Vlastnosti sinu, cosinu, tangensu a cotangensu

Sinus a cosinus jsou základní goniometrické funkce.

Sinus

Sinus úhlu alfa je rovný poměru délky protilehlé odvěsny ku délce přepony v pravoúhlém trojúhelníku.

$$\sin(\alpha)=\frac{\mbox{Delka protilehle odvesny}}{\mbox{Delka prepony}}$$

Grafem funkce sinus je křivka zvaná sinusoida. Graf si můžete prohlédnout na následujícím obrázku:

Sinus je periodická funkce, která má nejmenší periodu 2π. Další vlastnosti:

• Definiční obor je množina všech reálných čísel.
• Obor hodnot je interval <−1,1>.
• Sinus má maximum v nekonečně mnoha bodech. Přesněji „první“ maximum má v bodě $x=\frac{\pi}{2}$ a protože je to periodická funkce, tak má maximum také v každém bodě $\frac{\pi}{2}+2k\pi$, kde k je celé číslo. Hodnota maxima je pak 1.
• Podobně pro minimum: sinus má minimum v bodech $-\frac{\pi}{2}+2k\pi$, kde k je celé číslo a jeho hodnota je −1.
• Sinus je lichá a omezená funkce.

Cosinus

Cosinus úhlu alfa se rovná poměru délky přilehlé odvěsny ku délce přepony v pravoúhlém trojúhelníku. Takže pokud na kalkulačce spočítáme cosinus úhlu alfa, získáme tím hodnotu podílu

$$\cos(\alpha)=\frac{\mbox{delka prilehle odvesny}}{\mbox{delka prepony}}.$$

Grafem funkce cosinus je křivka zvaná cosinusoida. Graf si můžete prohlédnout na následujícím obrázku:

Cosinus je periodická funkce, která má nejmenší periodu 2π. Další vlastnosti:

• Definiční obor je množina všech reálných čísel.
• Obor hodnot je interval <−1,1>.
• Cosinus má maximum v nekonečně mnoha bodech. Přesněji „první“ maximum má v bodě x = 0 a protože je to periodická funkce, tak má maximum také v každém bodě 2kπ, kde k je celé číslo. Hodnota maxima je pak 1.
• Podobně pro minimum: cosinus má minimum v bodech π + 2kπ, kde k je celé číslo a jeho hodnota je −1.
• cosinus je sudá a omezená funkce.

Tangens

Tangens úhlu alfa se rovná poměru délky protilehlé odvěsny ku délce přilehlé odvěsny v pravoúhlém trojúhelníku. Tangens obvykle značíme buď tg nebo tan.

$$\tan(\alpha)=\frac{\mbox{Delka protilehle odvesny}}{\mbox{Delka prilehle odvesny}}$$

Grafem této funkce je křivka zvaná tangentoida:

Tangens se od předchozích funkcí liší především v periodě, která už není 2π, ale pouze jedno π. Další vlastnosti:

• Definiční obor je množina

$$D(tan)=\mathbb{R}-\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi\right\}\quad k\in\mathbb{Z}$$

• Obor hodnot je množina všech reálných čísel.
• Tangens nemá maximum ani minimum a není omezená.
• Tangens je lichá funkce.

Cotangens

Cotangens úhlu alfa se rovná poměru délky přilehlé odvěsny ku délce protilehlé odvěsny. Cotangens obvykle značíme cot nebo cotan.

$$\cot(\alpha)=\frac{\mbox{Delka prilehle odvesny}}{\mbox{Delka protilehle odvesny}}$$

Grafem této funkce je křivka zvaná cotangentoida:

Další vlastnosti:

• Perioda je také π, jako u tangens.
• Definiční obor je množina

$$D(cot)=\mathbb{R}-\left\{k\pi\right\};\quad k\in\mathbb{Z}$$

• Obor hodnot je množina všech reálných čísel.
• Cotangens nemá maximum ani minimum a není omezená.
• Cotangens je lichá funkce.

Vztah mezi sinem a cosinem

Goniometrické funkce mají mezi sebou blízké vztahy. Když se podíváte na graf funkce sinus a cosinus současně, tak zjistíte, že se od sebe moc neliší, že jedna je jen trochu posunutá oproti té druhé.

Takže pokud k argumentu funkce vždy přičteme π/2, dostaneme funkci cosinus:

A naopak, pokud u cosinu odečteme π/2, dostaneme sinus.

Můžeme tak napsat tyto vzorce:

$$\begin{eqnarray} \sin(x)&=&\cos(x-\frac{\pi}{2})\\ \cos(x)&=&\sin(x+\frac{\pi}{2}) \end{eqnarray}$$

Jak vyjádřit tangens a cotangens

Funkci tangens můžeme lehce vyjádřit pomocí sinu a cosinu. Stačí si uvědomit, co to tangens je: poměr délek protilehlé odvěsny ku délce přilehlé odvěsně. Vezmeme si na pomoc tento trojúhelník:

Čemu se rovná tangens úhlu beta?

$$\tan(\beta)=\frac{|b|}{|c|}.$$

Jak bychom mohli vyjádřit čitatele nebo jmenovatele? Čemu se rovná délka strany b a délka strany c? Víme, že sinus úhlu beta je roven:

$$\sin(\beta)=\frac{|b|}{|a|}$$

Z toho vzorce osamostatníme |b|:

$$|b|=\sin(\beta)\cdot|a|$$

Cosinus úhlu beta je rovný:

$$\cos(\beta)=\frac{|c|}{|a|}$$

Osamostatníme |c|:

$$|c|=\cos(\beta)\cdot|a|$$

V tuto chvíli máme délky stran b a c vyjádřené pomocí funkcí sinus cosinus. Dosadíme tak tyto mezivýsledky do původní rovnice s tangensem:

$$\tan(\beta)=\frac{|b|}{|c|}=\frac{\sin(\beta)\cdot|a|}{\cos(\beta)\cdot|a|}$$

Z čitatele a jmenovatele můžeme zkrátit |a| a dostaneme konečný vzorec:

$$\tan(\beta)=\frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)}$$

Tangens tak můžeme rozepsat jako podíl sinu a cosinu. Už bez odvození si povíme, že cotangens můžeme napsat jako obrácený zlomek, tj. podíl cosinus lomeno sinus.

$$\begin{eqnarray} \tan(\alpha)&=&\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\\ \cot(\alpha)&=&\frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} \end{eqnarray}$$

Vztah mezi tangensem a cotangensem

Podobně jako jsou si podobné funkce sinus a cosinus, jsou si podobné i funkce tangens a cotangens. Prohlédněte si oba grafy v jednom obrázku:

Jakým způsobem uděláme z křivky, která popisuje tangens, křivku popisující cotangens? Cotangens je posunutý o π/2, tím začneme:

Už jsme se dostali blíže ke cotangensu, ale stále máme křivky ve špatné směru, cotangens je ve vybraných intervalech klesající, zatímco tato posunutá křivka je rostoucí. Tomu pomůžeme tak, že změníme znaménko proměnné x:

Můžeme tak napsat:

$$\cot(x)=\tan(-x+\frac{\pi}{2})$$

Tabulkové hodnoty

Sinus, cosinus, tangens a cotangens mají pro některé hezké úhly hezké výsledné hodnoty. Zde je jejich základní přehled:

$$ \LARGE \begin{matrix} &\sin&\cos&\tan&\cot\\ 0^\circ&0&1&0&\times\\ 30^\circ&\frac12&\frac{\sqrt{3}}{2}&\frac{\sqrt{3}}{3}&\sqrt{3}\\ 45^\circ&\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{\sqrt{2}}{2}&1&1\\ 60^\circ&\frac{\sqrt{3}}{2}&\frac12&\sqrt{3}&\frac{\sqrt{3}}{3}\\ 90^\circ&1&0&\times&0 \end{matrix} $$