Sinová a cosinová věta

Sinová věta je věta, která — na rozdíl od běžných goniometrických funkcí — platí v obecném trojúhelníku. Udává nám vztah mezi délkami stran a úhly. Cosinová věta také platí v obecném trojúhelníku a jejím speciálním případem je Pythagorova věta.

Sinová věta

Sinová věta nám říká, že poměr všech délek stran a hodnot sinů jim protilehlých úhlů je v daném obecném (!) trojúhelníku konstantní. Zapíšeme to takto:

$$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }=2r,$$

kde r je poloměr kružnice opsané a a, b a c jsou délky stran trojúhelníku. Předchozí rovnost můžeme také přepsat do tvaru:

$$\frac{a}{b}=\frac{\sin \alpha }{\sin \beta },\frac{b}{c}=\frac{\sin \beta }{\sin \gamma },\frac{c}{a}=\frac{\sin \gamma }{\sin \alpha }$$

Cosinová věta

Cosinová věta také platí v obecném trojúhelníku, stejně jako věta sinová. Cosinová věta zní:

$$\begin{array}{rcl}{a}^2& =& b^2+c^2-2bc\cdot \cos \alpha \\ b^2& =& c^2+a^2-2ca\cdot \cos \beta \\ c^2& =& a^2+b^2-2ab\cdot \cos \gamma \end{array}$$

Všimněte si, že pokud bude jeden z úhlů pravý, tj. bude mít velikost 90 stupňů, pak nám v jednom ze vzorců zmizí poslední část vzorce a dostaneme tvar Pythagorovy věty. Protože pokud α = 90°, pak cos(α) = 0 a tak dostáváme:

$$\begin{array}{rcl}{a}^2& =& b^2+c^2-2bc\cdot \cos \alpha \\ a^2& =& b^2+c^2-2bc\cdot 0\\ a^2& =& b^2+c^2\end{array}$$

Motivace

Mějme trojúhelník ABC se stranou c o délce |c| = 9. Velikosti úhlů jsou: α = 40°, β = 80°, γ = 60°. Otázka zní, jaká je délka zbývajících dvou stran? V tuto chvíli si již nevystačíme s běžnými goniometrickými funkcemi, protože ty fungují v pravoúhlém trojúhelníku, což tento rozhodně není. Obrázek:

V tuto chvíli budeme muset použít jiné cesty. Jednou z nich je právě sinová věta. Jakým způsobem ji použijeme? Sinová věta nám říká, že:

$$\frac{|a|}{\sin \alpha }=\frac{|b|}{\sin \beta }=\frac{|c|}{\sin \gamma }$$

My z toho známe všechny úhly a délku strany c. Stranu b tak dopočítáme z rovnosti

$$\frac{|b|}{\sin \beta }=\frac{|c|}{\sin \gamma }$$

Zde musíme osamostatnit délku strany b. Provedeme ekvivalentní úpravu rovnic a vynásobíme rovnici sinem úhlu beta. Dostaneme:

$$|b|=\frac{|c|\cdot \sin \beta }{\sin \gamma }$$

Všechny výrazy na pravé straně známe nebo je umíme dopočítat. Takže dosadíme:

$$|b|=\frac{9\cdot \mathrm{0,985}}{\mathrm{0,866}}=10,23.$$

Úplně stejným způsobem dopočítáme zbývající stranu a:

$$\frac{|a|}{\sin \alpha }=\frac{|c|}{\sin \gamma }$$

Osamostatníme |a| vynásobením rovnice sinem úhlu alfa.

$$|a|=\frac{|c|\cdot \sin \alpha }{\sin \gamma }$$

Dopočítáme výsledek:

$$|a|=\frac{9\cdot \mathrm{0,642}}{\mathrm{0,866}}=\mathrm{6,672}$$

Odvození věty sinové

Proč sinová rovnost platí? Podívejme se na obyčejný trojúhelník ABC, kde ještě narýsujeme výšku ke straně c.

Otázka zní, jakou délku má strana CP_c. Díky výšce máme trojúhelník ABC rozdělený na dva pravoúhlé trojúhelníky, pomocí nichž můžeme délku výšky vyjádřit. Zkusíme tak vyjádřit délku strany CP_c pomocí obou trojúhelníků. Platí, že sinus úhlu alfa je roven:

$$\sin (\alpha )=\frac{|C{P}_c|}{|AC|}$$

Odtud vyjádříme |CP_c|:

$$|C{P}_c|=\sin (\alpha )\cdot |AC|=\sin (\alpha )\cdot |b|.$$

Nyní vyjádříme délku strany CP_c pomocí druhého trojúhelníku, pomocí úhlu beta:

$$\sin (\beta )=\frac{|C{P}_c|}{|BC|}$$

Odtud opět osamostatníme |CP_c|:

$$|C{P}_c|=\sin (\beta )\cdot |BC|=\sin (\beta )\cdot |a|$$

V tuto chvíli tak máme délku výšky vyjádřenou dvěma vzorci:

$$|C{P}_c|=\sin (\alpha )\cdot |b|=\sin (\beta )\cdot |a|,$$

takže dostáváme rovnost

$$\sin (\alpha )\cdot |b|=\sin (\beta )\cdot |a|.$$

To už je kousek k tomu, co nám říká sinová věta. Celou rovnici vydělíme sinus alfa krát sinus beta:

$$\begin{array}{rcl}\sin (\alpha )\cdot |b|& =& \sin (\beta )\cdot |a|/:\sin (\alpha )\cdot \sin (\beta )\\ \frac{\sin (\alpha )\cdot |b|}{\sin (\alpha )\cdot \sin (\beta )}& =& \frac{\sin (\beta )\cdot |a|}{\sin (\alpha )\cdot \sin (\beta )}/\text{zkrátíme siny}\\ \frac{|b|}{\sin (\beta )}& =& \frac{|a|}{\sin (\alpha )}\end{array}$$

V předchozím postupu jsme dokázali část sinové věty, nicméně důkaz pro ostatní kombinace stran je identický.