Rozkládání mnohočlenů na součin

Mnohočlen, neboli polynom, lze rozložit na součin polynomů. Představme si, že máme polynom

$$P_n(x)=a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x^1+a_0x^0,$$

Konstanta n značí stupeň polynomu, tedy nejvyšší exponent, který se v polynomu nachází a není u něj nulový koeficient. Pro příklad, polynom x³ − 4x² − 5x by měl stupeň 3. Všechny ostatní exponenty jsou buď nižší (exponenty 2 a 1) anebo je u nich nulový koeficient. Nyní můžeme říci, že pokud nalezneme nějaký kořen k našeho polynomu, tak platí, že existuje jiný polynom Q_{n − 1}(x), který je o stupeň menší a

$$P_n(x)=(x-k)\cdot Q_{n-1}(x).$$

Zní to složitě, ale fakticky to říká, že když známe kořen polynomu P_n(x), jsme schopni najít jiný polynom Q_{n − 1}(x), který když vynásobíme výrazem (x − k), získáme původní polynom P_n(x), přičemž polynom Q_{n − 1}(x) je o jeden stupeň nižší než polynom P_n(x). Když se podívme na náš polynom P₃(x) = x³ − 4x² − 5x, tak vidíme, že jedním z kořenů polynomu je číslo k₁ = 0 (protože když za x v polynomu dosadíme nulu, celý výraz bude roven nule). A tedy musí platit, že existuje polynom Q₂(x) takový, že

$$P_3(x)=(x-0)\cdot Q_2(x)$$

Tady to budeme mít jednoduché, protože x − 0 je samozřejmě rovno x a tedy získáváme rovnici:

$$P_3(x)=x\cdot Q_2(x)$$

Z původního polynomu P₃(x) stačí vytknout x a získáme náš nový polynom Q₂(x):

$$P_3(x)=x\cdot (x^2-4x-5)$$

To je první rozložení polynom na součin. Původní polynom x³ − 4x² − 5x jsme dokázali rozložit na součin (x − 0) krát x² − 4x − 5, což je polynom o nižším stupni. Tento polynom x² − 4x − 5 ale můžeme zase dále rozložit. Když vyřešíme kvadratickou rovnici

$$x^2-4x-5=0$$

zjistíme, že kořeny této rovnice jsou čísla k₂ = 5 a k₃ = −1. Měli bychom tedy být schopni nalézt polynom Q₁(x) takový, že

$$Q_2(x)=(x-5)\cdot Q_1(x)$$

Zjistit polynom Q₁(x) není úplně jednoduché, můžeme si pomoci třeba dělením mnohočlenů. Tím zjistíme, že výsledný polynom je Q₁(x) = x + 1, takže můžeme napsat

$$x^2-4x-5=(x-5)\cdot(x+1)$$

Celý původní polynom P₃(x) je roven:

$$P(x)=x\cdot(x-5)\cdot(x+1)$$

Pokud takto rozložíme celý polynom, jsme schopni krásně vyčíst jednotlivé kořeny. Pokud kterýkoliv z těch výrazů v součinu bude roven nule, bude celý výraz roven nule. Proto je ze zápisu zjevné, že kořeny polynomu jsou právě čísla k₁ = 0, k₂ = 5 a k₃ = −1.