Řešení maturity z matematiky (2013, jaro)

Zadání a řešení úloh maturitního testu z matematiky, jaro 2013. Oficiální zadání a oficiální výsledky naleznete na stránkách ceskaskola.cz. Didaktický test se skládá z 26 úloh, prvních 16 tvoří úlohy otevřené, zbylých 11 tvoří uzavřené úlohy, které obsahují nabídku odpovědí. U těchto úloh je vždy právě jedna odpověď správná. Za nesprávnou nebo neuvedenou odpověď se nestrhávají body.

Na této stránce se nachází řešení úloh 1 až 10. Další řešení maturitních úloh se nachází na další stránce.

1. úloha

Trojúhelník je rozdělen na tři části. Část při vrcholu C zaujímá třetinu obsahuje trojúhelníku, část při vrcholu B dvě pětiny obsahu trojúhelníku a zbývající část při vrcholu A má obsah 4 m².

Vypočtětě v m² obsah trojúhelníku ABC.

Řešení: jako první sečteme oba zlomky, čímž zjistíme, jak velkou plochu zabírají šedé části v trojúhelníku. Zlomky převedeme na společného jmenovatele a sečteme je:

$$ \frac13\cdot\frac55+\frac25\cdot\frac33=\frac{5}{15}+\frac{6}{15}=\frac{11}{15} $$

Šedá plocha zabírá $\frac{11}{15}$ obsahu trojúhelníku, bílé 4 m² tak představují $\frac{4}{15}$ plochy trojúhelníku. Pokud 4 m² představují $\frac{4}{15}$ plochy trojúhelníku, pak 1 m odpovídá $\frac{1}{15}$ plochy trojúhelníku. Nás zajímá plocha celého trojúhelníku, tedy $\frac{15}{15}$ plochy trojúhelníku, což je 15 m².

2. úloha

Zaokrouhlete na desítky výsledek číselného výrazu:

$$ 10^5\cdot\left(0,\overline{25}-0{,}2\overline{05}\right)= $$

Pruh nad čísly značí, že se jedná o periodické číslo s danou periodou. Takže $0,\overline{25}$ značí číslo 0,2525252525… atp.

Řešení: začneme odečtením výrazu v závorce.

$$ \begin{array}{} &0,&2&5&2&5&2&5&\ldots\\ -&0,&2&0&5&0&5&0&\ldots\\ &0,&0&4&7&4&7&4&\ldots \end{array} $$

Výsledek je $0,0\overline{47}$. Dále vynásobíme $10^5\cdot0,0\overline{47}$:

$$ 10^5\cdot0{,}0\overline{47}=100{,}000\cdot0{,}04747\overline{47}=4747,\overline{47} $$

Protože zaokrouhlujeme na desítky, zajímají nás jen jednotky, takže zaokrouhlujeme číslo 4747 na desítky, na místě jednotek je sedmička, takže zaokrouhlujeme nahoru na 4750.

3. úloha

Pro x∈ ℝ proveďte:

$$ \frac{5x-6}{6}-\left(\frac{x}{6}-\frac{12x}{9}\right)= $$

Řešení: poslední zlomek můžeme zkrátit tak, aby měl ve jmenovateli 6 — pak budeme moci všechny zlomky snadno sečíst.

$$ \frac{12x}{9}\cdot \frac{\frac23}{\frac23}=\frac{12x\cdot\frac23}{9\cdot\frac23}=\frac{8x}{6} $$

Tento zlomek vložíme do původní úlohy a dopočítáme zbytek:

\begin{eqnarray} \frac{5x-6}{6}-\left(\frac{x}{6}-\frac{12x}{9}\right)&=&\frac{5x-6}{6}-\left(\frac{x}{6}-\frac{8x}{6}\right)\\ &=&\frac{5x-6}{6}-\frac{x}{6}+\frac{8x}{6}\\ &=&\frac{5x-6-x+8x}{6}\\ &=&\frac{12x-6}{6} \end{eqnarray}

Dále v čitateli zlomku vytkneme číslo 6, kterým pak zkrátíme celý zlomek:

\begin{eqnarray} \frac{12x-6}{6} &=& \frac{\color{red}{6}\cdot (2x-1)}{\color{red}{6}}\\ &=&\frac{2x-1}{1}\\ &=&2x-1 \end{eqnarray}

4. úloha

Pro a∈ ℝ upravte výraz a uveďte podmínky.

$$ \frac{4a-\frac1a}{4a+2} $$

Řešení: Začneme s podmínkami. Výraz a se dvakrát vyskytuje ve jmenovateli, který nemůže být rovný nule, protože nulou nepodělíš. Ze zlomku $\frac{1}{a}$ získáváme podmínku a≠0 a z celého zlomku máme podmínku 4a + 2≠0. Z toho hned vidíme, že $a\ne-\frac12$.

Celý zlomek rozšíříme $\frac{a}{a}$, čímž se zbavíme a ve jmenovateli toho jednoduššího zlomku:

\begin{eqnarray} \frac{4a-\frac1a}{4a+2} &=& \frac{4a-\frac1a}{4a+2} \cdot \frac{a}{a}\\ &=&\frac{4a^2-1}{4a^2+2a} \end{eqnarray}

Ve jmenovateli vytkneme 2a:

\begin{eqnarray} \frac{4a^2-1}{4a^2+2a} &=& \frac{4a^2-1}{2a(2a+1)} \end{eqnarray}

Čitatel rozložíme podle vzorce a² − b² = (a + b) · (a − b):

\begin{eqnarray} \frac{4a^2-1}{2a(2a+1)} &=& \frac{(2a-1)\cdot(2a+1)}{2a(2a+1)} \end{eqnarray}

A teď už jen zkrátíme 2a + 1:

\begin{eqnarray} \frac{(2a-1)\cdot\color{red}{(2a+1)}}{2a\color{red}{(2a+1)}} &=& \frac{2a-1}{2a} \end{eqnarray}

To už je vše, dále výraz nezjednodušíme.

5. úloha

V oboru ℝ řešte:

\begin{eqnarray} \frac{x-1}{2}-3 \frac{x+1}{6}&<&x \end{eqnarray}

Řešení: Jedná se o lineární nerovnici, takže budeme používat ekvivalentní úpravy nerovnic. Nejdříve se zbavíme zlomků. Celou nerovnici vynásobíme 6, čímž se zbavíme jak prvního, tak druhého zlomku (číslo 6 je nejmenší společný násobek čísel 2 a 6):

\begin{eqnarray} \frac{x-1}{2}-3 \frac{x+1}{6}&<&x\qquad/\cdot6\\ 3(x-1)-3(x+1)&<&6x\\ 3x-3-3x-3-6x&<&0\\ -6x-6&<&0 \end{eqnarray}

Dále nerovnici vynásobíme −1. Pozor na to, že musíme zároveň obrátit znaménko nerovnosti.

\begin{eqnarray} -6x-6&<&0\qquad/\cdot(-1)\\ 6x+6&>&0\qquad/\cdot\frac16\\ x+1&>&0\\ x&>&-1 \end{eqnarray}

6. úloha

V oboru ℝ řešte:

$$ 3x(x+1)=9x^2 $$

Řešení: Výraz 9x² můžeme rozložit na (3x) · (3x). Pak dostaneme:

\begin{eqnarray} 3x(x+1)&=&9x^2\\ 3x(x+1)&=&(3x)\cdot(3x)\\ 3x(x+1)-(3x)\cdot(3x)&=&0\qquad/\mbox{vytkneme }3x\\ 3x((x+1)-3x)&=&0\\ 3x(-2x+1)&=&0 \end{eqnarray}

Máme výraz ve tvaru součinu a ten je roven nule, pokud je alespoň jeden součinitel rovný nule. Výraz 3x(−2x + 1) je tak rovný nule, pokud 3x = 0 nebo pokud −2x + 1 = 0.

Rovnice 3x = 0 zřejmě platí pro x = 0, rovnice −2x + 1 = 0 platí pro $x=\frac{1}{2}$. Množina kořenů rovnice je tak rovna $K=\left\{0,\frac12\right\}$.

Úlohu můžeme vyřešit i jiným způsobem. Protože jde o běžnou kvadratickou rovnici, můžeme ji vyřešit s pomocí diskriminantu. Převedeme všechny výrazy na levou stranu a posčítáme je:

\begin{eqnarray} 3x(x+1)&=&9x^2\\ 3x^2+3x-9x^2&=&0\\ -6x^2+3x&=&0 \end{eqnarray}

Diskriminant je roven D = b² − 4ac. Koeficient c je nulový, takže D = b² = 3² = 9. Dopočítáme kořeny rovnice pomocí vzorce

$$ x_{1{,}2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a} $$

\begin{eqnarray} x_1&=&\frac{-3+\sqrt{9}}{-12}=\frac{-3+3}{-12}=0\\ x_2&=&\frac{-3-\sqrt{9}}{-12}=\frac{-6}{-12}=\frac12 \end{eqnarray}

7. úloha

Je dána přímka:

\begin{eqnarray} p: x &=& 2t,\\ y &=& 4+3t; t\in \mathbb{R} \end{eqnarray}

Zapište obecnou rovnici přímky p.

Řešení: Přímku p máme zadanou parametricky. Abychom získali obecnou rovnici přímky, musíme z rovnic odstranit parametr t. Jinak řečeno: musíme obě rovnice sečíst tak, abychom vyrušili parametr t. První rovnici tak vynásobíme 3 a druhou −2. Tím bude v první rovnici 6t a ve druhé −6t, takže se to pak hezky vyruší:

\begin{eqnarray} x &=& 2t,\\ y &=& 4+3t \\\hline 3x &=& 6t\\ -2y &=& -8-6t \end{eqnarray}

Nyní obě rovnice sečteme:

\begin{eqnarray} 3x-2y &=& 6t - 6t -8\\ 3x-2y &=& -8\\ 3x-2y+8 &=&0 \end{eqnarray}

A to je obecná rovnice přímky p: 3x − 2y + 8 = 0.

8. úloha

V trojúhelníku ABC je dáno $A[-2,-1], C[-1,3], \vec{CB}=\vec{a}=(2;-3)$.

1. Sestrojte trojúhelník ABC.

Řešení: Nejprve si narýsujeme obrázek toho, co zatím známe:

K tomu, abychom narýsovali celý trojúhelník ABC, potřebujeme znát umístění bodu B. Víme, že orientovaná úsečka $\vec{CB}$ je shodná s vektorem (2, −3). Máme-li úsečku $\vec{CB}$, tak normovaný vektor z této úsečky získáme tak, že odečteme souřadnice B − C. Tento rozdíl musí být roven danému vektoru (2, −3). Musí tak platit, že B − C = (2, −3). Dál už to je jednoduché:

\begin{eqnarray} B - \left[-1, 3\right] &=& \left(2, -3\right)\\ \left[\color{red}{b_1}, \color{blue}{b_2}\right]- \left[\color{red}{-1}, \color{blue}{3}\right] &=& \left(\color{red}{2}, \color{blue}{-3}\right)\\ \end{eqnarray}

Osamostatníme jednotlivé souřadnice:

\begin{eqnarray} \color{red}{b_1 - (-1)} &\color{red}{=}& \color{red}{2}\\ \color{blue}{b_2 - 3}&\color{blue}{=}& \color{blue}{-3}\\\hline \color{red}{b_1} &\color{red}{=}& \color{red}{1}\\ \color{blue}{b_2} &\color{blue}{=}& \color{blue}{0} \end{eqnarray}

Bod B má souřadnice B[1,0]. Narýsujeme trojúhelník:

2. Určete souřadnice středu S strany AC.

Řešení: Střed nalezneme snadno, sečteme souřadnice bodů A + C a vydělíme dvěma:

\begin{eqnarray} S = \frac{A+C}{2}&=&\frac{\left[-2,-1\right]+\left[-1,3\right]}{2}\\ &=&\frac{\left[-2-1,-1+3\right]}{2}\\ &=&\frac{\left[-3,2\right]}{2}\\ &=&\left[-\frac32, 1\right] \end{eqnarray}

9. úloha

V soutěži na dopravním hřišti mohl každý soutěžící získat celkem 0—4 trestné body. Výsledky soutěže udává následující graf.

1. Určete medián počtu trestných bodů přidělených jednotlivým soutěžícím.

Medián získáme tak, že seřadíme všechny rozdané trestné body a podíváme se, jaká hodnota je uprostřed. Začneme tím, že si spočítáme, kolik celkem soutěžilo soutěžících: 7 + 6 + 6 + 4 + 2 = 25. Nás zajímá hodnota „uprostřed“, tedy 13. soutěžící. Z grafu vyčteme, že nula bodů získalo 7 soutěžících, 1 trestný bod dostalo 6 soutěžících. 13. soutěžící tak dostal jeden trestný bod, medián je roven jedné.

Můžeme si všechny trestné body ručně vypsat:

$0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,\color{red}{\mathbf{1}},2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4$.

Tučná červená jednička rozděluje posloupnost trestných bodů na polovinu, nalevo i napravo je 12 dalších čísel, proto je to medián.

2. Určete průměrný počet trestných bodů na osobu.

Průměr $\overline{x}$ získáme tak, že sečteme všechny udělené trestné body a vydělíme je počtem soutěžících, kterých je 25.

$$ \overline{x} = \frac{6 + 6\cdot2+4\cdot3+2\cdot4}{25} = \frac{38}{25} = 1{,}52 $$

10. úloha

V aritmetické posloupnosti je první člen a₁ = 1 a součet prvních čtyřiceti členů s₄₀ = 1600. Vypočtěte čtyřicátý člen a₄₀ této posloupnosti.

Řešení: Vezmeme si na pomoc vzorec pro součet prvních n prvků posloupnosti. Ten vypadá takto:

$$ s_n = \frac{n\cdot (a_1+a_n)}{2} $$

Do tohoto vzorce dosadíme hodnoty, které známe a jedinou hodnotu, kterou neznáme a kterou chceme vypočítat, osamostatníme. Chceme znát a_n pro n = 40, takže ze vzorce nejprve osamostatníme a_n:

\begin{eqnarray} s_n &=& \frac{n\cdot (a_1+a_n)}{2}\qquad/\cdot2\\ 2s_n &=& n\cdot (a_1+a_n)\\ 2s_n &=& n\cdot a_1+n\cdot a_n\\ 2s_n - n\cdot a_1 &=& n\cdot a_n\qquad/\cdot\frac1n\\ \frac{2s_n - n\cdot a_1}{n} &=& a_n \end{eqnarray}

A teď už jen dosadíme hodnoty, které známe pro n = 40:

\begin{eqnarray} a_n &=& \frac{2s_n - n\cdot a_1}{n}\\ &=& \frac{2\cdot1600-40\cdot1}{40}\\ &=& 79 \end{eqnarray}