Řešení maturity z matematiky (2013, jaro)

Zadání a řešení úloh maturitního testu z matematiky, jaro 2013. Oficiální zadání a oficiální výsledky naleznete na stránkách ceskaskola.cz. Didaktický test se skládá z 26 úloh, prvních 16 tvoří úlohy otevřené, zbylých 11 tvoří uzavřené úlohy, které obsahují nabídku odpovědí. U těchto úloh je vždy právě jedna odpověď správná. Za nesprávnou nebo neuvedenou odpověď se nestrhávají body.

Na této stránce se nachází řešení úloh 1 až 10. Další řešení maturitních úloh se nachází na další stránce.

1. úloha

Trojúhelník je rozdělen na tři části. Část při vrcholu C zaujímá třetinu obsahuje trojúhelníku, část při vrcholu B dvě pětiny obsahu trojúhelníku a zbývající část při vrcholu A má obsah 4 m².

Ilustrační obrázek k úloze 1

Vypočtětě v m² obsah trojúhelníku ABC.

Řešení: jako první sečteme oba zlomky, čímž zjistíme, jak velkou plochu zabírají šedé části v trojúhelníku. Zlomky převedeme na společného jmenovatele a sečteme je:

$\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} + \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{3} = \frac{5}{15} + \frac{6}{15} = \frac{11}{15}$

Šedá plocha zabírá $\frac{11}{15}$ obsahu trojúhelníku, bílé 4 m² tak představují $\frac{4}{15}$ plochy trojúhelníku. Pokud 4 m² představují $\frac{4}{15}$ plochy trojúhelníku, pak 1 m odpovídá $\frac{1}{15}$ plochy trojúhelníku. Nás zajímá plocha celého trojúhelníku, tedy $\frac{15}{15}$ plochy trojúhelníku, což je 15 m².

2. úloha

Zaokrouhlete na desítky výsledek číselného výrazu:

$10^{5} \cdot (0, \overset{―}{25} - 0, 2 \overset{―}{05}) =$

Pruh nad čísly značí, že se jedná o periodické číslo s danou periodou. Takže $0, \overset{―}{25}$ značí číslo 0,2525252525… atp.

Řešení: začneme odečtením výrazu v závorce.

$\begin{matrix} 0, & 2 & 5 & 2 & 5 & 2 & 5 & \dots \\ - & 0, & 2 & 0 & 5 & 0 & 5 & 0 & \dots \\ 0, & 0 & 4 & 7 & 4 & 7 & 4 & \dots \end{matrix}$

Výsledek je $0, 0 \overset{―}{47}$ . Dále vynásobíme $10^{5} \cdot 0, 0 \overset{―}{47}$ :

$10^{5} \cdot 0, 0 \overset{―}{47} = 100 000 \cdot 0,047 47 \overset{―}{47} = 4747, \overset{―}{47}$

Protože zaokrouhlujeme na desítky, zajímají nás jen jednotky, takže zaokrouhlujeme číslo 4747 na desítky, na místě jednotek je sedmička, takže zaokrouhlujeme nahoru na 4750.

3. úloha

Pro x ∈ ℝ proveďte:

$\frac{5 x - 6}{6} - (\frac{x}{6} - \frac{12 x}{9}) =$

Řešení: poslední zlomek můžeme zkrátit tak, aby měl ve jmenovateli 6 — pak budeme moci všechny zlomky snadno sečíst.

$\frac{12 x}{9} \cdot \frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{12 x \cdot \frac{2}{3}}{9 \cdot \frac{2}{3}} = \frac{8 x}{6}$

Tento zlomek vložíme do původní úlohy a dopočítáme zbytek:

$\begin{array}{rcl} \frac{5 x - 6}{6} - (\frac{x}{6} - \frac{12 x}{9}) & = & \frac{5 x - 6}{6} - (\frac{x}{6} - \frac{8 x}{6}) \\ = & \frac{5 x - 6}{6} - \frac{x}{6} + \frac{8 x}{6} \\ = & \frac{5 x - 6 - x + 8 x}{6} \\ = & \frac{12 x - 6}{6} \end{array}$

Dále v čitateli zlomku vytkneme číslo 6, kterým pak zkrátíme celý zlomek:

$\begin{array}{rcl} \frac{12 x - 6}{6} & = & \frac{6 \cdot (2 x - 1)}{6} \\ = & \frac{2 x - 1}{1} \\ = & 2 x - 1 \end{array}$

4. úloha

Pro a ∈ ℝ upravte výraz a uveďte podmínky.

$\frac{4 a - \frac{1}{a}}{4 a + 2}$

Řešení: Začneme s podmínkami. Výraz a se dvakrát vyskytuje ve jmenovateli, který nemůže být rovný nule, protože nulou nepodělíš. Ze zlomku $\frac{1}{a}$ získáváme podmínku a ≠ 0 a z celého zlomku máme podmínku 4a + 2 ≠ 0. Z toho hned vidíme, že $a \neq - \frac{1}{2}$ .

Celý zlomek rozšíříme $\frac{a}{a}$ , čímž se zbavíme a ve jmenovateli toho jednoduššího zlomku:

$\begin{array}{rcl} \frac{4 a - \frac{1}{a}}{4 a + 2} & = & \frac{4 a - \frac{1}{a}}{4 a + 2} \cdot \frac{a}{a} \\ = & \frac{4 a^{2} - 1}{4 a^{2} + 2 a} \end{array}$

Ve jmenovateli vytkneme 2a:

$\begin{array}{rcl} \frac{4 a^{2} - 1}{4 a^{2} + 2 a} & = & \frac{4 a^{2} - 1}{2 a (2 a + 1)} \end{array}$

Čitatel rozložíme podle vzorce a² − b² = (a + b) · (a − b):

$\begin{array}{rcl} \frac{4 a^{2} - 1}{2 a (2 a + 1)} & = & \frac{(2 a - 1) \cdot (2 a + 1)}{2 a (2 a + 1)} \end{array}$

A teď už jen zkrátíme 2a + 1:

$\begin{array}{rcl} \frac{(2 a - 1) \cdot (2 a + 1)}{2 a (2 a + 1)} & = & \frac{2 a - 1}{2 a} \end{array}$

To už je vše, dále výraz nezjednodušíme.

5. úloha

V oboru ℝ řešte:

$\begin{array}{rcl} \frac{x - 1}{2} - 3 \frac{x + 1}{6} & < & x \end{array}$

Řešení: Jedná se o lineární nerovnici, takže budeme používat ekvivalentní úpravy nerovnic. Nejdříve se zbavíme zlomků. Celou nerovnici vynásobíme 6, čímž se zbavíme jak prvního, tak druhého zlomku (číslo 6 je nejmenší společný násobek čísel 2 a 6):

$\begin{array}{rcl} \frac{x - 1}{2} - 3 \frac{x + 1}{6} & < & x / \cdot 6 \\ 3 (x - 1) - 3 (x + 1) & < & 6 x \\ 3 x - 3 - 3 x - 3 - 6 x & < & 0 \\ - 6 x - 6 & < & 0 \end{array}$

Dále nerovnici vynásobíme −1. Pozor na to, že musíme zároveň obrátit znaménko nerovnosti.

$\begin{array}{rcl} - 6 x - 6 & < & 0 / \cdot (- 1) \\ 6 x + 6 & > & 0 / \cdot \frac{1}{6} \\ x + 1 & > & 0 \\ x & > & - 1 \end{array}$

6. úloha

V oboru ℝ řešte:

$3 x (x + 1) = 9 x^{2}$

Řešení: Výraz 9x² můžeme rozložit na (3x) · (3x). Pak dostaneme:

$\begin{array}{rcl} 3 x (x + 1) & = & 9 x^{2} \\ 3 x (x + 1) & = & (3 x) \cdot (3 x) \\ 3 x (x + 1) - (3 x) \cdot (3 x) & = & 0 / vytkneme 3 x \\ 3 x ((x + 1) - 3 x) & = & 0 \\ 3 x (- 2 x + 1) & = & 0 \end{array}$

Máme výraz ve tvaru součinu a ten je roven nule, pokud je alespoň jeden součinitel rovný nule. Výraz 3x(−2x + 1) je tak rovný nule, pokud 3x = 0 nebo pokud −2x + 1 = 0.

Rovnice 3x = 0 zřejmě platí pro x = 0, rovnice −2x + 1 = 0 platí pro $x = \frac{1}{2}$ . Množina kořenů rovnice je tak rovna $K = {0, \frac{1}{2}}$ .

Úlohu můžeme vyřešit i jiným způsobem. Protože jde o běžnou kvadratickou rovnici, můžeme ji vyřešit s pomocí diskriminantu. Převedeme všechny výrazy na levou stranu a posčítáme je:

$\begin{array}{rcl} 3 x (x + 1) & = & 9 x^{2} \\ 3 x^{2} + 3 x - 9 x^{2} & = & 0 \\ - 6 x^{2} + 3 x & = & 0 \end{array}$

Diskriminant je roven D = b² − 4ac. Koeficient c je nulový, takže D = b² = 3² = 9. Dopočítáme kořeny rovnice pomocí vzorce

$x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{D}}{2 a}$

$\begin{array}{rcl} x_{1} & = & \frac{- 3 + \sqrt{9}}{- 12} = \frac{- 3 + 3}{- 12} = 0 \\ x_{2} & = & \frac{- 3 - \sqrt{9}}{- 12} = \frac{- 6}{- 12} = \frac{1}{2} \end{array}$

7. úloha

Je dána přímka:

$\begin{array}{rcl} p : x & = & 2 t, \\ y & = & 4 + 3 t; t \in R \end{array}$

Zapište obecnou rovnici přímky p.

Řešení: Přímku p máme zadanou parametricky. Abychom získali obecnou rovnici přímky, musíme z rovnic odstranit parametr t. Jinak řečeno: musíme obě rovnice sečíst tak, abychom vyrušili parametr t. První rovnici tak vynásobíme 3 a druhou −2. Tím bude v první rovnici 6t a ve druhé −6t, takže se to pak hezky vyruší:

$\begin{array}{rcl} x & = & 2 t, \\ y & = & 4 + 3 t \\ 3 x & = & 6 t \\ - 2 y & = & - 8 - 6 t \end{array}$

Nyní obě rovnice sečteme:

$\begin{array}{rcl} 3 x - 2 y & = & 6 t - 6 t - 8 \\ 3 x - 2 y & = & - 8 \\ 3 x - 2 y + 8 & = & 0 \end{array}$

A to je obecná rovnice přímky p: 3x − 2y + 8 = 0.

8. úloha

V trojúhelníku ABC je dáno $A [- 2, - 1], C [- 1, 3], \vec{C B} = \vec{a} = (2, - 3)$ .

Sestrojte trojúhelník ABC.

Řešení: Nejprve si narýsujeme obrázek toho, co zatím známe:

Ilustrace zadání

K tomu, abychom narýsovali celý trojúhelník ABC, potřebujeme znát umístění bodu B. Víme, že orientovaná úsečka $\vec{C B}$ je shodná s vektorem (2, −3). Máme-li úsečku $\vec{C B}$ , tak normovaný vektor z této úsečky získáme tak, že odečteme souřadnice B − C. Tento rozdíl musí být roven danému vektoru (2, −3). Musí tak platit, že B − C = (2, −3). Dál už to je jednoduché:

$\begin{array}{rcl} B - [- 1, 3] & = & (2, - 3) \\ [b_{1}, b_{2}] - [- 1, 3] & = & (2, - 3) \end{array}$

Osamostatníme jednotlivé souřadnice:

$\begin{array}{rcl} b_{1} - (- 1) & = & 2 \\ b_{2} - 3 & = & - 3 \\ b_{1} & = & 1 \\ b_{2} & = & 0 \end{array}$

Bod B má souřadnice B[1, 0]. Narýsujeme trojúhelník:

Ilustrace řešení

Určete souřadnice středu S strany AC.

Řešení: Střed nalezneme snadno, sečteme souřadnice bodů A + C a vydělíme dvěma:

$\begin{array}{rcl} S = \frac{A + C}{2} & = & \frac{[- 2, - 1] + [- 1, 3]}{2} \\ = & \frac{[- 2 - 1, - 1 + 3]}{2} \\ = & \frac{[- 3, 2]}{2} \\ = & [- \frac{3}{2}, 1] \end{array}$

9. úloha

V soutěži na dopravním hřišti mohl každý soutěžící získat celkem 0—4 trestné body. Výsledky soutěže udává následující graf.

Ilustrační obrázek k zadání

Určete medián počtu trestných bodů přidělených jednotlivým soutěžícím.

Medián získáme tak, že seřadíme všechny rozdané trestné body a podíváme se, jaká hodnota je uprostřed. Začneme tím, že si spočítáme, kolik celkem soutěžilo soutěžících: 7 + 6 + 6 + 4 + 2 = 25. Nás zajímá hodnota „uprostřed“, tedy 13. soutěžící. Z grafu vyčteme, že nula bodů získalo 7 soutěžících, 1 trestný bod dostalo 6 soutěžících. 13. soutěžící tak dostal jeden trestný bod, medián je roven jedné.

Můžeme si všechny trestné body ručně vypsat:

$0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4$ .

Tučná červená jednička rozděluje posloupnost trestných bodů na polovinu, nalevo i napravo je 12 dalších čísel, proto je to medián.

Určete průměrný počet trestných bodů na osobu.

Průměr $\overset{―}{x}$ získáme tak, že sečteme všechny udělené trestné body a vydělíme je počtem soutěžících, kterých je 25.

$\overset{―}{x} = \frac{6 + 6 \cdot 2 + 4 \cdot 3 + 2 \cdot 4}{25} = \frac{38}{25} = 1, 52$

10. úloha

V aritmetické posloupnosti je první člen a₁ = 1 a součet prvních čtyřiceti členů s₄₀ = 1600. Vypočtěte čtyřicátý člen a₄₀ této posloupnosti.

Řešení: Vezmeme si na pomoc vzorec pro součet prvních n prvků posloupnosti. Ten vypadá takto:

$s_{n} = \frac{n \cdot (a_{1} + a_{n})}{2}$

Do tohoto vzorce dosadíme hodnoty, které známe a jedinou hodnotu, kterou neznáme a kterou chceme vypočítat, osamostatníme. Chceme znát a_n pro n = 40, takže ze vzorce nejprve osamostatníme a_n:

$\begin{array}{rcl} s_{n} & = & \frac{n \cdot (a_{1} + a_{n})}{2} / \cdot 2 \\ 2 s_{n} & = & n \cdot (a_{1} + a_{n}) \\ 2 s_{n} & = & n \cdot a_{1} + n \cdot a_{n} \\ 2 s_{n} - n \cdot a_{1} & = & n \cdot a_{n} / \cdot \frac{1}{n} \\ \frac{2 s_{n} - n \cdot a_{1}}{n} & = & a_{n} \end{array}$

A teď už jen dosadíme hodnoty, které známe pro n = 40:

$\begin{array}{rcl} a_{n} & = & \frac{2 s_{n} - n \cdot a_{1}}{n} \\ = & \frac{2 \cdot 1600 - 40 \cdot 1}{40} \\ = & 79 \end{array}$

Kapitoly: Maturita 2013 jaro 1/3, Maturita 2013 jaro 2/3, Maturita 2013 jaro 3/3

« Předchozí: Maturita 2013 Ilustrační test

Další: Maturita 2013 jaro 2/3 »