Set

Set boleh difahami sebagai suatu kumpulan unsur. Setiap set mengandungi sejumlah unsur, sama ada terhingga atau tak terhingga. Set juga mungkin tidak mengandungi sebarang unsur. Set seperti ini dipanggil set kosong. Set biasanya ditandakan dengan huruf besar, misalnya M, dan unsurnya dengan huruf kecil, misalnya m.

Apakah set

Set ialah salah satu konsep asas dalam matematik. Banyak konsep lain ditakrifkan melalui set, jadi sebaiknya anda memahami maksud set sejak awal supaya tidak keliru semasa belajar nanti.

Set ialah suatu kumpulan unsur sebarang. Dalam matematik, kita paling kerap menggunakan set nombor, iaitu set yang unsurnya ialah nombor. Set biasanya ditulis seperti berikut:

$$M=\{1,2,3\}$$

Di sini kita telah menghuraikan set bernama “M” yang mengandungi tiga unsur, iaitu 1, 2 dan 3. Set sentiasa ditulis dalam tanda kurung kerinting. Hampir setiap kali anda melihat tanda kurung kerinting, anda sedang berhadapan dengan suatu set.

Apakah kegunaan set? Set sering menentukan unsur yang boleh kita pilih. Contohnya, dalam kehidupan seharian anda mungkin berkata, “Aisyah, jom main satu permainan. Fikirkan satu nombor dari satu hingga lima.” Dengan ayat ini, anda telah menetapkan julat nombor yang boleh dipilih oleh Aisyah. Dalam matematik, anda menggunakan set:

$$L=\{1,2,3,4,5\}$$

Kemudian anda boleh berkata, “Aisyah, jom main satu permainan. Fikirkan satu nombor yang terdapat dalam set L.” Pasti permainan itu terus menjadi lebih seronok. Dalam matematik, simbol ∈ digunakan untuk menyatakan bahawa suatu unsur tergolong dalam set, dan simbol ∉ jika unsur itu tidak tergolong dalam set. Jika kita mahu menyatakan bahawa 1 tergolong dalam set L tetapi 7 tidak, kita menulis: 1 ∈ L dan 7 ∉ L.

Sudah tentu set boleh kosong. Set kosong ditulis sama ada P = {} atau dengan lebih ringkas P = ∅. Berhati-hati: kedua-dua tatatanda bermaksud “set kosong”. Jika anda menulis P = {∅}, anda menulis set yang mengandungi set kosong. Set ini tidak sama dengan set kosong.

Unsur tanpa susunan dan unsur berulang

Unsur dalam set tidak mempunyai susunan tertentu. Set mengandungi kumpulan unsur yang tidak tersusun. Jika kita mempunyai dua set A = {1, 2, 3} dan B = {3, 2, 1}, kita katakan bahawa kedua-dua set itu sama. Susunan unsur dalam set tidak penting.

Begitu juga, unsur yang berulang tidak diambil kira. Jika suatu set mengandungi beberapa unsur yang sama (beberapa nombor yang sama), setiap unsur itu hanya dikira sekali. Sekali lagi, jika kita mempunyai dua set A = {1, 1, 2, 2, 2} dan B = {2, 1}, kita menganggap kedua-duanya sama. Tidak menjadi masalah bahawa set A kelihatan mengandungi “lebih banyak” unsur kerana sebahagian unsurnya muncul dua atau tiga kali. Semasa bekerja dengan set, unsur yang berulang ini diabaikan sahaja.

Saiz dan kesamaan

Kita boleh mentakrifkan saiz set, iaitu bilangan unsur dalam set. Bagi contoh tadi, A = {1, 1, 2, 2, 2} dan B = {2, 1}, saiz set A ialah dua dan saiz set B juga dua, kerana unsur berulang tidak diambil kira semasa membilang unsur set. Saiz set ditulis di antara dua garis tegak: |A| = |B| = 2.

Seperti yang mungkin anda sudah fahami, dua set sama jika kedua-duanya mempunyai unsur yang sama. Beberapa contoh:

$$\begin{array}{rcl}\{1,2,3\}& =& \{1,2,3\}\\ \{1,2,3\}& =& \{1,2,3,2,3,1\}\\ \{a,h,o,j\}& =& \{o,o,h,j,a,o\}\\ \{1,3,5,9\}& \ne & \{1,3,9\}\\ \mathrm{\varnothing }& \ne & \left\{x\right\}\end{array}$$

Satu sifat penting ialah set boleh mengandungi set lain sebagai unsur. Contohnya, C = {1, 2, {3, 4, 5, 6}}. Perlu difahami bahawa set C mempunyai tiga unsur, bukan enam. Set C mengandungi tiga unsur, iaitu 1, 2 dan sebuah set. Unsur 3, 4, 5 dan 6 terdapat dalam set di dalamnya, bukan dalam set C. Oleh itu, |C| = 3. Contoh yang lebih rumit:

$$D=\{0,\{1,\{2,3\}\},\left\{4\right\}\}$$

Berapakah bilangan unsur dalam set D? Set ini mengandungi tiga unsur, iaitu:

$$D_1=0,D_2=\{1,\{2,3\}\},D_3=\left\{4\right\}$$

Set boleh terhingga atau tak terhingga. Semua set yang telah disebut setakat ini ialah set terhingga. Contoh set tak terhingga ialah set semua nombor.

Subset

Ambil dua set A = {1, 2} dan B = {1, 2, 3}. Kedua-dua set ini berbeza kerana unsurnya tidak sama, dan set B lebih besar. Walau bagaimanapun, anda tentu perasan bahawa set B mengandungi semua unsur set A, ditambah satu unsur lagi, iaitu 3. Dalam keadaan ini, kita katakan bahawa A ialah subset bagi B.

Jika A ialah subset bagi B, maka setiap unsur set A mesti juga menjadi unsur set B. Subset ialah suatu hubungan yang ditulis dengan simbol ⊆. Takrif formalnya:

$$A\subseteq B\iff \mathrm{\forall }x\in A:x\in B$$

Lazimnya, set A dan B boleh sama, dan A ⊆ B tetap benar. Jika kita mahu menyatakan subset dalam erti kata yang ketat, kita menggunakan simbol lain, iaitu ⊂. Jika A ⊂ B, maka set B mesti lebih besar (jika set itu terhingga), iaitu set itu mesti mengandungi unsur yang tiada dalam set A. Set seperti ini dipanggil “subset wajar”. Jadi, jika A ⊂ B, maka A ialah subset wajar bagi B. Takrif subset wajar:

$$A\subset B\iff (A\subseteq B\wedge A\ne B)$$

Takrif ini sama dengan takrif subset biasa, cuma kedua-dua set tidak boleh sama. Beberapa contoh:

$$\begin{array}{rcl}\{a,h,o\}& \subseteq & \{a,h,o,j\}\\ \{a,h,o\}& \subset & \{a,h,o,j\}\\ \{2,4,6\}& \subseteq & \{2,4,6,8,\dots \}\\ \{2,4,6\}& \subset & \{2,4,6,8,\dots \}\\ \{1,2,3\}& ⊈& \{1,3\}\\ \{1,2,3\}& \not\subset & \{1,3\}\\ \{0,1\}& \subseteq & \{0,1\}\\ \{0,1\}& \not\subset & \{0,1\}\\ \mathrm{\varnothing }& \subseteq & \left\{\pi \right\}\\ \mathrm{\varnothing }& \subset & \left\{\pi \right\}\\ \mathrm{\varnothing }& \subseteq & \left\{\mathrm{\varnothing }\right\}\\ \mathrm{\varnothing }& \subset & \left\{\mathrm{\varnothing }\right\}\\ \left\{0\right\}& ⊈& \mathrm{\varnothing }\\ \left\{0\right\}& \not\subset & \mathrm{\varnothing }\\ \{\diamond ,△,\odot ,‡,\wr \}& \subseteq & \{\diamond ,△,\odot ,‡,\wr ,\star ,\bullet ,\mp \}\\ \{\diamond ,△,\odot ,‡,\wr \}& \subset & \{\diamond ,△,\odot ,‡,\wr ,\star ,\bullet ,\mp \}\end{array}$$

Sifat subset:

• A ⊆ A: setiap set ialah subset bagi dirinya sendiri.
• A ⊄ A: tiada set yang merupakan subset wajar bagi dirinya sendiri.
• ∅ ⊆ A: set kosong ialah subset bagi sebarang set.
• A ⊄ ∅: set kosong tidak mempunyai subset wajar.

Kesamaan set juga boleh ditulis menggunakan subset:

$$A=B\iff A\subseteq B\wedge B\subseteq A$$

Jika kedua-dua set sama, setiap satunya ialah subset bagi yang lain.

Hubungan subset juga dipanggil “rangkuman”.

Set kuasa

Set kuasa ialah set yang terdiri daripada semua subset bagi suatu set. Set kuasa biasanya ditulis P(M) atau 2^M.

Contoh: M = {1, 2, 3}. Apakah semua subsetnya? Sudah tentu set kosong dan set M itu sendiri. Seterusnya: {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}. Semua set ini membentuk set kuasa bagi set M. Kita tulis: P(M) = {∅, M, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}}.

Oleh sebab set kosong ialah subset bagi setiap set dan M sentiasa subset bagi M, maka sentiasa benar bahawa ∅ ∈ P(M) dan M ∈ P(M).

Cara menulis set

Satu cara telah pun disebut, iaitu dengan menyenaraikan unsurnya dalam tanda kurung kerinting, misalnya M = {1, 2, 3} atau N = {a, b, c, d}. Jika kita menulis set tak terhingga, kita boleh menggunakan tiga titik, asalkan jelas bagaimana unsur seterusnya bersambung: M = {1, 2, 3, …}

Cara utama untuk menulis set ialah tatatanda pembina set, iaitu dengan menyatakan sifat unsurnya. Secara umum, tatatanda ini berbentuk {x ∈ X | P(x)}, dengan X ialah set tempat unsur dipilih dan P(x) ialah suatu rumus yang menentukan unsur set. Rumus ini boleh ditulis secara matematik atau dengan perkataan. Selain “|”, titik koma “;” juga digunakan (dalam buku teks, titik bertindih “:“).

Contohnya, “katakan set M mengandungi semua nombor yang menandakan suatu hari dalam sebulan”. Sebulan paling banyak mempunyai 31 hari, jadi set ini mempunyai 31 unsur, iaitu dari 1 hingga 31. Kita boleh menulisnya menggunakan tiga titik: M = {1, 2, 3, …, 30, 31}. Cara lain untuk menulis set yang sama ialah {x ∈ ℤ | x menandakan hari dalam sebulan}, dengan ℤ ialah set integer.

Contoh yang lebih matematik ialah “katakan set P mengandungi semua nombor positif yang boleh dibahagi tepat dengan 5”. Maka, set itu ialah P = {5, 10, 15, 20, 25,…}

Mari kita tulis secara matematik set T yang terdiri daripada nombor asli yang kurang daripada sepuluh: T = {x ∈ ℕ | x<10}. Tatatanda ini bermaksud: set T terdiri daripada unsur x yang diambil daripada set nombor asli dan memenuhi syarat bahawa unsur itu kurang daripada 10. Jadi, kita meneliti nombor asli dan hanya mengambil nombor yang kurang daripada sepuluh: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Itu sahaja.

Contoh lain: Y = {x ∈ ℤ | x ≠ 0}. Kita telah mentakrifkan set Y yang mengandungi unsur x yang diambil daripada set integer. Satu-satunya syarat yang mesti dipenuhi oleh x ialah nombor itu bukan sifar. Jadi, set Y mengandungi semua integer kecuali sifar.

Contoh lain: G = {x ∈ ℝ | x · x = x}. Set G mengandungi unsur x yang diambil daripada set nombor nyata. Bagi setiap unsur x, apabila unsur itu didarab dengan dirinya sendiri, hasilnya mesti nombor x juga. Contohnya, mari kita cuba nombor 5. Menurut takrif, kesamaan 5 · 5 = 5 mesti benar. Kesamaan ini jelas tidak benar, maka 5 bukan unsur set G. Kita cuba nombor 1: 1 · 1 = 1. Kesamaan ini jelas benar, maka 1 ialah unsur set G. Unsur kedua, dan juga yang terakhir, ialah sifar. Tiada nombor lain yang memenuhi syarat itu. Oleh itu, kita boleh menulis G = {0, 1}.

Contoh terakhir. Berikut sesuatu yang lebih rumit, supaya anda dapat melihat bahawa sifat unsur juga boleh menjadi rumit:

$$X=\{x\in \mathbb{R}|(x^2=2x)\vee (\sin (x)=\pi \wedge \mathrm{kos}(x)=\pi )\}$$

Dalam praktik, set paling kerap ditakrifkan menggunakan tatatanda pembina set, dan sebahagian besar konsep matematik ditakrifkan melalui set. Ambil selang sebagai contoh. Kita boleh mengatakan bahawa selang (a, b) ialah set I dengan

$$I=\{x\in \mathbb{R}|(x>a)\wedge (x<b)\}$$

Set ini terdiri daripada semua unsur set nombor nyata yang lebih besar daripada a dan kurang daripada b. Inilah sebenarnya maksud selang.

Sumber lain

• Wikipedia