Řešení maturity z matematiky (2013, jaro)

Zadání a řešení úloh maturitního testu z matematiky, jaro 2013. Oficiální zadání a oficiální výsledky naleznete na stránkách ceskaskola.cz. Didaktický test se skládá z 26 úloh, prvních 16 tvoří úlohy otevřené, zbylých 11 tvoří uzavřené úlohy, které obsahují nabídku odpovědí. U těchto úloh je vždy právě jedna odpověď správná. Za nesprávnou nebo neuvedenou odpověď se nestrhávají body.

Na této stránce se nachází řešení úloh 11 až 20. Úlohy 1 až 10 naleznete na předcházející stránce, zbylé úlohy se pak nachází na další stránce.

11. úloha

Čtvrtým a šestým členem aritmetické posloupnosti jsou čísla $\frac{11}{3}$ a $\frac{7}{3}$. Vypočtěte pátý člen této posloupnosti.

Řešení: Sousední prvky aritmetické posloupnosti se vždy liší o stejnou konstantu, které se říká diference. Například 5, 8, 11, 14, … je aritmetická posloupnost a diference je 3. Abychom vypočítali pátý člen posloupnosti, měli bychom najít právě diferenci. Vypočítáme rozdíl mezi šestým a čtvrtým členem:

$$ \frac{7}{3}-\frac{11}{3} = -\frac{4}{3} $$

Hodnota $-\frac{4}{3}$ představuje součet diferencí, které se nachází „mezi“ čtvrtým a šestým členem. Vydělíme tuto hodnotu dvěma (6 − 4 = 2) a získáme diferenci:

$$ d = -\frac{4}{3} / 2 = -\frac{2}{3} $$

Diference je rovna $-\frac{2}{3}$. Tuto diferenci přičteme ke čtvrtému prvku a získáme pátý prvek:

$$ a_5 = a_4 + d = \frac{11}{3} - \frac{2}{3} = \frac{9}{3} $$

Ke stejnému výsledku můžeme dospět i jednodušeji: pátý člen se nachází přesně mezi čtvrtým a šestým. Stačí tak vypočítat průměr čtvrtého a šestého členu:

$$ a_5 = \frac{a_4+a_6}{2}=\frac{\frac{11}{3}+ \frac{7}{3}}{2}=\frac{\frac{18}{3}}{2}=\frac{9}{3}. $$

12. úloha

V oboru ℝ řešte:

$$ 5^{x+4}=\frac{25}{5^x} $$

Řešení: Začneme úpravou pravé strany rovnice. 25 můžeme zapsat jako 5²:

$$ 5^{x+4}=\frac{5^2}{5^x} $$

Nyní využijeme vzorce pro mocniny. Protože $\frac{1}{a^b}$ je totéž jako a^−b, tak můžeme zlomek přepsat do součinu takto:

$$ 5^{x+4}=5^2\cdot5^{-x} $$

Využijeme další vzorec., který říká: a^b · a^c = a^{b + c}:

$$ 5^{x+4}=5^{2-x} $$

Nyní máme na obou stranách rovnice výraz ve tvaru 5^?. Číslo pět tak můžeme odstranit a můžeme hledat rovnost jen těch výrazů, které jsou v exponentu:

$$ x+4=2-x $$

To je jednoduchá lineární rovnice, kterou vyřešíme takto:

\begin{eqnarray} x+4&=&2-x\\ 2x+2&=&0\\ x&=&-1 \end{eqnarray}

Množina kořenů: K = {−1}.

13. úloha

V prvních dvou dnech zkušebního provozu pracovala linka na 25 % výkon, ve dvou dalších dnech na 50% výkon a pátý den na plný výkon. Za pět dnů zkušebního provozu se tak vyrobilo celkem 720 výrobků.

Kolik výborků se vyrobí za 5 dnů při plném výkonu linky?

Řešení: Nechť proměnná x označuje, kolik výrobků vyrobí pracovní linka za jeden den při plném výkonu. Pak můžeme napsat, že první a druhý den linka vyrobila $\frac{1}{4}\cdot x$ výrobků (25 % = čtvrtina výrobků), třetí a čtvrtý den $\frac{1}{2}\cdot x$ výrobků a pátý den x výrobků. Platí tak, že

$$ \frac{1}{4}\cdot x + \frac{1}{4}\cdot x + \frac{1}{2}\cdot x + \frac{1}{2}\cdot x + x = 720 $$

Trochu to posčítáme a zcivilizujeme:

\begin{eqnarray} \frac{1}{4}\cdot x + \frac{1}{4}\cdot x + \frac{1}{2}\cdot x + \frac{1}{2}\cdot x + x &=& 720\\ \frac{2}{4}\cdot x + \frac{2}{2}\cdot x + x &=& 720\\ \frac{5}{2}\cdot x &=& 720\\ 5x &=& 1440\\ x &=& 288 \end{eqnarray}

Při plném provozu se za jeden den vyrobí 288 výrobků. Za pět dní se tak vyrobí 288 · 5 = 1440 výrobků.

14. úloha

Žákovský oddíl karate má dvakrát více chlapců než dívek. Na závody se má sestavit jedno družstvo dívek a stejně početné družstvo chlapců. Do chlapeckého družstva se nedostane 12 hochů, naopak k sestavení kompletního dívčího družstva 1 děvče chybí.

Kolik členů je v žákovském oddílu karate?

Řešení: Nechť proměnná x označuje počet dívek. Počet chlapců je tak roven 2x a oddíl má celkem x + 2x členů. Dále nechť proměnná y označuje velikost družstva, které sestavujeme. Platí, že y = x + 1 (jedna dívka chybí) a y = 2x − 12 (12 chlapců přebývá). Řešíme tak soustavu rovnic:

\begin{eqnarray} y &=& x + 1\\ y &=& 2x - 12 \end{eqnarray}

Můžeme použít substituční metodu a do druhé rovnice dosadit za y výraz x + 1. Dostaneme rovnici o jedné nenzámé:

$$ x+1 = 2x-12 $$

To je obyčejná lineární rovnice, kterou snadno vyřešíme:

\begin{eqnarray} x+1 &=& 2x-12\\ -x+13&=&0\\ x&=&13 \end{eqnarray}

Proměnná x označovala počet dívek, takže počet členů celého oddílu je roven 3 · x = 3 · 13 = 39.

15. úloha

V pravoúhlém trojúhelníku PQR je odvěsna PQ rozdělena bodem X na dva úseky, z nichž delší má délku 33 cm. Druhá odvěsna PR měří 20 cm a délka příčky RX je 25 cm.

Vypočtěte délku p strany QR.

Řešení: Potřebujeme znát délku strany PQ, abychom mohli použít Pythagorovu větu a vypočítat délku strany QR. Známe délku úsečky QX, potřebujeme vypočítat délku úsečky PX. Protože PXR je také pravoúhlý trojúhelník, můžeme také použít Pythagorovu větu. Platí:

$$ |PX|^2+|PR|^2=|RX|^2 $$

Osamostatníme |PX|:

\begin{eqnarray} |PX|^2+|PR|^2&=&|RX|^2\\ |PX|^2&=&|RX|^2-|PR|^2\\ |PX|&=&\sqrt{|RX|^2-|PR|^2} \end{eqnarray}

A dosadíme:

\begin{eqnarray} |PX|&=&\sqrt{25^2-20^2}=\sqrt{225}=15 \end{eqnarray}

Délka strany PQ je tak rovna: |PX|+|XQ| = 15 + 33 = 48. Znovu použijeme Pythagovoru větu a vypočítáme délku přepony QR:

\begin{eqnarray} |QR|^2&=&|PQ|^2+|RP|^2\\ |QR|^2&=&48^2+20^2\\ |QR|^2&=&2704\\ |QR|&=&\sqrt{2704}=52 \end{eqnarray}

Délka strany QR je rovna p = 52 cm.

16. úloha

V trojúhelníku ABC leží proti stranám úhly α, β, γ. Rozhodněte o každé následující trojici veličin, zda popisuje pravoúhlý trojúhelník s přeponou c (ANO), či nikoli (NE).

1. $b=1, c=2, \alpha=60^{\circ}$: Spočítáme si kosinus úhlu alpha. Ten je roven $\cos \alpha = \frac12$. Přitom, pokud by se mělo jednat o pravoúhlý trojúhelník, by stejnou hodnotu měl mít poměr stran $\frac{b}{c}$, protože kosinus je poměr přilehlé odvěsny k přeponě. Poměr těch stran je roven $\frac{b}{c}=\frac{1}{2}$, stejně jako kosinus. Jedná se o pravoúhlý trojúhelník. ANO

2. $a=1, b=\sqrt{3}, \alpha=60^{\circ}$: Budeme postupovat stejně, jen použijeme tangens, který udává poměr protilehlé odvěsny ku přilehlé odvěsny. Spočítáme si jako první tangens: $\tan \alpha = \sqrt{3}$. Protilehlá odvěsna k úhlu α je strana a, přilehlá je strana b. Pokud by šlo o pravoúhlý trojúhelník, musí se poměr $\frac{a}{b}$ rovant $\tan \alpha$. Poměr je roven $\frac{1}{\sqrt{3}}$. To není totéž jako $\tan \alpha$, takže to není pravoúhlý trojúhelník. NE

3. $a=2, c=4, \alpha=30^{\circ}$ Postup bude stejný jako v prvním případě, jen použijeme sinus místo kosinu. Poměr přepony ku protilehlé odvěsně je $\frac{a}{c}=\frac{2}{4}$, přitom $\sin \alpha = \frac{1}{2}$. Jedná se o pravoúhlý trojúhelník. ANO

4. $a=\sqrt2, b=\sqrt6, \alpha=30^{\circ}$ Známe stejné strany a úhly jako ve druhém případě, použijeme stejný postup: $\tan \alpha =\frac{\sqrt3}{3}$, poměr stran: $\frac{a}{b}=\frac{\sqrt2}{\sqrt6}$. Tento zlomek musíme ještě upravit. $\sqrt6$ můžeme rozepsat jako $\sqrt2\cdot\sqrt3$, (viz pravidla pro odmocniny), pak získáme zlomek

$$ \frac{\sqrt2}{\sqrt2\cdot\sqrt3}=\frac{1}{\sqrt3}=\frac{1}{\sqrt3}\cdot \frac{\sqrt3}{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3} $$

Poměr stran je stejný jako tangens úhlu, jedná se tak o pravoúhlý trojúhelník. ANO

17. úloha

Kolik ze čtyř zobrazených trojúhelníků má průsečík výšek (resp. průsečík přímek, na kterých leží, tedy ortocentrum) vně trojúhelníku?

Řešení: Ortocentrum leží vně trojúhelníku tehdy, pokud je trojúhelník tupoúhlý. Trojúhelník je tupoúhlý, pokud má jeden úhel větší než $90^{\circ}$. Na obrázku tak jsou celkem dva tupoúhlé trojúhelníky (první a poslední) a tak dva trojúhelníky mají ortocentrum vně.

18. úloha

Jaká je velikost úhlu β?

Řešení: Označené úhly jsou úhly vrcholové, tedy jsou stejně velké. Platí tak, že

$$ 2\pi-2\beta = \beta+\frac13\pi $$

Úhel vypočítáme tak, že z této rovnice osamostatníme β:

\begin{eqnarray} 2\pi-2\beta &=& \beta+\frac13\pi\\ -3\beta &=& \frac13\pi-2\pi\\ \beta &=& -\frac{1}{9}\pi+\frac{2}{3}\pi\\ \beta &=& -\frac{1}{9}\pi+\frac{6}{9}\pi\\ \beta &=& \frac{5}{9}\pi \end{eqnarray}

Úhel β má velikost $\beta = \frac{5}{9}\pi$. Z nabízených možností to pak je E.

19. úloha

Pro x∈ ℝ∖ {3} a n∈ ℕ je dán vztah $n=\frac{5}{x-3}$.

Které z následujících tvrzení platí?

• A) $x=\frac{5n-3}{n}$
• B) $x=\frac{5}{n+3}$
• C) $x=\frac{n-3}{5}$
• D) $x=\frac{5}{n}+3$
• E) $x=\frac{5}{n}-3$

Řešení: Zkrátka osamostatníme x:

\begin{eqnarray} n&=&\frac{5}{x-3}\qquad/\cdot(x-3)\\ n\cdot(x-3)&=&5\\ n\cdot x-3n &=& 5\\ n\cdot x &=&5+3n\\ x &=& \frac{5+3n}{n}\\ x &=& \frac{5}{n}+\frac{3n}{n}\\ x &=& \frac{5}{n}+3 \end{eqnarray}

Správně je odpověď D.

20. úloha

Káď na ryby tvaru válce s podstavou o obsahu 14 000 cm² má objem 600 litrů. Káď je naplněna vodou pouze do tří čtvrtin.

V jaké výšece ode dna (s přesností na cm) je vodní hladina?

• A) 13 cm
• B) 32 cm
• C) 44 cm
• D) 57 cm
• E) v jiné výšce

Řešení: Litr je jednotka objemu, ale není jednotkou soustavy SI. Litr se rovná 1 dm³ nebo též 1000 cm³. Káď tak má objem 600 · 1000 = 600000 cm³. Dále musíme spočítat výšku kádě. Tu vypočítáme ze vzorce pro výpočet objemu O válce. Ten vypadá takto:

$$ O = S \cdot v, $$

kde S je obsah podstavy a v je výška. Protože obsah podstavy a celkový objem známe, osamostatníme v rovnici v, výšku:

\begin{eqnarray} O &=& S \cdot v\qquad/\cdot \frac{1}{S}\\ \frac{O}{S} &=& v \end{eqnarray}

Nyní dosadíme do vzorce:

$$ v = \frac{O}{S} = \frac{600000,\mbox{cm}^3}{14000,\mbox{cm}^2}\approx42{,}85,\mbox{cm} $$

Výška válce je přibližně 42,85 cm. Protože je válec zaplněný jen do tří čtvrtin, vynásobíme výšku válce třemi čtvrtinami:

$$ 42{,}85\cdot \frac{3}{4}=32{,}1375\approx32 $$

Vodní hladina je přibližně ve výšce 32 cm, správná odpověď je B.