Sinová a cosinová věta

Sinová věta je věta, která — narozdíl od běžných goniometrických funkcí — platí v obecném trojúhelníku. Udává nám vztah mezi délkami stran a úhly. Cosinová věta také platí v obecném trojúhelníku a jeho speciálním případem je Pythagorova věta.

Sinová věta

Sinová věta nám říká, že poměr všech délek stran a hodnto sinů jim protilehlých úhlů je v daném obecném (!) trojúhelníku konstatní. Zapíšeme to takto:

$$\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2r,$$

kde r je poloměr kružnice opsané a a, b a c jsou délky stran trojúhelníku. Předchozí rovnost můžeme také přepsat do tvaru:

$$\frac{a}{b}=\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}, \frac{b}{c}=\frac{\sin\beta}{\sin\gamma}, \frac{c}{a}=\frac{\sin\gamma}{\sin\alpha}$$

Cosinová věta

Cosinová věta také platí v obecném trojúhelníku, stejně jako věta sinová. Cosinová věta zní:

$$\begin{eqnarray} a^2 &=& b^2 + c^2 - 2 b c \cdot \cos \alpha\\ b^2 &=& c^2 + a^2 - 2 c a \cdot \cos \beta\\ c^2 &=& a^2 + b^2 - 2 a b \cdot \cos \gamma \end{eqnarray}$$

Všimněte si, že pokud bude jeden z úhlu pravý, tj. bude mít velikost 90 stupňů, pak nám v jednom ze vzorců zmizí poslední část vzorce a dostaneme tvar Pythagorovy věty. Protože pokud $\alpha=90^{\circ}$, pak cos(α) = 0 a tak dostáváme:

$$\begin{eqnarray} a^2 &=& b^2 + c^2 - 2 b c \cdot \cos \alpha\\ a^2 &=& b^2 + c^2 - 2 b c \cdot 0\\ a^2 &=& b^2 + c^2 \end{eqnarray}$$

Motivace

Mějme trojúhelník ABC se stranou c o délce |c| = 9. Velikosti úhlů jsou: $\alpha=40^{\circ}, \beta=80^{\circ}, \gamma=60^{\circ}$. Otázka zní, jaká je délka zbývajících dvou stran? V tuto chvíli si již nevystačíme s běžnými goniometrickými funkcemi, protože ty fungují v pravoúhlém trojúhelníku, což tento rozhodně není. Obrázek:

V tuto chvíli budeme muset použít jiné cesty. Jednou z nich je právě sinová věta. Jakým způsobem ji použijeme? Sinová věta nám říká, že:

$$\frac{|a|}{\sin\alpha}=\frac{|b|}{\sin\beta}=\frac{|c|}{\sin\gamma}$$

My z toho známe všechny úhly a délku strany c. Stranu b tak dopočítáme z rovnosti

$$\frac{|b|}{\sin\beta}=\frac{|c|}{\sin\gamma}$$

Zde musíme osamostatnit délku strany b. Provedeme ekvivalentní úpravu rovnic a vynásobíme rovnici sinem úhlu beta. Dostaneme:

$$|b|=\frac{|c|\cdot\sin\beta}{\sin\gamma}$$

Všechny výrazy na prvé straně známe nebo je umíme dopočítat. Takže dosadíme:

$$|b|=\frac{9\cdot0{,}985}{0{,}866}=10{,}23.$$

Úplně stejným způsobem dopočítáme zbývající stranu a:

$$\frac{|a|}{\sin\alpha}=\frac{|c|}{\sin\gamma}$$

Osamostatníme |a| vynásobením rovnice sinem úhlu alfa.

$$|a|=\frac{|c|\cdot\sin\alpha}{\sin\gamma}$$

Dopočítáme výsledek:

$$|a|=\frac{9\cdot0{,}642}{0{,}866}=6{,}672$$

Odvození věty sinové

Proč sinová rovnost platí? Podívejme se na obyčejný trojúhelník ABC, kde ještě narýsujeme výšku ke straně c.

Otázka zní, jakou délku má strana CP_c. Díky výšce máme trojúhelník ABC rozdělený na dva pravoúhlé trojúhelníky, pomocí nichž můžeme délku výšky vyjádřit. Zkusíme tak vyjádřit délku strany CP_c pomocí obou trojúhelníků. Platí, že sinus úhlu alfa je roven:

$$\sin(\alpha)=\frac{|CP_c|}{|AC|}$$

Odtud vyjádříme |CP_c|:

$$|CP_c|=\sin(\alpha)\cdot|AC|=\sin(\alpha)\cdot |b|.$$

Nyní vyjádříme délku strany CP_c pomocí druhého trojúhelníku, pomocí úhlu beta:

$$\sin(\beta)=\frac{|CP_c|}{|BC|}$$

Odtud opět osamostatníme |CP_c|:

$$|CP_c|=\sin(\beta)\cdot|BC|=\sin(\beta)\cdot |a|$$

V tuto chvíli tak máme délku výšky vyjádřenou dvěma vzorci:

$$|CP_c|=\sin(\alpha)\cdot |b|=\sin(\beta)\cdot |a|,$$

takže dostáváme rovnost

$$\sin(\alpha)\cdot |b|=\sin(\beta)\cdot |a|.$$

To už je kousek k tomu, co nám říká sinová věta. Celou rovnici vydělíme sinus alfa krát sinus beta:

$$\begin{eqnarray} \sin(\alpha)\cdot |b|&=&\sin(\beta)\cdot |a|\qquad/:\sin(\alpha)\cdot\sin(\beta)\\ \frac{\sin(\alpha)\cdot |b|}{\sin(\alpha)\cdot\sin(\beta)}&=&\frac{\sin(\beta)\cdot |a|}{\sin(\alpha)\cdot\sin(\beta)}\qquad/\mbox{zkrátime siny}\\ \frac{|b|}{\sin(\beta)}&=&\frac{|a|}{\sin(\alpha)} \end{eqnarray}$$

V předchozím postupu jsme dokázali část Sinové věty, nicméně důkaz pro ostatní kombinace stran je identický.