Kebarangkalian

Kebarangkalian suatu peristiwa rawak menyatakan sejauh mana peluang peristiwa itu berlaku. Contoh yang biasa ialah lambungan sebiji dadu. Kita boleh bertanya, “Berapakah kebarangkalian mendapat nombor lima?” Kebarangkalian dinyatakan sama ada sebagai nombor dalam selang [0, 1] atau dalam bentuk peratus, iaitu dari 0% hingga 100%.

Takrif yang berkaitan

Setiap aktiviti berulang yang bergantung pada nasib dipanggil eksperimen rawak. Contohnya, melambung dadu atau mencabut nombor dalam suatu cabutan ialah eksperimen rawak. Seterusnya, kita memerlukan set semua kesudahan yang mungkin bagi eksperimen rawak itu, iaitu semua kemungkinan yang boleh berlaku dalam eksperimen tersebut. Contohnya, dadu boleh menunjukkan nombor satu hingga enam, jadi set semua kesudahan, yang ditandakan dengan ω (omega) dan dipanggil ruang sampel (dalam buku teks ditulis S), bagi dadu ialah: ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Bagi cabutan nombor pula, ruang sampelnya terdiri daripada semua gabungan nombor yang boleh dicabut.

Setiap subset A ⊆ ω dipanggil peristiwa (rawak). Contohnya, peristiwa “dadu menunjukkan nombor genap” ditulis sebagai A = {2, 4, 6}. Peristiwa “dadu menunjukkan nombor yang lebih besar daripada lima” ditulis sebagai A = {6}, dan seterusnya. Jika kita melambung dadu (= menjalankan eksperimen) dan dadu menunjukkan nombor x, maka jika x ∈ A, kita katakan peristiwa itu berlaku; jika tidak, peristiwa itu tidak berlaku. Bagi peristiwa “dadu menunjukkan nombor genap”, jika kita mendapat x = 2, maka x ∈ A, iaitu 2 ∈ {2, 4, 6}, dan peristiwa itu berlaku.

Terdapat dua jenis peristiwa khas: peristiwa pasti dan peristiwa mustahil. Peristiwa pasti berlaku dalam setiap eksperimen, iaitu A = ω. Bagi dadu, contohnya ialah peristiwa “dadu menunjukkan nombor yang lebih kecil daripada 7”. Peristiwa ini pasti berlaku. Sebaliknya ialah peristiwa mustahil, iaitu A = ∅, contohnya “dadu menunjukkan pasu bunga”. Memang pasu bunga mungkin jatuh dari meja semasa kita melambung dadu, tetapi dadu itu sendiri tidak mungkin menunjukkan pasu bunga kerana mukanya hanya mempunyai nombor 1 hingga 6.

Kebarangkalian suatu peristiwa

Kebarangkalian suatu peristiwa menunjukkan sejauh mana kita boleh menjangkakan peristiwa itu berlaku. Kita semua dapat mengagak bahawa dadu lebih kerap menunjukkan nombor genap berbanding nombor lima. Kebarangkalian menukarkan agakan ini kepada nombor yang tepat. Pertama, kita nyatakan beberapa andaian yang diperlukan.

Andaikan eksperimen rawak itu memenuhi syarat berikut:

• Bilangan semua kesudahan yang mungkin adalah terhingga (iaitu ω ialah set terhingga).
• Dua kesudahan tidak boleh berlaku serentak (iaitu dadu tidak boleh menunjukkan nombor 3 dan 6 pada masa yang sama).
• Semua kesudahan sama mungkin (iaitu peluang mendapat nombor 4 sama dengan peluang mendapat nombor 6 atau 1).

Dua syarat pertama agak semula jadi. Syarat terakhir sedikit menyekat, tetapi buat masa ini sudah memadai. Maka, kebarangkalian peristiwa A, yang ditandakan sebagai P(A), ialah

$$P(A)=\frac{|A|}{|\omega |}.$$

Dengan kata lain: bilangan kesudahan yang menyebelahi peristiwa dibahagi dengan bilangan semua kesudahan. (Garis tegak dalam rumus di atas bermaksud bilangan unsur set.) Jadi, kebarangkalian mendapat nombor genap pada dadu ialah:

$$P(Genap)=\frac{|\{2,4,6\}|}{|\{1,2,3,4,5,6\}|}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}=0.5.$$

Kebarangkalian sering dinyatakan dalam bentuk peratus. Kita hanya perlu mendarab kebarangkalian yang dikira dengan seratus dan menambah simbol peratus: 0.5 · 100% = 50%. Kebarangkalian lima puluh peratus bermaksud peluang mendapat nombor genap sama dengan peluang tidak mendapatnya. Hal ini masuk akal kerana dadu mempunyai tiga nombor genap dan tiga nombor ganjil.

Peristiwa pasti mempunyai kebarangkalian 1, manakala peristiwa mustahil mempunyai kebarangkalian 0. Mengapa? Kita telah menyatakan bahawa bagi peristiwa pasti J, J = ω, dan bagi peristiwa mustahil N, N = ∅. Jika kita menggantikan peristiwa ini ke dalam rumus, kita memperoleh:

$$P(J)=\frac{|\omega |}{|\omega |}=1;P(N)=\frac{|\mathrm{\varnothing }|}{|\omega |}=\frac{0}{|\omega |}=0.$$

Contoh soalan dan penyelesaian

1. Berapakah kebarangkalian dadu menunjukkan nombor lima? Soalan ini mudah. Set semua kesudahan yang menyebelahi peristiwa hanyalah A = {5}, manakala set semua kesudahan masih ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Gantikan ke dalam rumus:

   $$P(A)=\frac{|\{5\}|}{|\{1,2,3,4,5,6\}|}=\frac{1}{6}=16.666\dots \mathrm{\%}$$

2. Berapakah kebarangkalian dadu menunjukkan nombor yang boleh dibahagi tepat dengan tiga? Kita perlu menentukan nombor pada dadu yang boleh dibahagi tepat dengan tiga. Nombor itu hanyalah 3 dan 6, jadi set kesudahan yang menyebelahi peristiwa ialah B = {3, 6}. Kemudian seperti biasa:

   $$P(B)=\frac{|\{3,6\}|}{|\{1,2,3,4,5,6\}|}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}=33.333\dots \mathrm{\%}$$

3. Sekarang kita cuba melambung dua biji dadu serentak. Berapakah kebarangkalian kedua-dua dadu menunjukkan nombor 6? Pertama, kita perlu menentukan ω, iaitu set semua kesudahan. Kita perlu menyenaraikan semua kemungkinan yang boleh berlaku. Jika dadu pertama menunjukkan nombor 1, dadu kedua boleh menunjukkan nombor 1 hingga 6. Ini memberikan enam kemungkinan. Jika dadu pertama menunjukkan nombor 2, dadu kedua sekali lagi boleh menunjukkan nombor 1 hingga 6, iaitu enam kemungkinan lagi. Begitulah seterusnya bagi semua nombor yang boleh muncul pada dadu pertama. Semua kemungkinan adalah seperti berikut:

   $$\begin{array}{rcl}& \omega =& (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),\\ & & (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),\\ & & \dots \\ & & (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)\end{array}$$

   Terdapat enam baris dan setiap baris mengandungi enam kemungkinan. Jadi, terdapat 6 · 6 = 36 kesudahan kesemuanya. Berapa banyak daripadanya juga berada dalam set kesudahan yang menyebelahi peristiwa? Hanya satu, iaitu (6, 6), kerana kita mahu mendapat dua nombor 6. Jadi, kebarangkaliannya ialah:

   $$P(C)=\frac{|\{(6,6)\}|}{|\omega |}=\frac{1}{36}=2.777\dots \mathrm{\%}$$

4. Berapakah kebarangkalian kedua-dua dadu menunjukkan nombor yang sama apabila dua biji dadu dilambung? Bilangan semua kesudahan masih 36, seperti dalam contoh sebelumnya. Berapa banyak pula kesudahan yang menyebelahi peristiwa? Hanya dalam enam kes kedua-dua dadu menunjukkan nombor yang sama: D = {(1, 1), (2, 2), …, (6, 6)}. Gantikan ke dalam rumus:

   $$P(D)=\frac{|D|}{|\omega |}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}=16.666\dots \mathrm{\%}$$

5. Dua biji dadu, satu putih dan satu hitam, dilambung. Berapakah kebarangkalian dadu putih menunjukkan 3 dan dadu hitam menunjukkan 5? Saiz ω masih 36. Apakah set kesudahan E yang menyebelahi peristiwa? Set itu hanya mengandungi kesudahan (3, 5), jadi kebarangkaliannya ialah

   $$P(E)=\frac{|E|}{|\omega |}=\frac{1}{36}=2.777\dots \mathrm{\%}$$

6. Dua biji dadu, satu putih dan satu hitam, dilambung. Berapakah kebarangkalian mendapat nombor 3 dan 5? Contoh ini serupa dengan contoh sebelumnya, cuma kita tidak mensyaratkan nombor 3 muncul pada dadu putih dan nombor 5 pada dadu hitam. Salah satu dadu mesti menunjukkan 3 dan dadu yang satu lagi menunjukkan 5. Hal ini memberikan lebih banyak kemungkinan: selain (3, 5), kita juga mempunyai (5, 3). Jadi, kebarangkalian peristiwa F ini ialah:

   $$P(F)=\frac{|F|}{|\omega |}=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}=5.555\dots \mathrm{\%}$$

7. Berapakah kebarangkalian mendapat sekurang-kurangnya satu nombor 6 apabila dua biji dadu dilambung? Kita selesaikan langkah demi langkah. Jika dadu pertama menunjukkan 6, dadu kedua boleh menunjukkan nombor 1 hingga 5. Ini ialah lima kemungkinan. Jika dadu kedua menunjukkan 6, dadu pertama boleh menunjukkan nombor 1 hingga 5. Ini lima kemungkinan lagi. Akhir sekali, kedua-dua dadu boleh menunjukkan 6, iaitu satu lagi kemungkinan. Jadi, terdapat 5 + 5 + 1 = 11 kemungkinan kesemuanya. Set kesudahan G yang menyebelahi peristiwa ialah: G = {(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6), (5, 6), (6, 6)}. Kita memperoleh kebarangkalian:

   $$P(G)=\frac{|G|}{|\omega |}=\frac{11}{36}=30.555\dots \mathrm{\%}$$

8. Sebuah kelas mempunyai 30 orang pelajar. Cikgu Sejarah menyoal dua orang pelajar secara lisan dalam setiap waktu pelajaran, dan setakat ini belum ada sesiapa yang dipanggil. Berapakah kebarangkalian Hafiz dipanggil? Untuk mengira kebarangkalian ini, kita perlu mengetahui bilangan pasangan pelajar yang berbeza dan bilangan pasangan pelajar yang salah seorangnya ialah Hafiz. Oleh sebab susunan cikgu memanggil pelajar tidak penting, kita menggunakan gabungan.

   Sekarang soalan ini menjadi mudah. Terdapat 30 orang pelajar dan kita bertanya berapa banyak pasangan berbeza yang boleh dibentuk daripada mereka. Hal ini memberikan pekali binomial

   $$(\genfrac{}{}{0ex}{}{30}{2})=435$$

   Dalam berapa banyak pasangan pula Hafiz terlibat? Jika salah seorang daripada pasangan itu ialah Hafiz, maka terdapat 29 orang pelajar lain yang boleh menjadi pasangannya (dia tidak boleh berpasangan dengan dirinya sendiri, itulah sebabnya 30 - 1 = 29). Sekarang kita mengetahui bilangan semua kemungkinan dan bilangan kemungkinan yang menyebelahi peristiwa, jadi kita gantikan ke dalam rumus:

   $$P(H)=\frac{29}{435}=0.0666\dots =6.666\dots \mathrm{\%}$$

   Catatan: bilangan semua pasangan juga boleh dikira tanpa gabungan. Bagaimanakah kita boleh membentuk semua pasangan dalam kelas yang mempunyai 30 orang pelajar? Kita ambil seorang pelajar dan memasangkannya dengan setiap pelajar lain satu demi satu. Contohnya, kita ambil Ahmad dan memasangkannya dengan semua pelajar lain, iaitu kita membentuk 29 pasangan. Kita lakukan perkara yang sama bagi setiap pelajar, iaitu bagi kesemua 30 orang pelajar. Kita memperoleh 30 · 29 = 870 pasangan kesemuanya. Walau bagaimanapun, setiap pasangan dikira dua kali: sekali sebagai (Ahmad, Siti) dan sekali lagi sebagai (Siti, Ahmad) (bergantung pada sama ada Ahmad ialah pelajar yang dipasangkan dengan seluruh kelas atau pelajar yang dipasangkan dengan Siti). Jadi, hasil ini perlu dibahagi dengan dua, dan kita memperoleh jawapan akhir: 870 / 2 = 435.

9. Sebuah rak kasut mengandungi dua belas pasang kasut. Berapakah kebarangkalian bahawa tiga kasut yang dikeluarkan semuanya kasut kaki kiri? Ini contoh kehidupan seharian yang sangat berguna, dan pasti anda pernah perlu mengetahuinya. Kita mulakan dengan mengira berapa banyak tigaan berbeza yang boleh dikeluarkan dari rak kasut. Untuk itu kita memerlukan gabungan kerana susunan kasut dikeluarkan tidak penting. Terdapat 24 kasut kesemuanya dan kita mahu mengeluarkan 3. Kita memperoleh pekali binomial:

   $$(\genfrac{}{}{0ex}{}{24}{3})=2024$$

   Jadi, terdapat 2024 gabungan tiga kasut berbeza yang boleh dikeluarkan dari rak kasut. Sekarang kita perlu mengira gabungan yang menyebelahi peristiwa, iaitu gabungan tiga kasut yang semuanya kasut kaki kiri. Kita tahu bahawa terdapat 12 kasut kaki kiri dalam rak itu. Jadi, kita hanya perlu mengira berapa banyak gabungan yang boleh dibentuk daripada 12 kasut ini. Hal ini sekali lagi memberikan pekali binomial:

   $$(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{3})=220$$

   Jadi, terdapat 220 gabungan yang hanya mengandungi kasut kaki kiri. Itu sahaja maklumat yang kita perlukan. Sekarang kita gantikan ke dalam rumus:

   $$P(I)=\frac{220}{2024}=0.108695\dots =10.8695\dots \mathrm{\%}$$

   Jadi, peluang untuk mengeluarkan tiga kasut yang semuanya kasut kaki kiri ialah kira-kira sepuluh peratus.