Dělení mnohočlenů mnohočlenem

Dělení mnohočlenů je netriviální operace, který bývá relativně často využívána při úpravách a zjednodušování mnohočlenů.

Příklad první

Dělení polynomů už je věc docela složitá, alespoň v porovnání s předchozími operacemi. Nicméně postup při dělení mnohočlenů je vcelku podobný postupu při běžném ručním dělení. Celý algoritmus si ukážeme na příkladech. Začněme nějakým jednoduchým, například:

$$(4x^3+8x^2)/(2x^2)$$

Předpokládáme, že máme oba polynomy seřazené sestupně a řádně upravené — tj. co jsme mohli sečíst, to jsme sečetli. Není to podstatné pro algoritmus, ale zjednoduší to počítání. V prvním kroku vydělíme první člen prvního mnohočlenu prvním členem druhého mnohočlenu (zde má druhý mnohočlen pouze jeden člen, takže první člen druhého mnohočlenu se zároveň rovná celému druhému mnohočlenu). Tj. provedeme operaci

$$4x^3 /, (2x^2) = \frac42x^{3-2}=2x$$

Dělení těchto základních členů probíhá opačně než násobení, nemělo by tam být nic překvapivého. Protože jde o první krok, přepíšeme to do původního výrazu, který chceme vypočítat

$$(4x^3+8x^2)/(2x^2)=2x$$

a budeme pokračovat druhým krokem. Vynásobíme náš dočasný výsledek s druhým mnohočlenem, tj. mnohočlenem, kterým dělíme.

$$2x\cdot(2x^2)=4x^3$$

Tento výsledek odečteme od celého prvního polynomu. Zapíšeme to pod první polynom, asi takto:

$$\begin{eqnarray} (4x^3+8x^2)&/(2x^2)=2x\\ \underline{-(4x^3)}\\ 8x^2 \end{eqnarray}$$

V tuto chvíli nám pod čarou zbyl výsledek a na tento výsledek aplikujeme stejný postup jako na původní mnohočlen. Vydělíme ho prvním členem druhého mnohočlenu.

$$8x^2/(2x^2)=4$$

Tento výsledek přičteme k předchozímu dočasnému řešení:

$$(4x^3+8x^2)/(2x^2)=2x+4$$

A opět zpátky vynásobíme čtyřkou celý druhý mnohočlen

$$(2x^2)\cdot4=8x^2$$

a odečteme od dočasného výsledku.

$$\begin{eqnarray} (4x^3+8x^2)&/(2x^2)=2x+4\\ \underline{-(4x^3)}\\ 8x^2\\ \underline{-(8x^2)}\\ 0 \end{eqnarray}$$

Po odečtení zůstává nula, algoritmus tímto končí. Na pravé straně máme výsledek dělení. Pokud bychom chtěli provést zkoušku, vynásobíme tento vzniklý mnohočlen druhým mnohočlenem a musíme získat první polynom.

$$(2x^2)\cdot(2x+4)=4x^3+8x^2$$

Druhý příklad

Jen mírně modifikujeme předchozí zadání a zkusíme vypočítat

$$(4x^3+8x^2+7)/(2x^2).$$

Výpočet bude probíhat celou dobu stejně jako v předchozím příkladu, pouze bude vždy po odečtení výsledek o sedmičku větší. Tedy výpočet by probíhal ve stručnosti takto:

$$\begin{eqnarray} (4x^3+8x^2+7)&/(2x^2)=2x+4\\ \underline{-(4x^3)}\\ 8x^2+7\\ \underline{-(8x^2)}\\ 7 \end{eqnarray}$$

Postup se nezměnil, jen nám tam přibyla sedmička. V tomto kroku už nemůžeme nějak hezky provést dělení nového rozdílu (té sedmičky) druhým polynomem. Výsledek jednoduše zapíšeme jako sedm lomeno daný mnohočlen a přičteme k mezivýsledku.

$$\begin{eqnarray} (4x^3+8x^2+7)&/(2x^2)=2x+4+\frac{7}{2x^2}\\ \underline{-(4x^3)}\\ 8x^2+7\\ \underline{-(8x^2)}\\ 7 \end{eqnarray}$$

Při zpětném násobení druhým mnohočlenem dostaneme sedmičku

$$(2x^2)\cdot\frac{7}{2x^2}=7$$

a tím pádem dostáváme po rozdílu nulu.

$$\begin{eqnarray} (4x^3+8x^2+7)&/(2x^2)=2x+4+\frac{7}{2x^2}\\ \underline{-(4x^3)}\\ 8x^2+7\\ \underline{-(8x^2)}\\ 7\\ \underline{-7}\\ 0 \end{eqnarray}$$

Algoritmus zde končí, dosáhli jsme nuly.

Třetí příklad

Rozšíříme druhý polynom o nějaký další člen.

$$(6x^7+19x^4+7)/(3x^3+5)$$

V prvním kroku dělíme první člen prvního mnohočlenu a první člen druhého, stejně jako v předchozích příkladech.

$$6x^7/3x^3=2x^4$$

V dalším kroku vynásobíme tento mezivýsledek celým druhým mnohočlenem a odečteme od prvního.

$$(3x^3+5)\cdot2x^4=6x^7+10x^4$$

Zapíšeme si to přehledně pod celý příklad.

$$\begin{eqnarray} (6x^7+19x^4+7)&/(3x^3+5)=2x^4\\ \underline{-(6x^7+10x^4)}\\ 9x^4+7 \end{eqnarray}$$

Pokračujeme dále, dělíme první člen nově vzniklého mnohočlenu prvním členem druhého mnohočlenu.

$$9x^4/3x^3=3x$$

Vynásobíme celým druhým polynomem:

$$(3x^3+5)\cdot3x=9x^4+15x$$

Zapíšeme a odečteme:

$$\begin{eqnarray} (6x^7+19x^4+7)&/(3x^3+5)=2x^4+3x\\ \underline{-(6x^7+10x^4)}\\ 9x^4+7\\ \underline{-(9x^4+15x)}\\ -15x+7 \end{eqnarray}$$

Toto už nelze rozumně vydělit, takže jen jednoduše přičteme zlomek obou mnohočlenů.

$$(6x^7+19x^4+7)/(3x^3+5)=2x^4+3x+\frac{-15x+7}{3x^3+5}$$

Pokud bychom ještě zpětně provedli násobení a rozdíl, okamžitě bychom dostali nulu jako v minulém příkladu. Provedeme zkoušku. Než provedeme důkladnou zkoušku, můžeme zkusit rychlý test. Dosadíme do výrazů nějakou triviální hodnotu, například nulu. Pokud do výsledku po dělení dosadíme nulu, dostaneme

$$0+0+\frac{0+7}{0+5}=\frac75.$$

Dosadíme-li nulu do výrazů, které dělíme, dostáváme

$$(0+0+7)/(0+5)=\frac75.$$

Pokud je naše úprava správná, musí obě hodnoty dávat stejný výsledek. Jak vidíme, hodnoty se rovnají. Tento postup nám sice nezaručí úplnou správnost, museli bychom totiž otestovat všechny možné hodnoty, které můžeme za parametr x dosadit, ale může naopak rychle odhalit chybu. Zkusíme ještě totéž s jedničkou. Dosadíme do výsledku a dostaneme:

$$2+3+\frac{-15+7}{3+5}=5-\frac88=4.$$

Dosadíme do původních výrazů a dostaneme

$$(6+19+7)/(3+5)=\frac{32}{8}=4.$$

Je to na dobré cestě, ale k finálnímu potvrzení musíme provést celé násobení.

$$\begin{eqnarray} (3x^3+5)\cdot(2x^4+3x+\frac{-15x+7}{3x^3+5})&=&(3x^3+5)\cdot2x^4+(3x^3+5)\cdot3x+(-15x+7)\\ &=&6x^7+10x^4+9x^4+15x-15x+7\\ &=&6x^7+19x^4+7 \end{eqnarray}$$

Další zdroje

Pokud vám tento článek nestačil, můžete zkusit štěstí na některém z následujících odkazů.

• Dělení mnohočlenů na maths.cz
• Dělení mnohočlenů na matematickém fóru