Řešení maturity z matematiky (2013, jaro)

Zadání a řešení úloh maturitního testu z matematiky, jaro 2013. Oficiální zadání a oficiální výsledky naleznete na stránkách ceskaskola.cz. Didaktický test se skládá z 26 úloh, prvních 16 tvoří úlohy otevřené, zbylých 11 tvoří uzavřené úlohy, které obsahují nabídku odpovědí. U těchto úloh je vždy právě jedna odpověď správná. Za nesprávnou nebo neuvedenou odpověď se nestrhávají body.

Na této stránce se nachází řešení úloh 11 až 20. Úlohy 1 až 10 naleznete na předcházející stránce, zbylé úlohy se pak nachází na další stránce.

11. úloha

Čtvrtým a šestým členem aritmetické posloupnosti jsou čísla $\frac{11}{3}$ a $\frac{7}{3}$. Vypočtěte pátý člen této posloupnosti.

Řešení: Sousední prvky aritmetické posloupnosti se vždy liší o stejnou konstantu, které se říká diference. Například 5, 8, 11, 14, … je aritmetická posloupnost a diference je 3. Abychom vypočítali pátý člen posloupnosti, měli bychom najít právě diferenci. Vypočítáme rozdíl mezi šestým a čtvrtým členem:

$$\frac{7}{3}-\frac{11}{3}=-\frac{4}{3}$$

Hodnota $-\frac{4}{3}$ představuje součet diferencí, které se nachází „mezi“ čtvrtým a šestým členem. Vydělíme tuto hodnotu dvěma (6 − 4 = 2) a získáme diferenci:

$$d=-\frac{4}{3}/2=-\frac{2}{3}$$

Diference je rovna $-\frac{2}{3}$. Tuto diferenci přičteme ke čtvrtému prvku a získáme pátý prvek:

$$a_5=a_4+d=\frac{11}{3}-\frac{2}{3}=\frac{9}{3}$$

Ke stejnému výsledku můžeme dospět i jednodušeji: pátý člen se nachází přesně mezi čtvrtým a šestým. Stačí tak vypočítat průměr čtvrtého a šestého členu:

$$a_5=\frac{a_4+a_6}{2}=\frac{\frac{11}{3}+\frac{7}{3}}{2}=\frac{\frac{18}{3}}{2}=\frac{9}{3}.$$

12. úloha

V oboru ℝ řešte:

$$5^{x+4}=\frac{25}{5^x}$$

Řešení: Začneme úpravou pravé strany rovnice. 25 můžeme zapsat jako 5²:

$$5^{x+4}=\frac{5^2}{5^x}$$

Nyní využijeme vzorce pro mocniny. Protože $\frac{1}{a^b}$ je totéž jako a^−b, tak můžeme zlomek přepsat do součinu takto:

$$5^{x+4}=5^2\cdot 5^{-x}$$

Využijeme další vzorec., který říká: a^b · a^c = a^{b + c}:

$$5^{x+4}=5^{2-x}$$

Nyní máme na obou stranách rovnice výraz ve tvaru 5^?. Číslo pět tak můžeme odstranit a můžeme hledat rovnost jen těch výrazů, které jsou v exponentu:

$$x+4=2-x$$

To je jednoduchá lineární rovnice, kterou vyřešíme takto:

$$\begin{array}{rcl}x+4& =& 2-x\\ 2x+2& =& 0\\ x& =& -1\end{array}$$

Množina kořenů: K = {−1}.

13. úloha

V prvních dvou dnech zkušebního provozu pracovala linka na 25 % výkon, ve dvou dalších dnech na 50% výkon a pátý den na plný výkon. Za pět dnů zkušebního provozu se tak vyrobilo celkem 720 výrobků.

Kolik výborků se vyrobí za 5 dnů při plném výkonu linky?

Řešení: Nechť proměnná x označuje, kolik výrobků vyrobí pracovní linka za jeden den při plném výkonu. Pak můžeme napsat, že první a druhý den linka vyrobila $\frac{1}{4}\cdot x$ výrobků (25 % = čtvrtina výrobků), třetí a čtvrtý den $\frac{1}{2}\cdot x$ výrobků a pátý den x výrobků. Platí tak, že

$$\frac{1}{4}\cdot x+\frac{1}{4}\cdot x+\frac{1}{2}\cdot x+\frac{1}{2}\cdot x+x=720$$

Trochu to posčítáme a zcivilizujeme:

$$\begin{array}{rcl}\frac{1}{4}\cdot x+\frac{1}{4}\cdot x+\frac{1}{2}\cdot x+\frac{1}{2}\cdot x+x& =& 720\\ \frac{2}{4}\cdot x+\frac{2}{2}\cdot x+x& =& 720\\ \frac{5}{2}\cdot x& =& 720\\ 5x& =& 1440\\ x& =& 288\end{array}$$

Při plném provozu se za jeden den vyrobí 288 výrobků. Za pět dní se tak vyrobí 288 · 5 = 1440 výrobků.

14. úloha

Žákovský oddíl karate má dvakrát více chlapců než dívek. Na závody se má sestavit jedno družstvo dívek a stejně početné družstvo chlapců. Do chlapeckého družstva se nedostane 12 hochů, naopak k sestavení kompletního dívčího družstva 1 děvče chybí.

Kolik členů je v žákovském oddílu karate?

Řešení: Nechť proměnná x označuje počet dívek. Počet chlapců je tak roven 2x a oddíl má celkem x + 2x členů. Dále nechť proměnná y označuje velikost družstva, které sestavujeme. Platí, že y = x + 1 (jedna dívka chybí) a y = 2x − 12 (12 chlapců přebývá). Řešíme tak soustavu rovnic:

$$\begin{array}{rcl}y& =& x+1\\ y& =& 2x-12\end{array}$$

Můžeme použít substituční metodu a do druhé rovnice dosadit za y výraz x + 1. Dostaneme rovnici o jedné nenzámé:

$$x+1=2x-12$$

To je obyčejná lineární rovnice, kterou snadno vyřešíme:

$$\begin{array}{rcl}x+1& =& 2x-12\\ -x+13& =& 0\\ x& =& 13\end{array}$$

Proměnná x označovala počet dívek, takže počet členů celého oddílu je roven 3 · x = 3 · 13 = 39.

15. úloha

V pravoúhlém trojúhelníku PQR je odvěsna PQ rozdělena bodem X na dva úseky, z nichž delší má délku 33 cm. Druhá odvěsna PR měří 20 cm a délka příčky RX je 25 cm.

Vypočtěte délku p strany QR.

Řešení: Potřebujeme znát délku strany PQ, abychom mohli použít Pythagorovu větu a vypočítat délku strany QR. Známe délku úsečky QX, potřebujeme vypočítat délku úsečky PX. Protože PXR je také pravoúhlý trojúhelník, můžeme také použít Pythagorovu větu. Platí:

$$|PX{|}^2+|PR{|}^2=|RX{|}^2$$

Osamostatníme |PX|:

$$\begin{array}{rcl}|PX{|}^2+|PR{|}^2& =& |RX{|}^2\\ |PX{|}^2& =& |RX{|}^2-|PR{|}^2\\ |PX|& =& \sqrt{|RX{|}^2-|PR{|}^2}\end{array}$$

A dosadíme:

$$\begin{array}{rcl}|PX|& =& \sqrt{{25}^2-{20}^2}=\sqrt{225}=15\end{array}$$

Délka strany PQ je tak rovna: |PX|+|XQ| = 15 + 33 = 48. Znovu použijeme Pythagovoru větu a vypočítáme délku přepony QR:

$$\begin{array}{rcl}|QR{|}^2& =& |PQ{|}^2+|RP{|}^2\\ |QR{|}^2& =& {48}^2+{20}^2\\ |QR{|}^2& =& 2704\\ |QR|& =& \sqrt{2704}=52\end{array}$$

Délka strany QR je rovna p = 52 cm.

16. úloha

V trojúhelníku ABC leží proti stranám úhly α, β, γ. Rozhodněte o každé následující trojici veličin, zda popisuje pravoúhlý trojúhelník s přeponou c (ANO), či nikoli (NE).

1. b = 1, c = 2, α = 60°: Spočítáme si kosinus úhlu alpha. Ten je roven $\cos \alpha =\frac{1}{2}$. Přitom, pokud by se mělo jednat o pravoúhlý trojúhelník, by stejnou hodnotu měl mít poměr stran $\frac{b}{c}$, protože kosinus je poměr přilehlé odvěsny k přeponě. Poměr těch stran je roven $\frac{b}{c}=\frac{1}{2}$, stejně jako kosinus. Jedná se o pravoúhlý trojúhelník. ANO

2. $a=1,b=\sqrt{3},\alpha ={60}^{\circ }$: Budeme postupovat stejně, jen použijeme tangens, který udává poměr protilehlé odvěsny ku přilehlé odvěsny. Spočítáme si jako první tangens: $\tan \alpha =\sqrt{3}$. Protilehlá odvěsna k úhlu α je strana a, přilehlá je strana b. Pokud by šlo o pravoúhlý trojúhelník, musí se poměr $\frac{a}{b}$ rovant tan α. Poměr je roven $\frac{1}{\sqrt{3}}$. To není totéž jako tan α, takže to není pravoúhlý trojúhelník. NE

3. a = 2, c = 4, α = 30° Postup bude stejný jako v prvním případě, jen použijeme sinus místo kosinu. Poměr přepony ku protilehlé odvěsně je $\frac{a}{c}=\frac{2}{4}$, přitom $\sin \alpha =\frac{1}{2}$. Jedná se o pravoúhlý trojúhelník. ANO

4. $a=\sqrt{2},b=\sqrt{6},\alpha ={30}^{\circ }$ Známe stejné strany a úhly jako ve druhém případě, použijeme stejný postup: $\tan \alpha =\frac{\sqrt{3}}{3}$, poměr stran: $\frac{a}{b}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}$. Tento zlomek musíme ještě upravit. $\sqrt{6}$ můžeme rozepsat jako $\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}$, (viz pravidla pro odmocniny), pak získáme zlomek

$$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Poměr stran je stejný jako tangens úhlu, jedná se tak o pravoúhlý trojúhelník. ANO

17. úloha

Kolik ze čtyř zobrazených trojúhelníků má průsečík výšek (resp. průsečík přímek, na kterých leží, tedy ortocentrum) vně trojúhelníku?

Řešení: Ortocentrum leží vně trojúhelníku tehdy, pokud je trojúhelník tupoúhlý. Trojúhelník je tupoúhlý, pokud má jeden úhel větší než 90°. Na obrázku tak jsou celkem dva tupoúhlé trojúhelníky (první a poslední) a tak dva trojúhelníky mají ortocentrum vně.

18. úloha

Jaká je velikost úhlu β?

Řešení: Označené úhly jsou úhly vrcholové, tedy jsou stejně velké. Platí tak, že

$$2\pi -2\beta =\beta +\frac{1}{3}\pi$$

Úhel vypočítáme tak, že z této rovnice osamostatníme β:

$$\begin{array}{rcl}2\pi -2\beta & =& \beta +\frac{1}{3}\pi \\ -3\beta & =& \frac{1}{3}\pi -2\pi \\ \beta & =& -\frac{1}{9}\pi +\frac{2}{3}\pi \\ \beta & =& -\frac{1}{9}\pi +\frac{6}{9}\pi \\ \beta & =& \frac{5}{9}\pi \end{array}$$

Úhel β má velikost $\beta =\frac{5}{9}\pi$. Z nabízených možností to pak je E.

19. úloha

Pro x ∈ ℝ ∖ {3} a n ∈ ℕ je dán vztah $n=\frac{5}{x-3}$.

Které z následujících tvrzení platí?

• A) $x=\frac{5n-3}{n}$
• B) $x=\frac{5}{n+3}$
• C) $x=\frac{n-3}{5}$
• D) $x=\frac{5}{n}+3$
• E) $x=\frac{5}{n}-3$

Řešení: Zkrátka osamostatníme x:

$$\begin{array}{rcl}n& =& \frac{5}{x-3}/\cdot (x-3)\\ n\cdot (x-3)& =& 5\\ n\cdot x-3n& =& 5\\ n\cdot x& =& 5+3n\\ x& =& \frac{5+3n}{n}\\ x& =& \frac{5}{n}+\frac{3n}{n}\\ x& =& \frac{5}{n}+3\end{array}$$

Správně je odpověď D.

20. úloha

Káď na ryby tvaru válce s podstavou o obsahu 14 000 cm² má objem 600 litrů. Káď je naplněna vodou pouze do tří čtvrtin.

V jaké výšece ode dna (s přesností na cm) je vodní hladina?

• A) 13 cm
• B) 32 cm
• C) 44 cm
• D) 57 cm
• E) v jiné výšce

Řešení: Litr je jednotka objemu, ale není jednotkou soustavy SI. Litr se rovná 1 dm³ nebo též 1000 cm³. Káď tak má objem 600 · 1000 = 600000 cm³. Dále musíme spočítat výšku kádě. Tu vypočítáme ze vzorce pro výpočet objemu O válce. Ten vypadá takto:

$$O=S\cdot v,$$

kde S je obsah podstavy a v je výška. Protože obsah podstavy a celkový objem známe, osamostatníme v rovnici v, výšku:

$$\begin{array}{rcl}O& =& S\cdot v/\cdot \frac{1}{S}\\ \frac{O}{S}& =& v\end{array}$$

Nyní dosadíme do vzorce:

$$v=\frac{O}{S}=\frac{600000{\text{cm}}^3}{14000{\text{cm}}^2}\approx 42,85\text{cm}$$

Výška válce je přibližně 42,85 cm. Protože je válec zaplněný jen do tří čtvrtin, vynásobíme výšku válce třemi čtvrtinami:

$$42,85\cdot \frac{3}{4}=\mathrm{32,137}5\approx 32$$

Vodní hladina je přibližně ve výšce 32 cm, správná odpověď je B.