Gabungan

Gabungan digunakan apabila kita memilih sejumlah objek daripada suatu set objek dan susunan objek yang dipilih itu tidak penting. Contoh yang biasa ialah cabutan nombor: sebuah kotak cabutan mengandungi 49 nombor dan 6 nombor dicabut daripadanya, tanpa mengira susunan nombor itu dicabut.

Pembuktian rumus

Mesin cabutan

Katakan kita mempunyai set M, contohnya M = {a, b, c, d, e}. Gabungan k objek ialah subset K ⊆ M yang mengandungi k unsur. Oleh sebab K ialah set, susunan sudah tentu tidak penting. Jadi, gabungan tiga objek daripada set M boleh jadi {a, b, d} atau {b, c, d}.

Perbezaannya dengan pilih atur ialah dalam pilih atur, susunan itu penting. Jadi, (a, b, e) dan (e, b, a) ialah dua pilih atur yang berbeza, tetapi kedua-duanya ialah gabungan yang sama kerana (a, b, e) dan (e, b, a) mengandungi unsur yang sama. Susunan unsur yang berbeza tidak diambil kira dalam gabungan.

Walau bagaimanapun, kita boleh menggunakan pilih atur untuk memperoleh rumus bagi bilangan semua gabungan yang berbeza. Kita tahu bahawa bilangan pilih atur k objek daripada set dengan n unsur ialah

$^{n} P_{k} = \frac{n!}{(n - k)!} .$

Jika kita mengira bilangan semua pilih atur tiga objek daripada set M = {a, b, c, d, e} tadi, kita memperoleh ⁵P₃ = 60 pilih atur yang berbeza. Namun, bagi setiap tigaan, semua pilih aturnya turut dikira. Kita akan mempunyai tigaan abc, tetapi juga tigaan acb, bac, bca, cab dan cba. Ini ialah enam pilih atur yang berbeza, tetapi hanya satu gabungan kerana semuanya mengandungi unsur yang sama.

Jadi, jika kita mempunyai satu tigaan, berapa banyak pilih atur bagi tigaan itu? Sebanyak 3!. Dengan kata lain, bilangan pilih atur tiga objek ialah 3! kali ganda bilangan gabungan tiga objek. Bukannya mengira satu gabungan, kita mengira 3! pilih atur, iaitu setiap susunan bagi tigaan itu. Oleh itu, jika bilangan pilih atur dibahagi dengan 3!, kita memperoleh bilangan gabungan.

Kaedah ini boleh diitlakkan: bilangan semua gabungan k objek yang berbeza daripada set bersaiz n, yang kita tandakan sebagai ⁿC_k, ialah

$^{n} C_{k} = \frac{^{n} P_{k}}{k!},$

iaitu bilangan pilih atur dibahagi dengan k!, yakni bilangan susunan bagi setiap k-tupel. Rumus ini boleh dipermudahkan dengan menulis rumus pilih atur secara penuh:

$^{n} C_{k} = \frac{^{n} P_{k}}{k!} = \frac{n!}{(n - k)!} \cdot \frac{1}{k!} = \frac{n!}{(n - k)! \cdot k!} .$

Contoh: bilangan gabungan dua objek daripada set {a, b, c} ialah

$^{3} C_{2} = \frac{3!}{1! \cdot 2!} = 3$

dan gabungan tersebut ialah {a, b}, {a, c} dan {b, c}. Bagi gabungan tiga objek daripada set asal M = {a, b, c, d, e}, kita memperoleh

$^{5} C_{3} = \frac{5!}{(5 - 3)! \cdot 3!} = 10$

dan gabungan tersebut ialah {a, b, c}, {a, b, d}, {a, b, e}, {a, c, d}, {a, c, e}, {a, d, e}, {b, c, d}, {b, c, e}, {b, d, e}, {c, d, e}.

Pekali binomial

Selain tatatanda ⁿC_k di atas, terdapat juga tatatanda yang dipanggil pekali binomial, yang lazim digunakan di universiti dan dalam teorem binomial. Pekali binomial ditulis seperti berikut:

$(\binom{n}{k})$

Rupanya seperti pecahan tanpa garis pecahan (yang mungkin tetap akan anda tulis kerana sudah terbiasa), tetapi dengan tanda kurung (tanda kurung ini wajib, bukan pilihan). Pekali binomial dibaca “n pilih k”. Nilai pekali binomial sama dengan ⁿC_k.

$(\binom{n}{k}) = \frac{n!}{(n - k)! \cdot k!}$

Jadi, jika kita mempunyai set dengan 5 unsur dan memilih empat unsur daripadanya, jumlah pilihan ialah

$(\binom{5}{4}) = \frac{5!}{1! \cdot 4!} = 5.$

Hubungan asas

Bagi pekali binomial dan n ∈ ℕ, hubungan berikut benar:

$\begin{array}{rcl} (\binom{n}{0}) = (\binom{n}{n}) = (\binom{0}{0}) & = & 1 \\ (\binom{n}{1}) & = & n \end{array}$

Selain itu, bagi n, k ∈ ℕ₀ dan k ≤ n:

$\begin{array}{rcl} (\binom{n}{n - k}) & = & (\binom{n}{k}) . \end{array}$

Bagi n, k ∈ ℕ₀ dan k < n pula:

$\begin{array}{rcl} (\binom{n}{k}) + (\binom{n}{k + 1}) & = & (\binom{n + 1}{k + 1}) . \end{array}$

Kalkulator

Kalkulator berikut mengira pekali binomial n pilih k.

Contoh soalan dan penyelesaian

Kita mulakan dengan cabutan nombor yang disebut tadi. Daripada sebuah kotak cabutan yang mengandungi 49 biji bola, 6 biji bola dicabut. Berapa banyak hasil cabutan berbeza yang mungkin?

Pertama sekali: adakah susunan nombor dicabut penting? Tidak, yang diteka hanyalah nombornya, bukan susunannya. Jadi, kita menggunakan gabungan. Terdapat 49 biji bola kesemuanya dan 6 biji dicabut, maka kita memperoleh pekali binomial

$(\binom{49}{6}) = \frac{49!}{(49 - 6)! \cdot 6!} = \frac{49!}{43! \cdot 6!} = 13 983 816$

Terdapat 13 983 816 hasil cabutan yang mungkin. Hal ini juga memberikan kebarangkalian bahawa satu set enam nombor yang diteka sepadan tepat dengan nombor yang dicabut, iaitu 1/13 983 816, atau 0.00000715112%.
Aisyah ingin menjemput rakan ke majlis hari jadinya. Dia mempunyai 13 orang rakan baik, tetapi rumahnya hanya muat untuk 4 orang tetamu. Berapa banyak kumpulan empat orang yang berbeza boleh dipilih oleh Aisyah?

Ini juga soalan gabungan yang mudah. Susunan tidak penting kerana Aisyah gembira bersama setiap tetamunya, tidak kira siapa yang dijemput dahulu. Jadi, kita mempunyai set 13 orang rakan dan setiap kali memilih 4 orang. Hal ini memberikan pekali binomial

$(\binom{13}{4}) = 715.$
Terdapat sekumpulan lima puluh orang, separuh lelaki dan separuh perempuan. Berapa banyak kumpulan tiga orang yang berbeza wujud jika setiap kumpulan tidak boleh terdiri daripada satu jantina sahaja (iaitu kumpulan itu tidak boleh terdiri daripada tiga lelaki atau tiga perempuan)?

Gabungan ini sedikit lebih rumit. Jika kumpulan satu jantina dikecualikan, hanya tinggal dua cara untuk membentuk kumpulan tiga orang: dua lelaki dan seorang perempuan, atau seorang lelaki dan dua perempuan. Bilangan gabungan bagi kumpulan pertama (dua lelaki dan seorang perempuan) sama dengan bilangan gabungan bagi kumpulan kedua. Jadi, kita hanya perlu mengira bilangan gabungan bagi kumpulan pertama dan mendarabnya dengan dua. Sekarang soalan ini menjadi mudah semula. Kita tentukan bilangan gabungan pasangan lelaki yang berbeza, iaitu dua puluh lima pilih dua, lalu mendarabnya dengan bilangan gabungan seorang perempuan (iaitu dua puluh lima, lihat hubungan asas di atas, khususnya baris kedua). Akhir sekali, hasil ini didarab dengan dua untuk memperoleh jawapan akhir.

$2 \cdot (\binom{25}{2}) \cdot (\binom{25}{1}) = 15000.$
Sebuah kotak mengandungi 15 barang, dan 4 daripadanya rosak. Dengan berapa cara 6 barang boleh dipilih supaya
- tiada barang yang rosak? Dalam kes ini kita memilih 6 barang daripada 15 − 4 = 11 barang yang tidak rosak. Kita memperoleh pekali binomial
  
  $(\binom{11}{6}) = 462.$
- tepat satu barang rosak? Kita memilih set yang mengandungi 5 barang yang elok dan 1 barang yang rosak. Terdapat 11 barang yang elok dan 4 barang yang rosak. Dengan petua pendaraban, kita memperoleh:
  
  $(\binom{11}{5}) \cdot (\binom{4}{1}) = 1848$
- paling banyak satu barang rosak? Kita menggunakan hasil sebelumnya. Kita tahu bahawa terdapat 462 cara untuk memilih 6 barang yang semuanya elok dan 1848 cara untuk memilih lima barang yang elok dan satu barang yang rosak. Dengan petua penambahan, kita menjumlahkan kedua-dua hasil ini dan memperoleh jawapan yang dikehendaki, iaitu paling banyak satu barang rosak (= sama ada tiada barang rosak, atau tepat satu). Jawapannya ialah: 462 + 1848 = 2310.

Kandungan: Kombinatorik, Pilih atur k objek daripada n objek, Pilih atur, Gabungan, Susunan dengan ulangan, Gabungan dengan ulangan, Berapa banyak PIN berbeza yang wujud?

« Artikel sebelumnya: Pilih atur

Artikel seterusnya: Susunan dengan ulangan »