Kružnice v trojúhelníku

Každému trojúhelníku můžeme narýsovat kružnici, která je opsaná nebo vepsaná. Kružnice opsaná prochází všemi vrcholy trojúhelníku a kružnice vepsaná se dotýká všech tří stran trojúhelníku.

Kružnice opsaná trojúhelníku

Pusťte si video verzi článku na YouTube!

Kružnice opsaná je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Tato kružnice vždy existuje a zároveň je jediná. Můžeme tak říci, že každými třemi body, které neleží na jedné přímce, prochází právě jedna kružnice.

K tomu, abychom narýsovali kružnici opsanou trojúhelníku, budeme potřebovat znát pojem osa strany. Osa strany c je přímka, která je kolmá ke straně c a zároveň prochází středem strany c, bodem S_c. Jak najít střed strany je popsáno u konstrukce těžnic. Ve chvíli, kdy máme střed strany, už můžeme vést tímto bodem kolmici a vytvořit tak osu strany.

Každý trojúhelník má tři strany, takže má zároveň i tři osy stran. Tyto osy stran se protnou v jednom bodě, obvykle jej značíme S. Tento bod je pak středem kružnice opsané. Takže postupujeme následovně. Na začátku máme daný nějaký trojúhelník a chceme narýsovat kružnici opsanou tomuto trojúhelníku:

Jako první narýsujeme osy všech tří stran. To znamená, že nalezneme středy všech tří stran a poté vedeme každým středem kolmici.

Teď už zbývá jen narýsovat kružnici. Kružnice opsaná prochází všemi vrcholy, takže poloměr takové kružnice nalezneme snadno. Je to vzdálenost od středu S k jakémukoliv vrcholu.

Kružnice vepsaná

Kapitolu si také můžete pustit jako video na YouTube!

Pusťte si video verzi článku na YouTube!

Kružnice je vepsaná trojúhelníku, pokud se dotýká všech tří stran, tedy má s každou stranou společný právě jeden bod. K tomu, abychom nalezli střed kružnice vepsané, potřebujeme znát pojem osa úhlu, který je vysvětlen v samostatném článku. Střed kružnice vepsané se pak nachází v průsečíku všech os úhlů. Takže na začátku máme obyčejný trojúhelník. Narýsujeme osy úhlů:

Průsečík S označuje střed kružnice vepsané. Potřebujeme ještě zjistit poloměr. K libovolné straně spustíme kolmici, která bude procházet právě bodem S.

Délka úsečky SP_c je rovna délce poloměru kružnice vepsané. Teď už jen zbývá kružnici narýsovat: