Teorem binomial

Teorem binomial ialah pengitlakan rumus klasik seperti (a + b)² dengan bantuan kaedah kombinatorik.

Motivasi

Anda pasti mengetahui rumus untuk mengira (a + b)² atau (a + b)³:

$$\begin{array}{rcl}(a+b{)}^2& =& a^2+2ab+b^2\\ (a+b{)}^3& =& a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3\end{array}$$

Soalan yang timbul secara semula jadi ialah sama ada rumus-rumus ini boleh diitlakkan bagi sebarang nombor asli n, iaitu bolehkah kita mengira (a + b)ⁿ?

Pembuktian

Sudah tentu boleh, dan teorem binomial digunakan untuk tujuan ini. Mari kita lihat bagaimana kembangan ini diteruskan bagi n = 4 dan n = 5.

$$\begin{array}{rcl}(a+b{)}^4& =& a^4+4a^{3}b+6a^2{b}^2+4a{b}^3+b^4\\ (a+b{)}^5& =& a^5+5a^{4}b+10a^3{b}^2+10a^2{b}^3+5a{b}^4+b^5\end{array}$$

Anda sepatutnya sudah dapat melihat suatu pola. Jika kita mempunyai ungkapan (a + b)ⁿ, maka di sebelah kanan kita sentiasa bermula dengan sebutan aⁿ. Sebutan kedua juga mengandungi pemboleh ubah a, tetapi indeksnya kurang satu. Contohnya, dalam kembangan (a + b)⁴, sebutan pertama di sebelah kanan ialah a⁴ dan sebutan kedua mengandungi a³. Setiap sebutan berikutnya mengandungi pemboleh ubah a dengan indeks yang kurang satu daripada sebutan sebelumnya. Sebaliknya, indeks pemboleh ubah b bertambah. Pada mulanya pemboleh ubah b tiada, atau lebih tepat lagi, ada tetapi dengan indeks sifar: b⁰ = 1. Dalam sebutan kedua, b mempunyai indeks satu, kemudian dua, dan seterusnya.

Dalam semua ini, terdapat peraturan mudah: hasil tambah indeks sentiasa sama dengan n. Jika kita lihat kembangan terakhir (a + b)⁵, contohnya sebutan ketiga ialah 10a³ · b², dan hasil tambah indeks bagi pemboleh ubah a dan b ialah 5.

Perkara terakhir ialah pekali (nombor di hadapan pemboleh ubah) bagi setiap sebutan. Anda pasti perasan bahawa pekali-pekali ini simetri: bagi (a + b)⁴ kita mempunyai pekali 1, 4, 6, 4, 1, dan bagi (a + b)⁵ pula: 1, 5, 10, 10, 5, 1. Ingat bahawa a⁴ = 1 · a⁴, itulah sebabnya saya menulis nombor satu itu walaupun tidak ditulis secara jelas dalam rumus. Hubungan seterusnya akan kita lihat pada segi tiga Pascal.

Segi tiga Pascal

Segi tiga Pascal ialah alat bantu yang berguna untuk mengira kembangan menggunakan teorem binomial. Segi tiga Pascal terdiri daripada nombor-nombor, dan setiap nombor yang terletak di bawah dua nombor lain sama dengan hasil tambah kedua-dua nombor itu. Kedengarannya rumit, tetapi segi tiga itu sendiri akan menjelaskannya:

Lihat, contohnya, nombor empat. Di atas nombor ini terdapat nombor 1 dan 3. Hasil tambah 1 + 3 memang 4. Hal yang sama berlaku bagi nombor-nombor lain.

Bagaimanakah kita menggunakan segi tiga Pascal? Jika anda melihat nombor pada setiap baris, anda akan dapati bahawa nombor-nombor itu sangat menyerupai pekali dalam kembangan binomial. Contohnya, bagi (a + b)² kita mempunyai pekali 1, 2, 1, iaitu tepat baris kedua. Bagi (a + b)⁴ kita mempunyai pekali 1, 4, 6, 4, 1, iaitu tepat baris keempat. Jika kita perlu mengira (a + b)ⁿ, kita hanya perlu melihat baris ke-n segi tiga Pascal.

Takrif teorem binomial

Secara formal, teorem binomial berbunyi seperti berikut:

$$(a+b{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})a^{n-k}{b}^{k}a,b\in \mathbb{R};n\in \mathbb{N}$$

Hasil tambah dikira dari sifar hingga n, termasuk nilai hujungnya. Jadi, bilangan sebutan yang ditambah ialah n + 1. Ungkapan dalam tanda kurung itu ialah pekali binomial, iaitu konsep daripada kombinatorik yang mewakili bilangan gabungan berbeza yang boleh menghasilkan sebutan tertentu dalam kembangan binomial. Selebihnya hanyalah pemboleh ubah dengan indeks yang sesuai. Perhatikan bahawa hasil tambah indeks memang sama dengan n: n − k + k = n.

Contoh

Contoh mudah: dengan menggunakan teorem binomial, kembangkan (a + 2b)⁴. Pertama, kita lihat baris keempat segi tiga Pascal. Baris ini memberitahu kita bahawa pekalinya ialah: 1, 4, 6, 4, 1. Sekarang kita hanya perlu mengisi indeks satu demi satu. Sebutan pertama hanya mengandungi a⁴:

$$(a+2b{)}^4=a^4+\dots$$

Dalam sebutan kedua, indeks dibahagikan kepada pasangan 3, 1, jadi kita memperoleh a³(2b)¹. Kuasa satu tidak mengubah ungkapan, jadi kita boleh menulis a³2b. Pekali bagi sebutan kedua ialah 4:

$$(a+2b{)}^4=a^4+4a^{3}2b+\dots$$

Sebutan ketiga mempunyai indeks 2, 2. Berhati-hati di sini: kita menaikkan kuasa keseluruhan 2b, iaitu (2b)², yang sama dengan: (2b)² = 4b². Kita tambahkan sebutan ini ke dalam kembangan dengan pekali 6:

$$(a+2b{)}^4=a^4+4a^{3}2b+6a^{2}4b^2+\dots$$

Sebutan keempat berbentuk a(2b)³. Selepas kuasa dikira, kita memperoleh a8b³. Kita tambahkan dengan pekali 4:

$$(a+2b{)}^4=a^4+4a^{3}2b+6a^{2}4b^2+4a8b^3+\dots$$

Sebutan terakhir hanyalah (2b)⁴ = 16b⁴:

$$(a+2b{)}^4=a^4+4a^{3}2b+6a^{2}4b^2+4a8b^3+16b^4.$$

Sekarang kita hanya perlu mempermudahkannya sedikit. Dalam sebutan 4a³2b, kita boleh memindahkan nombor dua ke hadapan sebutan dan mendarabnya: 2 · 4 = 8. Kita memperoleh 8a³b. Jika kita melakukan hal yang sama bagi sebutan yang lain, kita memperoleh jawapan:

$$(a+2b{)}^4=a^4+8a^{3}b+24a^2{b}^2+32a{b}^3+16b^4.$$

Perhatikan bahawa pada peringkat ini pekali tidak lagi sepadan dengan nombor dalam segi tiga Pascal.