Rozkládání mnohočlenů na součin
Kapitoly: Mnohočleny, Dělení mnohočlenů, Kořen mnohočlenu, Rozkládání mnohočlenů
Mnohočlen, neboli polynom, lze rozložit na součin polynomů. Představme si, že máme polynom
$$P_n(x)=a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x^1+a_0x^0,$$
Konstanta n značí stupeň polynomu, tedy nejvyšší exponent, který se v polynomu nachází a není u něj nulový koeficient. Pro příklad, polynom x3 − 4x2 − 5x by měl stupeň 3. Všechny ostatní exponenty jsou buď nižší (exponenty 2 a 1) anebo je u nich nulový koeficient. Nyní můžeme říci, že pokud nalezneme nějaký kořen k našeho polynomu, tak platí, že existuje jiný polynom Qn − 1(x), který je o stupeň menší a
$$P_n(x)=(x-k)\cdot Q_{n-1}(x).$$
Zní to složitě, ale fakticky to říká, že když známe kořen polynomu Pn(x), jsme schopni najít jiný polynom Qn − 1(x), který když vynásobíme výrazem (x − k), získáme původní polynom Pn(x), přičemž polynom Qn − 1(x) je o jeden stupeň nižší než polynom Pn(x). Když se podívme na náš polynom P3(x) = x3 − 4x2 − 5x, tak vidíme, že jedním z kořenů polynomu je číslo k1 = 0 (protože když za x v polynomu dosadíme nulu, celý výraz bude roven nule). A tedy musí platit, že existuje polynom Q2(x) takový, že
$$P_3(x)=(x-0)\cdot Q_2(x)$$
Tady to budeme mít jednoduché, protože x − 0 je samozřejmě rovno x a tedy získáváme rovnici:
$$P_3(x)=x\cdot Q_2(x)$$
Z původního polynomu P3(x) stačí vytknout x a získáme náš nový polynom Q2(x):
$$P_3(x)=x\cdot (x^2-4x-5)$$
To je první rozložení polynom na součin. Původní polynom x3 − 4x2 − 5x jsme dokázali rozložit na součin (x − 0) krát x2 − 4x − 5, což je polynom o nižším stupni. Tento polynom x2 − 4x − 5 ale můžeme zase dále rozložit. Když vyřešíme kvadratickou rovnici
$$x^2-4x-5=0$$
zjistíme, že kořeny této rovnice jsou čísla k2 = 5 a k3 = −1. Měli bychom tedy být schopni nalézt polynom Q1(x) takový, že
$$Q_2(x)=(x-5)\cdot Q_1(x)$$
Zjistit polynom Q1(x) není úplně jednoduché, můžeme si pomoci třeba dělením mnohočlenů. Tím zjistíme, že výsledný polynom je Q1(x) = x + 1, takže můžeme napsat
$$x^2-4x-5=(x-5)\cdot(x+1)$$
Celý původní polynom P3(x) je roven:
$$P(x)=x\cdot(x-5)\cdot(x+1)$$
Pokud takto rozložíme celý polynom, jsme schopni krásně vyčíst jednotlivé kořeny. Pokud kterýkoliv z těch výrazů v součinu bude roven nule, bude celý výraz roven nule. Proto je ze zápisu zjevné, že kořeny polynomu jsou právě čísla k1 = 0, k2 = 5 a k3 = −1.