Pilih atur

Pilih atur semua objek ialah kes khas bagi pilih atur sebahagian objek: kita mempunyai set bersaiz n dan mahu mengetahui bilangan semua n-tupel yang berbeza.

Rumus

Mari kita ulang kaji pilih atur k objek daripada n objek. Diberi set digit {1, 2, 3, 4, 5}, berapa banyak nombor tiga digit boleh dibentuk daripadanya jika tiada digit yang boleh diulang? Ini ialah soalan pilih atur yang biasa dan boleh diselesaikan dengan rumus yang sudah kita ketahui:

$${}^n{P}_k=\frac{n!}{(n-k)!}=\frac{5!}{(5-3)!}=60.$$

Berapa banyak nombor lima digit pula yang boleh dibentuk?

$${}^n{P}_k=\frac{5!}{(5-5)!}=\frac{5!}{0!}=5!=120.$$

Perhatikan bahawa jika kita mempunyai set dengan lima unsur dan mencari bilangan semua lima-tupel yang berbeza, hasilnya sama dengan 5!. Kita boleh mengitlakkan perkara ini: jika kita mempunyai set dengan n unsur, maka terdapat n! n-tupel yang berbeza kesemuanya. Hal ini membawa kita kepada konsep pilih atur semua objek.

Apakah pilih atur

Jika kita mempunyai set M bersaiz n, maka pilih atur ialah sebarang n-tupel yang terdiri daripada unsur set M, dengan syarat tiada unsur yang berulang. Contohnya, jika M = {a, b, c, d}, maka (a, b, d, c) dan (d, b, a, c) ialah pilih atur. Bilangan semua pilih atur yang berbeza ialah

$${}^n{P}_n=n!$$

Contoh soalan dan penyelesaian

1. Anda mempunyai enam buah buku dan mahu menyusunnya di atas rak mengikut suatu susunan. Berapa banyak susunan berbeza yang wujud? Terdapat enam buah buku dan setiap kali kita menyusun semua buku, jadi jawapannya ialah ⁶P₆ = 6! = 720.

2. Selain 6 buah buku bahasa Melayu daripada soalan sebelumnya, anda kini mempunyai 4 buah buku dalam bahasa Inggeris. Berapa banyak cara berbeza untuk menyusun 10 buah buku ini di atas rak jika anda mahu semua buku bahasa Melayu diletakkan bersebelahan dan semua buku bahasa Inggeris juga diletakkan bersebelahan?

   Apakah pilihan yang ada untuk menyusun buku-buku itu? Kita boleh menyusun enam buah buku bahasa Melayu dahulu, kemudian empat buah buku bahasa Inggeris, atau sebaliknya: empat buah buku bahasa Inggeris dahulu, kemudian enam buah buku bahasa Melayu. Terdapat 6! cara untuk menyusun buku bahasa Melayu dan 4! cara untuk menyusun buku bahasa Inggeris. Dengan petua pendaraban, kita mendarab kedua-dua hasil ini: 6! · 4! = 17 280. Oleh sebab terdapat dua cara untuk meletakkan kumpulan buku itu (bahasa Melayu dahulu atau bahasa Inggeris dahulu), nombor ini perlu didarab dengan dua. Jawapan akhirnya ialah 17 280 · 2 = 34 560.