Kružnice v trojúhelníku

Kapitoly: Trojúhelník, Výška trojúhelníku, Těžnice trojúhelníku, Kružnice v trojúhelníku, Pravoúhlý trojúhelník, Jak narýsovat trojúhelník, Obsah trojúhelníku, Pythagorova věta

Každému trojúhelníku můžeme narýsovat kružnici, která je opsaná nebo vepsaná. Kružnice opsaná prochází všemi body trojúhelníku a kružnice vepsaná se dotýká všech tří stran trojúhelníku.

Kružnice opsaná trojúhelníku

Pusťte si video o tom, jak narýsovat kružnici opsanou trojúhelníku na YouTube! 🎥

Kružnice opsaná je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Tato kružnice vždy existuje a zároveň je jediná. Můžeme tak říci, že každými třemi body, které neleží na jedné přímce, prochází právě jedna kružnice.

K tomu, abychom narýsovali kružnici opsanou trojúhelníku, budeme potřebovat znát pojem osa strany. Osa strany c je přímka, která je kolmá ke straně c a zároveň prochází středem strany c, bodem Sc. Jak najít střed strany je popsáno u konstrukce těžnic. Ve chvíli kdy máme střed strany už můžeme vést tímto bodem kolmici a vytvořit tak osy strany.

Každý trojúhelník má tři strany, takže má zároveň i tři osy stran. Tyto osy stran se protnou v jednom bodě, obvykle jej značíme S. Tento bod je pak středem kružnice opsané. Takže postupujeme následovně. Na začátku máme daný nějaký trojúhelník a chceme narýsovat kružnici opsanou tomuto trojúhelníku:

Obyčejný trojúhelník Obyčejný trojúhelník

Jako první narýsujeme osy všech tří stran. To znamená, že nalezneme středy všech tří stran a poté vedeme každým středem kolmici.

Vyznačené osy stran s průnikem všech os Vyznačené osy stran s průnikem všech os

Teď už zbývá jen narýsovat kružnici. Kružnice opsaná prochází všemi vrcholy, takže poloměr takové kružnice nalezneme snadno. Je to vzdálenost od středu S k jakémukoliv vrcholu.

Kružnice opsaná trojúhelníku Kružnice opsaná trojúhelníku

Kružnice vepsaná

Pusťte si video o tom, jak narýsovat kružnici vepsanou trojúhelníku na YouTube! 🎥

Kružnice je vepsaná trojúhelníku, pokud se dotýká všech tří stran, tedy má s každou stranou společný právě jeden bod. K tomu, abychom nalezli střed kružnice vepsané, potřebujeme znát pojem osa úhlu, který už je popsán a vysvětlen v článku o úhlech. Střed kružnice vepsané se pak nachází v průsečíku všech os úhlů. Takže na začátku máme obyčejný trojúhelník. Narýsujeme osy úhlů:

Kružnice s osami úhlů Kružnice s osami úhlů

Průsečík S označuje střed kružnice vepsané. Potřebujeme ještě zjistit poloměr. K libovolné straně spustíme kolmici, která bude procházet právě bod S.

Kolmice ke straně c Kolmice ke straně c

Délka úsečky SPc je rovna délce poloměru kružnice vepsané. Teď už jen zbývá kružnici narýsovat:

Kružnice k vepsaná trojúhelníku ABC Kružnice k vepsaná trojúhelníku ABC