Dwumian Newtona

Wzór dwumianowy Newtona to uogólnienie klasycznych wzorów typu (a + b)² przy pomocy metod kombinatorycznych.

Motywacja

Na pewno znasz wzory na (a + b)² albo (a + b)³:

$$\begin{eqnarray} (a+b)^2&=&a^2+2ab+b^2\\ (a+b)^3&=&a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \end{eqnarray}$$

Naturalne jest pytanie, czy nie da się tych wzorów uogólnić na dowolną liczbę naturalną n, czyli czy da się obliczyć (a + b)ⁿ?

Wyprowadzenie

Oczywiście, że się da, i służy do tego właśnie wzór dwumianowy Newtona. Spróbujmy zobaczyć, jak takie rozwinięcie wyglądałoby dalej dla n = 4 i n = 5.

$$\begin{eqnarray} (a+b)^4 &=& a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4\\ (a+b)^5&=&a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5 \end{eqnarray}$$

Już powinieneś dostrzec pewien wzór. Jeśli mamy wyrażenie (a + b)ⁿ, to po prawej stronie zawsze zaczynamy od wyrazu aⁿ. Drugi wyraz także zawiera zmienną a, ale wykładnik jest o jeden mniejszy. Na przykład: w rozwinięciu (a + b)⁴ mamy po prawej stronie w pierwszym wyrazie a⁴, a w drugim a³. Każdy kolejny wyraz zawiera zmienną a z wykładnikiem o jeden mniejszym niż poprzedni wyraz. Zmienna b przeciwnie, rośnie. Na początku zmiennej b nie mamy, a dokładniej mamy, ale z wykładnikiem zero: b⁰ = 1. W drugim wyrazie b ma wykładnik jeden, potem dwa itd.

Przy tym wszystkim obowiązuje prosta zasada, że suma wykładników musi być zawsze równa n. Jeśli weźmiemy pod uwagę ostatnie rozwinięcie (a + b)⁵, to na przykład trzeci wyraz to 10a³ · b², a suma wykładników przy zmiennych a i b wynosi właśnie 5.

Ostatnia sprawa to jakie będą współczynniki (te liczby przed zmiennymi) przy każdym wyrazie. Na pewno zauważysz, że te współczynniki są symetryczne: przy (a + b)⁴ mamy współczynniki 1,4,6,4,1, przy (a + b)⁵ mamy: 1, 5, 10, 10, 5, 1. Przypominam, że a⁴ = 1 · a⁴, dlatego piszę tam tę jedynkę, chociaż we wzorach jej jawnie nie zapisuję. Kolejną zależność pokażemy na trójkącie Pascala.

Trójkąt Pascala

Trójkąt Pascala to zgrabna pomoc przy liczeniu rozwinięcia ze wzoru dwumianowego Newtona. Trójkąt Pascala składa się z liczb i zachodzi w nim, że liczba, która znajduje się pod dwiema innymi liczbami, jest równa ich sumie. Brzmi to zawile, ale z samego trójkąta wszystko będzie jasne:

Popatrz na przykład na liczbę cztery. Nad tą liczbą znajdują się liczby 1 i 3. A suma 1+3 daje właśnie 4. Podobnie jest z pozostałymi liczbami.

A jak wykorzystamy trójkąt Pascala? Gdy popatrzysz na liczby w poszczególnych wierszach, zauważysz, że bardzo przypominają współczynniki w otrzymanym rozwinięciu dwumianu. Na przykład przy (a + b)² mamy współczynniki 1,2,1, co jest dokładnie drugim wierszem. Dla (a + b)⁴ mamy współczynniki 1,4,6,4,1, co jest dokładnie czwartym wierszem. Jeśli potrzebujemy obliczyć (a + b)ⁿ, wystarczy popatrzeć na n-ty wiersz trójkąta Pascala.

Wzór dwumianowy Newtona

Formalnie wzór dwumianowy Newtona brzmi tak:

$$ (a+b)^n=\sum_{k=0}^n {n \choose k} a^{n-k}b^k\qquad a,b\in\mathbb{R}; n\in\mathbb{N} $$

Sumę liczymy od zera do n włącznie. Wynikowa liczba składników wynosi więc n + 1. To coś w nawiasie to symbol Newtona, który pochodzi z kombinatoryki i oznacza liczbę różnych kombinacji, z których możemy otrzymać dany wyraz rozwinięcia dwumianu. Reszta to już tylko zmienne z odpowiednimi wykładnikami. Zauważ, że suma wykładników naprawdę jest równa n: n − k + k = n.

Przykłady

Prosty przykład: oblicz ze wzoru dwumianowego Newtona (a + 2b)⁴. Najpierw zajrzymy do trójkąta Pascala, do czwartego wiersza. Mówi nam on, że współczynniki będą miały postać: 1,4,6,4,1. Teraz zostaje już tylko po kolei uzupełniać wykładniki. W pierwszym wyrazie będzie tylko a⁴:

$$(a+2b)^4=a^4+\ldots$$

W drugim wyrazie mamy wykładniki rozłożone na parę 3,1, czyli dostajemy a³(2b)¹. Podniesienie do potęgi pierwszej nic z wyrażeniem nie robi, więc możemy napisać a³2b. Współczynnik przy drugim wyrazie to 4:

$$(a+2b)^4=a^4+4a^32b+\ldots$$

Trzeci wyraz będzie miał wykładniki 2,2. Tu trochę uwagi, do potęgi podnosimy całe 2b, czyli tak: (2b)², co jest równe: (2b)² = 4b². Dopisujemy do rozwinięcia ze współczynnikiem 6:

$$(a+2b)^4=a^4+4a^32b+6a^24b^2+\ldots$$

Czwarty wyraz będzie miał postać a(2b)³. Po podniesieniu do potęgi dostaniemy a8b³. Dopisujemy ze współczynnikiem 4:

$$(a+2b)^4=a^4+4a^32b+6a^24b^2+4a8b^3+\ldots$$

A ostatni wyraz będzie już tylko (2b)⁴ = 16b⁴:

$$(a+2b)^4=a^4+4a^32b+6a^24b^2+4a8b^3+16b^4.$$

Teraz jeszcze tylko lekko to uporządkować. W wyrazie 4a³2b możemy przenieść dwójkę na początek wyrazu i pomnożyć 2 · 4 = 8. Powstanie nam w ten sposób 8a³b. Jeśli tak samo zrobimy z resztą, dostaniemy wynik:

$$(a+2b)^4=a^4+8a^3b+24a^2b^2+32ab^3+16b^4.$$

Zauważ, że w tym momencie współczynniki już nie zgadzają się z liczbami w trójkącie Pascala.