Trójkąt Pascala

Trójkąt Pascala składa się z liczb i obowiązuje w nim zasada, że liczba, która stoi pod dwiema innymi liczbami, jest równa ich sumie. Zbudujmy taki trójkąt Pascala, a potem pokażemy, do czego wszystkiego może się przydać.

Jak zbudować trójkąt Pascala

Na bokach naszego trójkąta wypiszemy same jedynki, a wnętrze trójkąta na razie wypełnimy znakami zapytania:

$$\begin{array}{cccccccc} &&&&&&&1&&&&&&\\ &&&&&&1&&1&&&&&\\ &&&&&1&&?&&1&&&&\\ &&&&1&&?&&?&&1&&&\\ &&&1&&?&&?&&?&&1&&\\ \end{array}$$

Teraz obliczymy pierwszy znak zapytania – dodamy dwie liczby nad nim i dostaniemy 1 + 1 = 2:

$$\begin{array}{cccccccc} &&&&&&&1&&&&&&\\ &&&&&&\fbox{1}&&\fbox{1}&&&&&\\ &&&&&1&&\color{red}{2}&&1&&&&\\ &&&&1&&?&&?&&1&&&\\ &&&1&&?&&?&&?&&1&&\\ \end{array}$$

Podobnie obliczymy znaki zapytania w kolejnym wierszu. Najpierw dostaniemy 1 + 2 = 3:

$$\begin{array}{cccccccc} &&&&&&&1&&&&&&\\ &&&&&&1&&1&&&&&\\ &&&&&\fbox{1}&&\fbox{2}&&1&&&&\\ &&&&1&&\color{red}{3}&&?&&1&&&\\ &&&1&&?&&?&&?&&1&&\\ \end{array}$$

A potem dostaniemy 2 + 1 = 3:

$$\begin{array}{cccccccc} &&&&&&&1&&&&&&\\ &&&&&&1&&1&&&&&\\ &&&&&1&&\fbox{2}&&\fbox{1}&&&&\\ &&&&1&&3&&\color{red}{3}&&1&&&\\ &&&1&&?&&?&&?&&1&&\\ \end{array}$$

Tak będziemy postępować dalej i z każdym kolejnym wierszem otrzymamy kolejną część trójkąta Pascala:

$$\begin{array}{} &&&&&&&1&&&&&&\\ &&&&&&1&&1&&&&&\\ &&&&&1&&2&&1&&&&\\ &&&&1&&3&&3&&1&&&\\ &&&1&&4&&6&&4&&1&&\\ &&1&&5&&10&&10&&5&&1&\\ &1&&6&&15&&20&&15&&6&&1 \end{array}$$

Trójkąt Pascala jest oczywiście nieskończony, zawsze możemy dopisywać kolejne wiersze. Zawsze jednak na brzegach stoją jedynki, a wewnątrz trójkąta są liczby, które powstały jako suma dwóch liczb nad nimi. Na przykład liczba 15 w ostatnim wierszu powstała jako suma liczb 5 i 10 nad nią.

Podstawowe własności trójkąta Pascala

Pierwszą podstawową własność już poznaliśmy: na bokach trójkąta zawsze są jedynki:

$$\begin{array}{} &&&&&&&\fbox{1}&&&&&&\\ &&&&&&\fbox{1}&&\fbox{1}&&&&&\\ &&&&&\fbox{1}&&2&&\fbox{1}&&&&\\ &&&&\fbox{1}&&3&&3&&\fbox{1}&&&\\ &&&\fbox{1}&&4&&6&&4&&\fbox{1}&&\\ &&\fbox{1}&&5&&10&&10&&5&&\fbox{1}&\\ &\fbox{1}&&6&&15&&20&&15&&6&&\fbox{1}& \end{array}$$

Na „drugiej przekątnej” zawsze są wszystkie liczby naturalne:

$$\begin{array}{} &&&&&&&1&&&&&&\\ &&&&&&1&&\fbox{1}&&&&&\\ &&&&&1&&\fbox{2}&&1&&&&\\ &&&&1&&\fbox{3}&&3&&1&&&\\ &&&1&&\fbox{4}&&6&&4&&1&&\\ &&1&&\fbox{5}&&10&&10&&5&&1&\\ &1&&\fbox{6}&&15&&20&&15&&6&&1 \end{array}$$

Zauważyłeś przy okazji, że trójkąt Pascala jest symetryczny? Każdy wiersz jest taki sam, niezależnie od tego, czy czytasz go od lewej do prawej, czy od prawej do lewej.

Liczby trójkątne

Na trzeciej przekątnej mamy z kolei liczby 1, 3, 6, 10, 15…

$$\begin{array}{} &&&&&&&1&&&&&&\\ &&&&&&1&&1&&&&&\\ &&&&&1&&2&&\fbox{1}&&&&\\ &&&&1&&3&&\fbox{3}&&1&&&\\ &&&1&&4&&\fbox{6}&&4&&1&&\\ &&1&&5&&\fbox{10}&&10&&5&&1&\\ &1&&6&&\fbox{15}&&20&&15&&6&&1 \end{array}$$

Co w nich ciekawego? Te liczby nazywamy liczbami trójkątnymi. Wyobraź sobie, że masz kilka kółek i chcesz je ułożyć w kształt trójkąta. Ile kółek będzie ci potrzebnych? Spójrz na następujący obrazek:

Widzimy, że do trójkąta o boku 1 potrzebujemy dokładnie jednego kółka. Do boku o długości dwa potrzebujemy trzech kółek, do długości trzy sześciu kółek, a do długości cztery dziesięciu kółek. Liczba potrzebnych kółek jest zawsze jakąś liczbą trójkątną, którą znajdziemy w trójkącie Pascala.

Suma wierszy

A gdybyśmy spróbowali dodać do siebie liczby w każdym wierszu trójkąta Pascala?

$$\begin{array}{} &&&&&&&1&&&&&&&=1\\ &&&&&&1&&1&&&&&&=2\\ &&&&&1&&2&&1&&&&&=4\\ &&&&1&&3&&3&&1&&&&=8\\ &&&1&&4&&6&&4&&1&&&=16\\ &&1&&5&&10&&10&&5&&1&&=32\\ &1&&6&&15&&20&&15&&6&&1&=64 \end{array}$$

Widzimy, że suma każdego wiersza jest dwa razy większa od sumy poprzedniego wiersza. Wszystkie sumy są więc jakąś potęgą liczby dwa. Jeśli najwyższy wiersz oznaczymy jako wiersz zerowy, możemy zapisać, że suma n-tego wiersza trójkąta Pascala jest równa 2ⁿ.

Liczby pierwsze

Oznaczmy najwyższy wiersz trójkąta jako wiersz zerowy. Wtedy zachodzi następująca własność: jeśli wybierzemy n-ty wiersz, gdzie n jest liczbą pierwszą, to wszystkie liczby w tym wierszu (oprócz jedynek na brzegach) będą podzielne przez n.

Weźmy na przykład n = 5. Pięć jest liczbą pierwszą. Piąty wiersz wygląda tak:

$$\begin{array}{} &&&&&&&1&&&&&&\\ &&&&&&1&&1&&&&&\\ &&&&&1&&2&&1&&&&\\ &&&&1&&3&&3&&1&&&\\ &&&1&&4&&6&&4&&1&&\\ &&1&&\fbox{5}&&\fbox{10}&&\fbox{10}&&\fbox{5}&&1&\\ &1&&6&&15&&20&&15&&6&&1 \end{array}$$

Każda z zaznaczonych liczb jest podzielna przez pięć.

Wzór dwumianowy Newtona

Na pewno znasz wzory na (a + b)² albo (a + b)³:

$$\begin{eqnarray} (a+b)^2&=&a^2+2ab+b^2\\ (a+b)^3&=&a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \end{eqnarray}$$

Łatwo zauważyć, że współczynniki przy poszczególnych wyrazach odpowiadają liczbom z trójkąta Pascala. Spójrzmy na przykład na wyrażenie

$$a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$$

Najpierw dopiszemy do wyrazów a³ i b³ mnożenie przez jedynkę, żeby było to lepiej widać:

$$1a^3+3a^2b+3ab^2+1b^3$$

Teraz widzimy, że współczynniki, przez które mnożymy wyrazy, są takie same jak trzeci wiersz trójkąta Pascala (jeśli najwyższy wiersz liczymy jako zerowy):

$$\fbox{1}a^3+\fbox{3}a^2b+\fbox{3}ab^2+\fbox{1}b^3$$

Temu zjawisku jest jednak poświęcony osobny artykuł o wzorze dwumianowym Newtona.