Pilih atur k objek daripada n objek

Pilih atur digunakan apabila kita memilih sejumlah objek daripada suatu set objek dan susunan objek yang dipilih itu penting.

Pembuktian rumus

Mari kita mulakan dengan soalan pilih atur yang biasa: setiap tahun, sebuah kampung mengadakan pertandingan makan roti canai. Tujuh orang peserta yang tangannya berminyak telah layak ke pusingan akhir. Hitung bilangan cara tujuh orang peserta ini boleh menduduki tiga tempat pertama.

Perlu diingat bahawa dalam soalan ini susunan itu penting. Contohnya, jika kita tahu bahawa Ahmad, Muthu dan Wei Jie menduduki tiga tempat pertama, maka ketiga-tiga mereka menghasilkan enam kedudukan yang berbeza:

• Ahmad, Muthu, Wei Jie;
• Ahmad, Wei Jie, Muthu;
• Muthu, Ahmad, Wei Jie;
• Muthu, Wei Jie, Ahmad;
• Wei Jie, Ahmad, Muthu;
• Wei Jie, Muthu, Ahmad.

Semua ini ialah kedudukan yang berbeza, dan kita mahu mengira jumlah kedudukan berbeza yang boleh dibentuk apabila terdapat 7 orang peserta.

Untuk itu, kita menggunakan petua pendaraban. Kita memilih tigaan berbentuk (x₁, x₂, x₃), dengan x₁ ialah peserta yang menduduki tempat pertama, dan seterusnya. Siapakah yang boleh menjadi x₁? Semua peserta, jadi terdapat 7 pilihan bagi x₁. Siapakah yang boleh menjadi x₂? Semua peserta kecuali yang sudah diletakkan di tempat pertama, jadi terdapat 7 − 1 = 6 pilihan bagi x₂. Bagi x₃ pula, kita boleh memilih peserta yang tidak berada di tempat pertama atau kedua, jadi terdapat 7 − 2 = 5 pilihan. Dengan petua pendaraban, kita memperoleh jumlah pilihan: 7 · 6 · 5 = 210.

Perhatikan bahawa jika kita mahu mengetahui bilangan semua kemungkinan bagi 4 tempat pertama, terdapat 7 − 3 = 4 pilihan bagi x₄, jadi jumlah pilihan ialah 7 · 6 · 5 · 4 = 840. Apakah yang dapat kita simpulkan?

Jika kita mempunyai set dengan n unsur (dalam contoh ini 7 orang peserta) dan memilih 3 unsur dengan susunan yang penting, maka hasilnya sama dengan n · (n − 1) · (n − 2). Tempat pertama boleh diduduki oleh semua orang, tempat berikutnya oleh seorang kurang, dan seterusnya. Daripada ini kita boleh menyimpulkan rumus am apabila kita memilih k unsur daripada set dengan n unsur: bilangan pilihan ialah n · (n − 1) · (n − 2) · … · (n − k + 1).

Rumus ini boleh dipermudahkan lagi dengan faktorial. Lihat faktorial tujuh: 7! = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1. Bandingkan dengan cara kita mengira bilangan kedudukan pemenang pingat, 7 · 6 · 5. Terdapat persamaan yang jelas. Kita hanya perlu membuang bahagian hujungnya, iaitu membahagikan 7! dengan 4 · 3 · 2 · 1 supaya yang tinggal hanyalah 7 · 6 · 5. Berapakah nilai 4 · 3 · 2 · 1? Nilainya ialah 4!.

Jadi, jika kita mempunyai set dengan n unsur dan memilih k unsur dengan susunan yang penting, maka terdapat

$${}^n{P}_k=\frac{n!}{(n-k)!}$$

pilihan kesemuanya. Tatatanda ini dibaca “pilih atur k objek daripada n objek”. Gantikan nombor daripada pertandingan roti canai ke dalam rumus ini:

$${}^7{P}_3=\frac{7!}{(7-3)!}=\frac{7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=7\cdot 6\cdot 5=210.$$

Kalkulator

Kalkulator berikut mengira bilangan pilih atur bagi n dan k yang diberi.

Contoh soalan dan penyelesaian

1. Kita kembali kepada pertandingan makan roti canai. Bagaimanakah bilangan kedudukan pemenang pingat akan berubah jika kita tahu bahawa Hafiz turut menyertai pertandingan itu? Dia seorang jaguh dan sentiasa menang. Dengan kata lain, berapa banyak kedudukan pemenang pingat yang berbeza wujud jika terdapat 7 orang peserta dan Hafiz pasti menang?

Ini juga pilih atur yang mudah. Tempat pertama sudah pasti, dan daripada 6 orang peserta yang tinggal kita perlu menentukan cara mengisi tempat kedua dan ketiga. Jadi, kita memilih 2 unsur daripada set dengan 6 unsur, iaitu pilih atur

$${}^6{P}_2=\frac{6!}{(6-2)!}=30$$

2. Dahulu, ketika Hafiz belum menjadi jaguh, dia selalu menduduki salah satu daripada tiga tempat pertama. Berapa banyak kedudukan pemenang pingat yang berbeza wujud jika terdapat 7 orang peserta dan Hafiz pasti memenangi pingat?

   Soalan ini berbeza daripada soalan sebelumnya kerana kita tidak tahu tempat yang diduduki Hafiz. Dia mungkin hanya menduduki tempat kedua, malah tempat ketiga, dan dia masih malu tentang perkara itu. Oleh itu, kita perlu mengira tiga pilih atur yang berbeza: apabila Hafiz menang, apabila dia memenangi pingat perak dan akhirnya apabila dia memenangi pingat gangsa. Walau bagaimanapun, setiap kali hanya tinggal dua tempat untuk peserta lain. Contohnya, jika Hafiz menduduki tempat kedua, peserta lain boleh menduduki tempat pertama atau ketiga. Jadi, sekali lagi kita mengira pilih atur 2 objek daripada 6 objek, cuma kita perlu mengiranya tiga kali, bagi tiga kedudukan Hafiz yang berbeza. Bilangan semua kedudukan ialah:

   $$3\cdot {}^6{P}_2=3\cdot \frac{6!}{(6-2)!}=3\cdot 30=90$$

   Perhatikan bahawa nombor tiga di hadapan pilih atur itu boleh ditulis sebagai ³P₁ kerana sebenarnya kita memilih satu unsur (satu kedudukan tertentu) daripada set dengan tiga unsur (tiga tempat pemenang pingat).

3. Sebuah sekolah mempunyai 20 orang guru. Ujian lisan akan diadakan tidak lama lagi dan sebuah panel penilai perlu dibentuk seperti berikut: seorang pengerusi, seorang ahli panel yang baik hati dan seorang ahli panel yang garang. Berapakah jumlah pilihan yang ada?

   Soalan pertama yang perlu dijawab ialah sama ada susunan itu penting. Ya, susunan penting kerana tiga orang guru sekali lagi boleh disusun dengan enam cara yang berbeza. Sekarang soalan ini mudah: kita mengira pilih atur 3 objek daripada 20 objek:

   $${}^{20}{P}_3=\frac{20!}{17!}=6840.$$

4. Berapa banyak nombor tiga digit boleh dibentuk daripada digit {0, 1, 2, 3, 4, 5} jika tiada digit yang boleh diulang?

   Adakah susunan penting? Ya, 123 ialah nombor yang berbeza daripada 321. Berapa banyak tigaan berbeza yang wujud? Ini ialah pilih atur 3 objek daripada 6 objek yang mudah:

   $${}^6{P}_3=\frac{6!}{3!}=120.$$

   Tetapi kita masih perlu menolak pilih atur yang bermula dengan sifar kerana 012 bukan nombor tiga digit. Jadi, soalannya sekarang: berapa banyak tigaan berbeza yang bermula dengan sifar? Dalam kes ini, digit hanya berubah di dua tempat yang tinggal (tigaan berbentuk (0, x₂, x₃)), jadi kita mencari bilangan pasangan berbeza yang boleh dibentuk daripada nombor {1, 2, 3, 4, 5}. Ini juga mudah: ⁵P₂ = 5!/3! = 20. Jadi, terdapat 20 tigaan yang bermula dengan sifar.

   Maka, jumlah nombor tiga digit yang dibentuk daripada digit {0, 1, 2, 3, 4, 5} ialah 120 − 20 = 100.

5. Berapa banyak nombor tiga digit yang berbeza boleh dibentuk daripada digit {1, 2, 3, 4, 5} jika tiada digit yang boleh diulang dan nombor itu mestilah nombor ganjil?

   Susunan penting kerana 123 ialah nombor yang berbeza daripada 321. Kita membentuk nombor tiga digit yang ganjil. Maksudnya, dua tempat pertama boleh diisi dengan sebarang digit, tetapi tempat terakhir mesti diisi dengan salah satu digit {1, 3, 5}. Mula-mula kita mengira bilangan semua tigaan yang boleh dibentuk daripada lima digit: ⁵P₃ = 5! / 2! = 60.

   Setiap digit muncul di tempat terakhir dengan kekerapan yang sama. Oleh sebab terdapat 5 digit, setiap digit muncul di tempat terakhir sebanyak 60 / 5 = 12 kali. Terdapat tiga digit {1, 3, 5} yang boleh muncul di tempat terakhir, jadi terdapat 12 nombor berbeza yang berakhir dengan 1, 12 nombor yang berakhir dengan 3 dan 12 nombor yang berakhir dengan 5. Dengan petua penambahan, kita memperoleh 12 + 12 + 12 = 36 pilihan kesemuanya.

6. Hitung x jika diberi bahawa ^xP₂ = 72. Dengan kata lain, kita memilih pasangan tertib daripada set yang bersaiz x, dan kita tahu bahawa 72 pasangan berbeza boleh dipilih kesemuanya. Berapakah saiz set asal itu? Kita tulis:

   $${}^x{P}_2=\frac{x!}{(x-2)!}=72$$

   Kemudian kita permudahkan:

   $$\begin{array}{rcl}\frac{x!}{(x-2)!}& =& 72\\ \frac{x\cdot (x-1)\cdot (x-2)!}{(x-2)!}& =& 72\\ x\cdot (x-1)& =& 72\\ x^2-x& =& 72\\ x^2-x-72& =& 0\end{array}$$

   Ini ialah persamaan kuadratik biasa. Kita boleh menyelesaikannya dengan pembeza layan, atau menulis semula persamaan itu dalam bentuk

   $$(x+8)\cdot (x-9)=0$$

   dan daripadanya kita terus memperoleh penyelesaian: x₁ = −8 dan x₂ = 9. Penyelesaian negatif tidak diambil kira kerana saiz set tidak boleh negatif. Maka, penyelesaian persamaan asal ialah x = 9, iaitu set itu mempunyai sembilan unsur.