Kružnice v trojúhelníku

Kapitoly: Trojúhelník, Výška trojúhelníku, Těžnice trojúhelníku, Kružnice v trojúhelníku, Pravoúhlý trojúhelník, Jak narýsovat trojúhelník, Obsah trojúhelníku, Pythagorova věta

Každému trojúhelníku můžeme narýsovat kružnici, která je opsaná nebo vepsaná. Kružnice opsaná prochází všemi body trojúhelníku a kružnice vepsaná se dotýká všech tří stran trojúhelníku.

Kružnice opsaná trojúhelníku

Kapitolu si také můžete pustit jako video na YouTube!

Kružnice opsaná je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Tato kružnice vždy existuje a zároveň je jediná. Můžeme tak říci, že každými třemi body, které neleží na jedné přímce, prochází právě jedna kružnice.

K tomu, abychom narýsovali kružnici opsanou trojúhelníku, budeme potřebovat znát pojem osa strany. Osa strany c je přímka, která je kolmá ke straně c a zároveň prochází středem strany c, bodem Sc. Jak najít střed strany je popsáno u konstrukce těžnic. Ve chvíli kdy máme střed strany už můžeme vést tímto bodem kolmici a vytvořit tak osy strany.

Každý trojúhelník má tři strany, takže má zároveň i tři osy stran. Tyto osy stran se protnou v jednom bodě, obvykle jej značíme S. Tento bod je pak středem kružnice opsané. Takže postupujeme následovně. Na začátku máme daný nějaký trojúhelník a chceme narýsovat kružnici opsanou tomuto trojúhelníku:

Obyčejný trojúhelník Obyčejný trojúhelník

Jako první narýsujeme osy všech tří stran. To znamená, že nalezneme středy všech tří stran a poté vedeme každým středem kolmici.

Vyznačené osy stran s průnikem všech os Vyznačené osy stran s průnikem všech os

Teď už zbývá jen narýsovat kružnici. Kružnice opsaná prochází všemi vrcholy, takže poloměr takové kružnice nalezneme snadno. Je to vzdálenost od středu S k jakémukoliv vrcholu.

Kružnice opsaná trojúhelníku Kružnice opsaná trojúhelníku

Kružnice vepsaná

Kapitolu si také můžete pustit jako video na YouTube!

Kružnice je vepsaná trojúhelníku, pokud se dotýká všech tří stran, tedy má s každou stranou společný právě jeden bod. K tomu, abychom nalezli střed kružnice vepsané, potřebujeme znát pojem osa úhlu, který už je popsán a vysvětlen v článku o úhlech. Střed kružnice vepsané se pak nachází v průsečíku všech os úhlů. Takže na začátku máme obyčejný trojúhelník. Narýsujeme osy úhlů:

Kružnice s osami úhlů Kružnice s osami úhlů

Průsečík S označuje střed kružnice vepsané. Potřebujeme ještě zjistit poloměr. K libovolné straně spustíme kolmici, která bude procházet právě bod S.

Kolmice ke straně c Kolmice ke straně c

Délka úsečky SPc je rovna délce poloměru kružnice vepsané. Teď už jen zbývá kružnici narýsovat:

Kružnice k vepsaná trojúhelníku ABC Kružnice k vepsaná trojúhelníku ABC