Rovnice přímky v prostoru

Předchozí články se zabývaly analytickým vyjádřením přímky v rovině. V tomto článku si ukážeme, jak přímku analyticky vyjádřit v prostoru.

Parametrické vyjádření přímky v prostoru

U parametrického vyjádření přímky v rovině jsme si vysvětlili, že pokud máme bod A, kterým prochází přímka p, a směrový vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$, pak platí, že každý bod X této přímky p můžeme vyjádřit jako

$$X=A+t\cdot \overrightarrow{\mathbf{u}},t\in \mathbb{R}.$$

Číslu t říkáme parametr. Předchozí rovnice vede ke známé soustavě rovnic

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+t\cdot u_1\\ y& =& a_2+t\cdot u_2\end{array}$$

Můžeme se podívat na obrázek:

Pokud k bodu A přičteme nějaký t-násobek směrového vektoru $\overrightarrow{\mathbf{u}}$, získali bychom bod B. A takto pro každý bod přímky.

Tato myšlenka je přitom použitelná i v případě, kdy bychom se pohybovali v prostoru. I v prostoru bychom přímku p mohli určit bodem A, kterým tato přímka prochází a jejím směrovým vektorem $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ a následně by pro každý bod X této přímky platilo, že

$$X=A+t\cdot \overrightarrow{\mathbf{u}},t\in \mathbb{R}.$$

Vidíme, že dostáváme úplně stejnou rovnici. Jen s tím rozdílem, že se pohybujeme v prostoru, takže body X a A budou mít tři souřadnice, ne dvě a stejně tak směrový vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ bude třísložkový. Rovnice pak povede k soustavě tří rovnic, namísto dvou:

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+t\cdot u_1,\\ y& =& a_2+t\cdot u_2,\\ z& =& a_3+t\cdot u_3,\end{array}$$

kde x, y, z jsou souřadnice bodu X[x, y, z], který se nachází někde na přímce, $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(u_1,u_2,u_3)$ je směrový vektor a A[a₁, a₂, a₃] je bod v prostoru, kterým tato přímka prochází.

Odkazy a zdroje

• J. Polák: Přehled středoškolské matematiky