Asas statistik

Statistik ialah bidang ilmu yang mengkaji data sebenar dan menggunakan teori kebarangkalian untuk menghuraikan data tersebut.

Bahagian khas statistik

Artikel ini lama dan tidak dikemas kini. Statistik kini mempunyai bahagiannya sendiri dengan artikel pengenalan Konsep asas statistik.

Konsep asas

Dalam statistik, kita menggunakan beberapa konsep asas yang akan diterangkan di sini.

Pertama sekali, terdapat set data (populasi statistik), iaitu set terhingga yang mengandungi data yang ingin kita kaji. Data ini boleh jadi apa-apa sahaja. Jika anda ingin mengkaji gaji purata di Malaysia, set data ialah set semua orang di Malaysia. Bilangan unsur dalam set data dipanggil saiz set data (bilangan data). Jadi, saiz set data yang kita takrifkan sama dengan bilangan penduduk Malaysia.

Seterusnya, terdapat konsep unit pemerhatian, iaitu suatu unsur tertentu dalam set data. Dalam contoh kita, unit pemerhatian ialah seorang individu tertentu.

Akhir sekali, terdapat pemboleh ubah (ciri statistik), iaitu perkara yang ingin kita ukur. Dalam contoh kita, pemboleh ubah itu ialah gaji. Pemboleh ubah boleh jadi pemboleh ubah kategori atau numerik. Pemboleh ubah numerik ialah pemboleh ubah yang boleh dinyatakan dengan nombor (contohnya gaji tadi, tinggi, bilangan anak, …), manakala pemboleh ubah kategori dinyatakan dengan perkataan (warna, ya/tidak, pekerjaan, …).

Kekerapan

Kekerapan boleh jadi kekerapan relatif atau kekerapan mutlak. Kekerapan menyatakan berapa kali sesuatu nilai pemboleh ubah muncul dalam set data, sama ada secara mutlak atau secara relatif kepada jumlah unsur dalam set data.

Perkara penting ialah apabila mengira kekerapan, kita perlu menggunakan pemboleh ubah. Jika kita cuba mengira kekerapan mutlak bagi suatu unit pemerhatian, kita pasti memperoleh sama ada sifar atau satu kerana set data ialah set, dan set tidak membenarkan unsur yang sama muncul lebih daripada sekali.

Jadi, kekerapan mutlak bagi nilai pemboleh ubah z menyatakan bilangan kali z muncul dalam set data S. Contoh: sebuah kelas mempunyai sepuluh orang murid. Setiap murid mendapat markah Matematik dalam kad laporan, dari 0 hingga 100. Markah mereka direkodkan dalam jadual berikut:

$$\begin{array}{cccccccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10\\ 80& 20& 60& 80& 100& 100& 80& 40& 100& 60\end{array}$$

Catatan: set data bagi contoh ini ialah sepuluh orang rakan sekelas itu, seperti

$$S=\{\text{Hafiz},\text{Nurul},\text{Wei Jie},\dots \}$$

Untuk memudahkan, baris pertama jadual mengandungi nombor pengenalan murid, iaitu unit pemerhatian atau unsur set data. Baris kedua mengandungi nilai pemboleh ubah, iaitu nilai “markah akhir Matematik” bagi setiap murid.

Jadi, kekerapan mutlak bagi pemboleh ubah (markah dalam kad laporan) z = 60 ialah dua, kerana hanya dua orang murid mendapat markah 60 (iaitu “murid” 3 dan 10). Kekerapan mutlak bagi z = 100 ialah tiga (“murid” 5, 6 dan 9).

Kekerapan relatif menyatakan berapa peratus nilai pemboleh ubah dalam set data yang sama dengan nilai z. Kekerapan relatif bagi z dikira seperti berikut:

$$r=\frac{z_a}{|S|},$$

dengan z_a ialah kekerapan mutlak bagi z dan |S| ialah saiz set data, iaitu bilangan unsurnya. Jadi, kekerapan relatif bagi markah 60 ialah:

$$r_{60}=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}.$$

Saiz set data kita ialah sepuluh kerana terdapat sepuluh orang murid dalam kelas. Dalam bentuk peratus, kita darab dengan seratus dan memperoleh 20%. Kekerapan relatif bagi markah 100 ialah

$$r_{100}=\frac{3}{10}.$$

Min aritmetik

Min aritmetik, atau sering dipanggil min sahaja, ialah purata semua nilai dalam set data. Perkataan nilai di sini bermaksud nilai selepas pemboleh ubah digunakan. Min dikira dengan menjumlahkan semua nilai dan membahagikan hasil tambah itu dengan bilangan nilai dalam set data. Jadi, lebih kurang seperti berikut:

$$p_a=\frac{x_1+x_2+x_3+\dots +x_n}{n}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i$$

Saya juga menambah ungkapan dengan tatatanda sigma sekiranya anda dapati lebih mudah dibaca. Tetapi ungkapan pecahan sebelumnya sudah memadai. Nilai x mewakili semua nilai dalam set data kita.

Contoh: kita ambil data daripada jadual di atas dan mengira min markah murid.

$$p_a=\frac{80+20+60+80+100+100+80+40+100+60}{10}=\frac{720}{10}=72$$

Min markah dalam kelas kita ialah 72. Seperti yang dapat dilihat, min aritmetik boleh memberikan nilai yang tidak diperoleh oleh sesiapa pun dalam set data: tiada murid yang mendapat markah 72.

Min aritmetik juga kurang sesuai digunakan apabila sebahagian data mempunyai nilai yang jauh berbeza daripada data yang lain. Jadi, jika kita mempunyai set data dengan nilai 1, 3, 2, 5, 4, 2, 75, min aritmetiknya ialah

$$p_a=\frac{1+3+2+5+4+2+75}{7}\approx 13.14.$$

Kita lihat bahawa nilai yang diperoleh jauh daripada semua nilai dalam set data. Nilai itu beberapa kali ganda enam nombor pertama dan jauh lebih kecil daripada nilai terakhir. Masalah ini boleh diatasi, misalnya dengan median, lihat di bawah. Sekurang-kurangnya kini anda tahu mengapa dua pertiga daripada orang ramai tidak mencapai gaji purata: terdapat sekumpulan kecil orang yang gajinya sangat tinggi, dan gaji mereka menaikkan min aritmetik.

Min geometri

Min geometri dikira dengan cara yang serupa dengan min aritmetik, cuma pendaraban digunakan sebagai ganti penambahan dan punca kuasa sebagai ganti pembahagian. Jadi, min geometri dikira seperti berikut:

$$p_g=\sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdot x_3\cdot \dots \cdot x_n}=\sqrt[n]{\prod _{i=1}^n{x}_i}$$

Min geometri boleh digunakan sebagai penunjuk pertumbuhan. Contohnya, andaikan harga suatu barang naik 10% dalam setahun, 15% pada tahun berikutnya dan 5% pada tahun selepas itu. Selepas tiga tahun, harga asal c menjadi

$$1.1\cdot 1.15\cdot 1.05c=1.32825c.$$

Min geometri bagi pekali-pekali ini ialah:

$$p_g=\sqrt[3]{1.1\cdot 1.15\cdot 1.05}\approx 1.0992419$$

Apakah maksudnya? Jika harga itu didarab dengan nombor 1.0992419 setiap tahun (iaitu naik kira-kira 9.92%), harga akhirnya tetap sama:

$${1.0992419}^3\approx 1.32825$$

Mod dan median

Mod bagi suatu pemboleh ubah ialah nilai yang mempunyai kekerapan tertinggi, ditandakan sebagai Mod(x). Jika kita kembali kepada contoh markah, mod ialah nilai 100 dan 80 kerana kedua-duanya paling kerap muncul, masing-masing dengan kekerapan mutlak 3.

Median pula ialah nilai tengah, ditandakan sebagai Med(x). Jika nilai-nilai itu boleh disusun dalam jujukan tak menyusut

$$x_1\le x_2\le x_3\le \dots \le x_n,$$

maka median ialah nilai yang berada di tengah-tengah jujukan ini. Nilai tengah ini berbeza bergantung pada sama ada jujukan itu mempunyai bilangan unsur ganjil atau genap. Jika bilangannya ganjil, median ialah unsur pada kedudukan

$$\text{Med}(x)=x_{\frac{n+1}{2}}$$

Jika jujukan itu mempunyai bilangan unsur genap, tiada unsur yang betul-betul berada di tengah (contohnya, jujukan 1, 2, 3, 4 memang tiada unsur tengah). Oleh itu, kita ambil min bagi dua nilai tengah (min bagi nilai 2 dan 3). Jadi, rumus bagi n genap ialah:

$$\text{Med}(x)=\frac{x_{n/2}+x_{(n+2)/2}}{2}$$

Mari kita kembali kepada contoh yang menunjukkan min aritmetik yang kurang sesuai. Kita mempunyai set nilai s=1, 3, 2, 5, 4, 2, 75. Modnya ialah dua kerana hanya nombor ini yang berulang. Untuk mengira median, kita susun nombor-nombor itu dalam suatu jujukan:

$$a_i=1,2,2,3,4,5,75.$$

Jujukan ini mempunyai tujuh unsur, jadi unsur tengahnya ialah a₄, dan nilainya ialah tiga.