Normálový vektor přímky

Normálový vektor přímky p je vektor, který je kolmý k přímce p a jeho souřadnice vychází z obecné rovnice přímky.

Motivace

Máme přímku p, která prochází body A[0, 1], B[2, 5]. Přímka odpovídá grafu funkce y = 2x + 1, takže obecná rovnice přímky má tvar −2x + y − 1 = 0. Obrázek:

Obecná rovnice má obecný tvar ax + by + c = 0, v našem případě tak pro rovnici −2x + y − 1 = 0 platí a = −2, b = 1, c = −1. Jaký geometrický význam mají parametry a, b? Zkusíme si schválně jen tak pro zábavu nakreslit do obrázku vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(a,b)$, tj. vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(-2,1)$:

Poměrně jasně vidíme, že tento vektor je kolmý k přímce p. Není to náhoda, pokud bychom vzali jakoukoliv obecnou rovnici přímky ax + by + c = 0, tak vektor (a, b) by byl kolmý k této přímce. Takovému vektoru říkáme normálový vektor přímky p.

Vlastnosti normálového vektoru

Z vlastností skalárního součinu vektorů víme, že skalární součin dvou vektorů je nulový právě tehdy, když jsou na sebe vektory kolmé. Protože směrový vektor přímky p je rovnoběžný s přímkou p, tak to znamená, že jakýkoliv směrový vektor přímky p je kolmý k normálovému vektoru. Pokud spočítáme směrový vektor z úsečky $\overrightarrow{AB}$, dostaneme vektor

$$\overrightarrow{\mathbf{v}}=B-A=[2,5]-[0,1]=[2,4]$$

Zakresleno v obrázku:

Když si trochu pohrajeme se skalárním součinem dvou vektorů, který je pro připomenutí definovaný jako

$$(u_1,u_2)\cdot (v_1,v_2)=u_1\cdot v_1+u_2\cdot v_2,$$

tak zjistíme, že máme-li reálná čísla a, b, pak skalární součin vektorů (a, b) a (−b, a) a vektorů (a, b) a (b, −a) nám vždy vyjde nula:

$$\begin{array}{rcl}(a,b)\cdot (-b,a)& =& a\cdot (-b)+b\cdot a=0\\ (a,b)\cdot (b,-a)& =& a\cdot b-b\cdot a=0\end{array}$$

A teď se vraťme k přímce p dané obecnou rovnicí ax + by + c = 0 a k normálovému vektoru (a,b), který je kolmý k této přímce. Ale počkat! Přece díky předchozí vlastnosti víme, že vektory (−b, a) a (b, −a) mají s normálovým vektorem nulový skalární součin, takže vektory (−b, a) a (b, −a) musí být kolmé k normálovému vektoru! A protože normálový vektor je kolmý k přímce, tak vektor kolmý k tomuto vektoru musí být naopak rovnoběžný s původní přímkou p! Mazec!

Můžeme si do obrázku zakreslit vektory ${\overrightarrow{\mathbf{v}}}_1=(-b,a)$ a ${\overrightarrow{\mathbf{v}}}_2=(b,-a)$. Přímka má obecnou rovnici −2x + y − 1 = 0, takže po dosazení máme zelené vektory ${\overrightarrow{\mathbf{v}}}_1=(-1,-2)$ a ${\overrightarrow{\mathbf{v}}}_2=(1,2)$:

Určení obecné rovnice přímky z normálového vektoru a bodu

Už víme, že obecnou rovnici přímky můžeme celkem snadno vyjádřit z parametrické rovnice. Pokud známe normálový vektor $\overrightarrow{\mathbf{n}}$, můžeme obecnou rovnici také snadno určit. Takže mějme bod A[5, 13], kterým přímka p prochází a její normálový vektor $\overrightarrow{\mathbf{n}}=(4,-6)$. Přímka p má obecnou rovnici ax + by + c = 0, z definice normálového vektoru přitom už můžeme hned určit koeficienty a, b, které se tak rovnají a = 4, b = −6, tj. souřadnicím normálového vektoru. Obecná rovnice přímky má tvar

$$4x-6y+c=0$$

Zbývá nám dopočítat koeficient c. Tato rovnice popisující přímku p musí platit pro všechny body, které na přímce p leží. Což znamená, že když za x, y dosadíme souřadnice bodu, který leží na přímce p, rovnice musí být platná. Stačí tak dosadit bod A, kterým přímka p jistě prochází. Bod A má souřadnice A[5, 13], takže do rovnice 4x − 6y + c = 0 dosadíme x = 5, y = 13:

$$\begin{array}{rcl}4\cdot 5-6\cdot 13+c& =& 0\\ 20-78+c& =& 0\\ c& =& 78-20\\ c& =& 58\end{array}$$

Celá obecná rovnice přímky p má tak tvar

$$4x-6y+58=0.$$

Dva směrové vektory přímky p jsou ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1=(6,4)$ a ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_2=(-6,-4)$.

Odkazy a zdroje

• J. Polák: Přehled středoškolské matematiky