Nekonečno

Nekonečno je abstraktní pojem, který si v podstatě ani nelze představit. Samo nekonečno nemá žádný konec, od toho také tento název, ale obecné nekonečno nemá ani začátek (můžeme ho však dospecifikovat, například polopřímka je také nekonečná, ale má začátek). Nekonečno se obvykle zapisuje tzv. „ležatou osmičkou“ – ∞.

Počítáme s nekonečny

Nekonečno je z části podobné nule, ta je taky v mnoha ohledech zvláštní a platí pro zvláštní pravidla. Například nulou nemůžete dělit, to ví patrně každé malé dítě (mimochodem znáte tenhle vtip? Jaká je nejlepší výmluva, když nemáte úkol do matematiky? „Paní učitelko já jsem omylem začal dělit nulou a shořel mi sešit…“ ;o)).

Podobně jako cokoliv krát nula je nula, také platí, že cokoliv krát nebo cokoliv plus nekonečno je nekonečno. Pokud od nekonečna odečtete jakkoliv vysoké číslo, zůstane vám vždy nekonečno. Stejně tak, pokud se budete pokoušet nekonečno podělit. Nekonečno je zkrátka tak velké, že i když od něj budete každou vteřinu odečítat miliony, stejně vám vždycky zůstane nekonečno. Někdy je to trochu špatně pochopitelné, například mějme tuto rovničku: ∞ + 1 = ∞. Platí nebo neplatí?

Logika nám říká, že levá strana rovnice je větší, prostě pokud k nekonečnu přičtu jedničku, musí být celý ten výraz větší než pouhé nekonečno. Nemusí :-). Jak už jsem říkal, nekonečno plus cokoliv je nekonečno. Tedy nekonečno plus jedna je nekonečno a nekonečno se rovná nekonečnu. Rovnice platí.

Lze najít i jiná cesta, skrze limity. Mějme teď zlomek 1/x a spočítejme limitu pro x→0 a předpokládejme, že nám neshořel sešit. Takováto limita by byla rovna nekonečnu. Pokud k tomuto výrazu přičtete jedničku, budete mít výraz (1+x)/x a limita pro x→0 by opět byla nekonečno.

Sranda začíná, pokud začneme nekonečna více kombinovat. Například čemu se rovná výraz nekonečno minus nekonečno? Logika nám říká, že od sebe odčítáme dvě stejně velká čísla, tudíž bude výsledek nula. Také jsem říkal, že pokud od nekonečna odečteme jakékoliv číslo, výsledek bude zase nekonečno. Naopak pokud od jakéhokoliv čísla odečteme nekonečno, vyjde nám minus nekonečno. Takže jak teď z toho ven? Všechny výsledky jsou teoreticky možné. Matematika říká, že výraz ∞ −∞ se nerovná ničemu konkrétnímu, je to nedefinovaný/ne­určitý výraz. Je to podobný příklad jako když se pokoušíte dělit nulou, prostě to nemá smysl. Pokud narazíte na takovýto neurčitý výraz, musíte výraz nějakým způsobem upravit (u některých druhů neurčitých výrazů lze využít například L'Hospitalovo pravidlo [čti „lopitalovo pravidlo“]).

Další nedefinované/ne­určité výrazy:

• ∞ − ∞
• ∞/∞
• 0/0
• 0 · ∞
• 0⁰
• ∞⁰
• $1^∞$

Mimochodem ale platí základní operace se znaménky, například −1 · ∞ se rovná minus nekonečno.

Chcete se zbláznit?

Pak se pusťe do teorie množin a spočítejte, která množina je větší. Například je větší množina sudých čísel nebo lichých? Sudých nebo přirozených? Přirozených nebo celých? Sudých nebo celých? Přirozených nebo racionálních? Odpověď zní, že všechny jsou stejně velké. Ač se to může zdát zvláštní (celých čísel musí být přece víc než čísel lichých), jsou to stejně velké množiny. Za to množina reálných čísel je větší než zmíněné množiny. Čert aby se v tom vyznal ;-)