obal“ než množina W1, což jsme očekávali. Množina W2 obsahuje všechny vektory z množiny W1, takže všechny lineární kombinace vektoru z W1 se zároveň povede vygenerovat z vektorů v W2.

    Jiný příklad: W3 = {[1, 2, 0]} a W2 = {[1, 2, 0], [5, 10, 0]}. Na první pohled je vidět, že vektory ve W2 jsou závislé. Proto obě množiny vygenerují stejný obal. Tedy přestože W1 ⊂ W2, tak <W1> = <W2>.

Odkazy a zdroje