Obecná rovnice přímky

Obecnou rovnici přímky získáme z parametrické rovnice přímky tak, že odstraníme parametr t.

Motivace

Vzpomínáte si na lineární funkci? Ta má jako svůj graf právě přímku. Základní tvar lineární funkce je přitom y = ax + b. Podívejme se na přímku p, která prochází body A[0, 3], B[2, 7]:

Určíme lineární funkci, která má za graf právě tuto přímku p. Tato lineární funkce má tvar y = ax + b, přitom to, že přímka prochází bodem A[0, 3] nám říká, že v bodě x₁ = 0 má funkce funkční hodnotu y₁ = 3. Musí tak platit rovnice a · 0 + b = 3. Protože přímka prochází bodem B[2, 7], má funkce v bodě x₂ = 2 funkční hodnotu y₂ = 7, musí zároveň platit rovnice a · 2 + b = 7. My hledáme koeficienty a, b. Vzniká nám soustava rovnic:

$$\begin{array}{rcl}a\cdot 0+b& =& 3\\ a\cdot 2+b& =& 7\end{array}$$

Z první rovnice a · 0 + b = 3 můžeme snadno získat koeficient b, který je tak roven b = 3. Tento výsledek dosadíme do druhé rovnice, tedy do rovnice a · 2 + b = 7 dosadíme za b číslo tři:

$$\begin{array}{rcl}a\cdot 2+b& =& 7\\ a\cdot 2+3& =& 7\\ a\cdot 2& =& 4\\ a& =& 2\end{array}$$

A máme oba koeficienty: a = 2, b = 3. Funkce, která popisuje předchozí přímku, má tvar y = 2x + 3. Když za x dosadíme x = 1, dostáváme y = 2 + 3 = 5, což souhlasí s grafem přímky. Tvar y = 2x + 3 můžeme ještě přepsat tak, aby na pravé straně byla nula, tj. přičteme k rovnici −(2x + 3). Tím získáme rovnici:

$$y-2x-3=0$$

Tato rovnice se nazývá obecná rovnice přímky.

Definice obecné rovnice přímky

Předchozí postup je mírně složitý a navíc není použitelný v případě, kdy je přímka rovnoběžná s osou y, tj. když je vertikální, protože taková přímka nepopisuje žádnou funkci. Obecnou rovnici přímky proto zavedeme ještě jiným způsobem. Řekneme, že každá lineární rovnice tvaru

$$ax+by+c=0,$$

kde a,b,c ∈ ℝ a alespoň jedno z čísel a,b ≠ 0, je rovnice přímky v rovině. Přitom každou přímku v rovině lze vyjádřit v tomto tvaru. Tuto rovnici pak nazýváme obecnou rovnicí přímky. Můžeme ji jednoduše zjistit z parametrického tvaru přímky. Máme-li přímku popsanou parametrickou rovnicí

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+t\cdot u_1\\ y& =& a_2+t\cdot u_2,\end{array}$$

zjistíme obecnou rovnici tak, že z parametrické rovnice odstraníme parametr t. Příklad: držme se předchozí přímky dané body A[0, 3], B[2, 7]. Zjistíme směrový vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ z orientované úsečky $\overrightarrow{AB}$.

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}=(u_1,u_2)=B-A=[2,7]-[0,3]=[2,4]$$

Můžeme si znovu prohlédnout přímku p se směrovým vektorem $\overrightarrow{\mathbf{u}}$:

Vyjádříme parametrickou rovnici vzhledem k bodu A a vektoru $\overrightarrow{\mathbf{u}}$:

$$\begin{array}{rcl}x& =& 0+t\cdot 2\\ y& =& 3+t\cdot 4\end{array}$$

Abychom dostali obecnou rovnici, musíme tyto dvě rovnice sečíst tak, abychom vyrušili parametr t. Jako první tak vynásobíme první rovnici −2, druhou nezměníme:

$$\begin{array}{rcl}-2x& =& 0-t\cdot 4\\ y& =& 3+t\cdot 4\end{array}$$

A teď obě rovnice sečteme, čímž získáme jednu rovnici:

$$\begin{array}{rcl}y-2x& =& 3+t\cdot 4-t\cdot 4\\ y-2x& =& 3\\ y-2x-3& =& 0\end{array}$$

Toto je výsledná obecná rovnice přímky p. Vidíme, že jsme získali úplně stejnou rovnici jako v předchozím postupu.

K čemu je obecná rovnice přímky

Obecná rovnice nám určuje všechny body, které tvoří přímku. Pokud do obecné rovnice ve tvaru ax + by + c = 0 dosadíme za neznámé x,y taková reálná čísla, aby rovnice platila, pak [x,y] je bodem této přímky. Vraťme se k předchozí přímce popsané obecnou rovnicí y − 2x − 3 = 0. Pokud za x,y dosadíme hodnoty x = 1, y = 5, získáme rovnici:

$$\begin{array}{rcl}5-2\cdot 1-3& =& 0\\ 5-2-3& =& 0\\ 0& =& 0\end{array}$$

To znamená, že bod [1, 5] leží na přímce. Když zkusíme dosadit x = 2, y = 3, získáme rovnici:

$$\begin{array}{rcl}3-2\cdot 2-3& {=}^{?}& 0\\ 3-4-3& {=}^{?}& 0\\ -4& \ne & 0\end{array}$$

Rovnice neplatí, bod [2, 3] neleží na přímce p. Můžeme si to i zkontrolovat na obrázku:

Vertikální přímka

Už jsme nakousli, že obecnou rovnici vertikální přímky p bychom nemohli získat pomocí postupu popsaného v první kapitole, protože vertikální přímka nepopisuje žádnou funkci. Nicméně i taková přímka má svou obecnou rovnici, kterou získáme postupem uvedeným v předchozí kapitole.

Ukážeme si to na přímce, která prochází body A[4, 2], B[4, 8]. Směrový vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ má tvar:

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}=(u_1,u_2)=B-A=[4,8]-[4,2]=[0,6]$$

Obrázek:

Parametrická rovnice vzhledem k bodu A a směrovému vektoru $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ by vypadala takto:

$$\begin{array}{rcl}x& =& 4+t\cdot 0\\ y& =& 2+t\cdot 6\end{array}$$

Nyní bychom měli odstranit parametr t. Nicméně první rovnice nám už ušetřila práci, v první rovnici žádný parametr t není, respektive je vždy nulový, takže můžeme celou tuto rovnici použít jako obecnou rovnici přímky p. Přímka p tak má obecnou rovnici

$$x-4=0$$

Tedy koeficienty a,b,c v rovnici ax + by + c = 0 se rovnají a = 1, b = 0, c = −4.

Horizontální přímka

Ukážeme si ještě jeden příklad, s horizontální přímkou, která prochází body A[2, 1], B[5, 1]. Směrový vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ bude roven:

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}=(u_1,u_2)=B-A=[5,1]-[2,1]=[3,0]$$

Obrázek:

Parametrická rovnice přímky vzhledem k bodu A by vypadala takto:

$$\begin{array}{rcl}x& =& 2+t\cdot 3\\ y& =& 1+t\cdot 0\end{array}$$

Opět vidíme, že nemusíme eliminovat parametr t, protože ve druhé rovnici je nulový. Můžeme tak použít přímo druhou rovnici jako obecnou rovnici přímky p:

$$y-1=0$$

Odkazy a zdroje

• J. Polák: Přehled středoškolské matematiky