Prawdopodobieństwo

Prawdopodobieństwo jakiegoś zdarzenia losowego mówi nam, jaką mamy szansę, że dane zdarzenie zajdzie. Typowym przykładem jest rzut zwykłą kostką do gry. Możemy zapytać: „jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadnie piątka?” Prawdopodobieństwo podajemy albo jako liczbę z przedziału <0, 1>, albo w procentach, czyli od 0% do 100%.

Potrzebne definicje

O każdej powtarzalnej czynności, której wynik zależy od przypadku, powiemy, że jest to doświadczenie losowe. Doświadczeniem losowym jest na przykład rzut kostką albo losowanie Lotto. Dalej potrzebujemy zbioru wszystkich możliwych wyników doświadczenia losowego — to wszystkie możliwości, które mogą w danym doświadczeniu wystąpić. Pojedynczy wynik nazywamy zdarzeniem elementarnym, a zbiór wszystkich wyników przestrzenią zdarzeń elementarnych. Na kostce mogą na przykład wypaść liczby od jednego do sześciu, więc przestrzeń zdarzeń elementarnych, którą oznaczamy $\Omega$ (omega), wyglądałaby dla kostki tak: $\Omega = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$. W Lotto byłyby to wszystkie kombinacje liczb, które mogą zostać wylosowane.

Każdy podzbiór $A \subseteq \Omega$ nazwiemy zdarzeniem (losowym). Na przykład zdarzenie „na kostce wypadnie liczba parzysta” zapisalibyśmy jako A = {2, 4, 6}. Zdarzenie „na kostce wypadnie liczba większa od pięciu” zapisalibyśmy jako A = {6} i tak dalej. Jeśli rzucimy kostką (= przeprowadzimy doświadczenie) i wypadnie liczba x, to gdy x ∈ A, mówimy, że zdarzenie zaszło, w przeciwnym razie mówimy, że zdarzenie nie zaszło. Jeśli zostaniemy przy zdarzeniu „na kostce wypadnie liczba parzysta” i wypadnie nam x = 2, to x ∈ A, czyli 2 ∈ {2, 4, 6}, i zdarzenie zaszło.

Istnieją dwa szczególne rodzaje zdarzeń: zdarzenie pewne i zdarzenie niemożliwe. Zdarzenie jest pewne, jeśli zachodzi w każdym doświadczeniu, co oznacza, że $A = \Omega$. Przy kostce byłoby to zdarzenie „wypadnie liczba mniejsza od 7”. To wypadnie na pewno. Przeciwieństwem jest zdarzenie niemożliwe, które wyglądałoby tak: A = ∅, a słownie na przykład „na kostce wypadnie doniczka”. No cóż, doniczka może nam podczas rzutu kostką spaść z półki, ale na pewno nie wypadnie na kostce, bo są na niej tylko liczby od 1 do 6.

Prawdopodobieństwo zdarzenia

Prawdopodobieństwo zdarzenia mówi nam, jak bardzo możemy się spodziewać, że dane zdarzenie zajdzie. Chyba każdy przeczuwa, że na kostce częściej wypadnie jakaś liczba parzysta niż akurat piątka. Prawdopodobieństwo zamienia to przeczucie na konkretne liczby. Najpierw powiemy sobie, jakie założenia będą nam potrzebne.

Niech dla doświadczenia losowego zachodzi:

• Wszystkich możliwych wyników jest skończenie wiele (czyli $\Omega$ jest zbiorem skończonym).
• Nie mogą wypaść dwa wyniki jednocześnie (czyli nie możemy na kostce wyrzucić jednocześnie 3 i 6).
• Każdy wynik jest jednakowo prawdopodobny (czyli mamy taką samą szansę wyrzucić na kostce 4, jak wyrzucić 6 albo 1).

Pierwsze dwa warunki są dość naturalne, ostatni trochę ogranicza, ale na razie nam wystarczy. Wtedy możemy powiedzieć, że prawdopodobieństwo zdarzenia A, oznaczane P(A), jest równe

$$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}.$$

Innymi słowy: liczba wyników sprzyjających podzielona przez liczbę wszystkich wyników. (Kreski w powyższym wzorze oznaczają liczbę elementów zbioru.) Prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby parzystej na kostce byłoby więc równe:

$$ P(Parzysta) = \frac{|{2{,}4,6}|}{|{1{,}2,3{,}4,5{,}6}|}=\frac36=\frac12=0{,}5. $$

Prawdopodobieństwo często podajemy w postaci procentów — wystarczy obliczone prawdopodobieństwo pomnożyć przez sto i dopisać procenty: 0,5 · 100% = 50%. Pięćdziesięcioprocentowe prawdopodobieństwo mówi nam właściwie, że mamy taką samą szansę, że liczba parzysta wypadnie, jak że nie wypadnie. Co ma sens, skoro na kostce są trzy liczby parzyste i trzy nieparzyste.

Zdarzenie pewne ma prawdopodobieństwo 1, zdarzenie niemożliwe 0. Dlaczego? Powiedzieliśmy, że dla zdarzenia pewnego J zachodzi $J = \Omega$, a dla zdarzenia niemożliwego N zachodzi N = ∅. Jeśli wstawimy te zdarzenia do wzoru, otrzymamy:

$$ P(J) = \frac{|\Omega|}{|\Omega|} = 1;\qquad P(N)=\frac{|\emptyset|}{|\Omega|}=\frac{0}{|\Omega|}=0. $$

Rozwiązane przykłady

1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na kostce wypadnie piątka? To proste, zbiór wszystkich wyników sprzyjających to tylko A = {5}, zbiór wszystkich wyników to nadal $\Omega = {1,2,3,4,5,6}$. Podstawiamy do wzoru:

   $$ P(A) = \frac{|{5}|}{|{1{,}2,3{,}4,5{,}6}|}=\frac16=16{,}666… \% $$

2. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na kostce wypadnie liczba podzielna przez trzy? Musimy ustalić, które liczby na kostce są podzielne przez trzy. To tylko 3 i 6, więc zbiór wyników sprzyjających to B = {3, 6}. Dalej już klasycznie:

   $$ P(B) = \frac{|{3, 6}|}{|{1{,}2,3{,}4,5{,}6}|}=\frac26=\frac13=33{,}333… \% $$

3. Teraz spróbujemy rzucać dwiema kostkami jednocześnie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na obu kostkach wypadnie szóstka? Najpierw musimy wyznaczyć $\Omega$, czyli zbiór wszystkich wyników. Musimy policzyć wszystkie możliwości, jakie mogą wystąpić. Jeśli na pierwszej kostce wypadnie 1, to na drugiej może wypaść liczba od 1 do 6. W ten sposób znaleźliśmy sześć możliwości. Jeśli na pierwszej kostce wypadnie 2, na drugiej znowu mogą wypaść liczby od 1 do 6; tak znaleźliśmy kolejnych sześć możliwości. I tak dalej dla wszystkich liczb, które mogą wypaść na pierwszej kostce. Wszystkie możliwości wyglądają tak:

   $$\begin{eqnarray} &\Omega=&(1{,}1), (1{,}2), (1{,}3), (1{,}4), (1{,}5), (1{,}6), \\ &&(2{,}1), (2{,}2), (2{,}3), (2{,}4), (2{,}5), (2{,}6), \\ &&\ldots\\ &&(6{,}1), (6{,}2), (6{,}3), (6{,}4), (6{,}5), (6{,}6) \end{eqnarray}$$

   Mamy w sumie sześć wierszy i w każdym wierszu sześć możliwości. Łącznie dostajemy 6 · 6 = 36 możliwości, które mogą wypaść na kostkach. Ile z nich należy do zbioru wyników sprzyjających? Tylko jedna, mianowicie (6, 6), bo chcemy, żeby wypadły dwie szóstki. Otrzymujemy więc prawdopodobieństwo:

   $$ P(C) = \frac{|{(6, 6)}|}{|\Omega|}=\frac{1}{36}=2{,}777… \% $$

4. Jakie jest prawdopodobieństwo, że przy rzucie dwiema kostkami wypadnie na obu ta sama liczba? Liczba wszystkich możliwych wyników to nadal 36, patrz poprzedni przykład. Ile jest jednak wyników sprzyjających? Tylko w sześciu przypadkach na obu kostkach wypadnie ta sama liczba: D = {(1, 1), (2, 2), …, (6, 6)}. Podstawiamy do wzoru:

   $$ P(D) = \frac{|D|}{|\Omega|}=\frac{6}{36}=\frac16=16{,}666… \% $$

5. Jakie jest prawdopodobieństwo, że przy rzucie dwiema kostkami, białą i czarną, na białej kostce wypadnie 3, a na czarnej 5? Liczba elementów $\Omega$ to nadal 36. Jak wygląda zbiór wyników sprzyjających E? Zawiera dokładnie jedną możliwość, (3, 5), więc prawdopodobieństwo jest równe

   $$ P(E) = \frac{|E|}{|\Omega|}=\frac{1}{36}=2{,}777… \% $$

6. Jakie jest prawdopodobieństwo, że przy rzucie dwiema kostkami, białą i czarną, wypadną liczby 3 i 5? Ten przykład jest podobny do poprzedniego, tylko nie wymagamy, żeby 3 wypadła na białej kostce, a 5 na czarnej. Po prostu na jednej z kostek musi wypaść 3, a na drugiej 5. Dzięki temu mamy więcej możliwości: oprócz (3, 5) mamy też możliwość (5, 3). Prawdopodobieństwo tego zdarzenia F jest więc równe:

   $$ P(F) = \frac{|F|}{|\Omega|}=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}=5{,}555… \% $$

7. Jakie jest prawdopodobieństwo, że przy rzucie dwiema kostkami wypadnie co najmniej jedna szóstka? Pójdziemy krok po kroku: jeśli szóstka wypadnie na pierwszej kostce, to na drugiej mogą wypaść liczby od 1 do 5. To pięć możliwości. Jeśli szóstka wypadnie na drugiej kostce, na pierwszej mogą wypaść liczby od 1 do 5. To kolejnych pięć możliwości. I wreszcie szóstka może wypaść na obu kostkach — to jeszcze jedna możliwość. W sumie mamy więc 5 + 5 + 1 = 11 możliwości. Zbiór wyników sprzyjających G wygląda tak: G = {(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6), (5, 6), (6, 6)}. Otrzymujemy prawdopodobieństwo:

   $$ P(G) = \frac{|G|}{|\Omega|}=\frac{11}{36}=30{,}555… \% $$

8. W klasie jest 30 uczniów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że Kuba zostanie wezwany do odpowiedzi na lekcji historii, jeśli pani od historii pyta zawsze dwóch uczniów na lekcji i do tej pory nikt jeszcze nie odpowiadał? Żeby obliczyć prawdopodobieństwo, musimy wiedzieć, ile jest różnych par uczniów i ile jest różnych par, w których jednym z dwójki jest Kuba. Ponieważ nie ma znaczenia, w jakiej kolejności pani wywoła uczniów, użyjemy kombinacji.

   Teraz to już będzie proste. Mamy w sumie 30 uczniów i pytamy, ile różnych par da się z nich ułożyć. To prowadzi nas do symbolu Newtona

   $$ {30 \choose 2} = 435 $$

   A w ilu parach jest Kuba? Jeśli jednym z dwójki jest Kuba, to zostaje 29 uczniów, z którymi Kuba może utworzyć parę (sam ze sobą pary nie utworzy, stąd 30-1=29). Znamy już liczbę wszystkich możliwości i liczbę możliwości sprzyjających, więc podstawiamy do wzoru:

   $$ P(H) = \frac{29}{435}=0{,}0666\ldots=6{,}666… \% $$

   Uwaga: liczbę wszystkich par możemy obliczyć także bez kombinacji. Jak moglibyśmy utworzyć wszystkie pary, jeśli mamy klasę 30 uczniów? Tak, że zawsze weźmiemy jednego ucznia i po kolei dobierzemy mu wszystkich pozostałych. Czyli weźmiemy na przykład Marcina i dobierzemy mu do pary każdego z pozostałych uczniów, czyli utworzymy 29 par. Zrobimy tak z każdym uczniem, czyli ze wszystkimi 30 uczniami. Dostajemy w sumie 30 · 29 = 870 par. Każdą parę mamy tam jednak dwa razy, raz jako parę (Marcin, Asia) i drugi raz jako (Asia, Marcin) (w zależności od tego, czy to Marcinowi dobieraliśmy resztę klasy, czy on sam był właśnie dobierany do Asi). Ten wynik musimy więc jeszcze podzielić przez dwa i mamy wynik końcowy: 870 / 2 = 435.

9. Jakie jest prawdopodobieństwo, że z szafki na buty, w której stoi dwanaście par butów, wyciągniemy trzy buty i wszystkie będą na lewą nogę? Taki przykład prosto z życia, na pewno już kiedyś potrzebowałeś to wiedzieć. Zaczniemy od tego, że policzymy, ile w ogóle różnych trójek możemy z szafki wyciągnąć. Będą nam do tego potrzebne kombinacje, bo nie ma znaczenia, w jakiej kolejności buty wyciągniemy. Mamy w sumie 24 buty i chcemy wyciągnąć 3. Otrzymujemy symbol Newtona:

   $$ {24 \choose 3} = 2024 $$

   Policzyliśmy w ten sposób, że istnieją w sumie 2024 różne kombinacje trzech butów, które możemy z szafki wyciągnąć. Teraz musimy policzyć, które kombinacje są sprzyjające, czyli które kombinacje trzech butów zawierają tylko buty na lewą nogę. Wiemy, że w szafce jest w sumie 12 butów na lewą nogę. Obliczymy więc tylko, ile kombinacji możemy utworzyć z tych 12 butów. To znowu prowadzi do symbolu Newtona:

   $$ {12 \choose 3} = 220 $$

   Istnieje więc 220 kombinacji, które zawierają tylko buty na lewą nogę. To wszystko, co musimy wiedzieć, teraz już tylko podstawiamy do wzoru:

   $$ P(I) = \frac{220}{2024}=0{,}108695\ldots=10{,}8695… \% $$

   Mamy więc mniej więcej dziesięcioprocentową szansę, że wyciągniemy trzy buty i wszystkie będą na lewą nogę.