Liczby naturalne

Liczby naturalne to liczby, z którymi najczęściej spotykamy się na co dzień. Są to dodatnie liczby całkowite, czyli liczby 1, 2, 3, 4, …

Oznaczenia

Liczby naturalne tworzą zbiór, który zawiera dodatnie liczby całkowite 1, 2, 3, 4, … Zbiór ten oznaczamy zwykle literą N z podwójną pierwszą kreską, w ten sposób: ℕ. Pochodzi to od angielskiego słowa „naturals”.

Czasem przyjmujemy, że zbiór liczb naturalnych zawiera także zero. Jeśli trzeba to rozróżnić, zwykle oznaczamy symbolem ℕ zbiór bez zera, a gdy chcemy uwzględnić zero, dopisujemy je w indeksie, tak: ℕ₀. Często używa się też oznaczenia z plusem, żeby podkreślić, że chodzi o liczby naturalne bez zera: $\mathbb{N}^+$. W polskiej szkole zwykle przyjmuje się, że zero jest liczbą naturalną.

Liczb naturalnych używamy przede wszystkim do określania, ile czegoś jest („w domu mamy trzy krzesła”, „w parku jest trzydzieści ławek”, …), oraz do określania kolejności („pierwszy człowiek na Księżycu”, „Kanada jest drugim co do wielkości państwem świata”, …).

Własności

Liczby naturalne mają kilka ciekawych własności:

1. Zbiór liczb naturalnych jest nieskończony, ale jest przeliczalny – wszystkie jego elementy możemy ustawić w ciąg.

• Zbiór liczb naturalnych jest zamknięty ze względu na dodawanie i mnożenie. Oznacza to, że gdy pomnożymy lub dodamy dowolne dwie liczby naturalne, znowu otrzymamy liczbę naturalną.
• Nie jest zamknięty ze względu na odejmowanie, bo gdy od mniejszej liczby odejmiemy większą, otrzymamy liczbę ujemną.
• Podobnie nie jest zamknięty ze względu na dzielenie, na przykład 7/2 nie jest liczbą naturalną.

Dzielenie z resztą

W poprzedniej części powiedzieliśmy sobie, że zbiór liczb naturalnych nie jest zamknięty ze względu na dzielenie. Możemy jednak zdefiniować działanie dzielenia z resztą, które na pewno znasz. Gdy podzielimy 7/2, otrzymamy 3,5. Gdy użyjemy dzielenia z resztą, otrzymamy wynik 3 i resztę 1. Jeśli więc pomnożymy 3 · 2 i dodamy resztę, z powrotem otrzymamy 7: 3 · 2 + 1 = 7.

Zbiór liczb naturalnych nie jest wprawdzie zamknięty także ze względu na to działanie, ale zbiór liczb naturalnych razem z zerem już tak. Zarówno wynik, jak i reszta będą więc należeć do zbioru ℕ₀.

Definicja dzielenia z resztą wygląda tak:

$$a=bq+r; \qquad a, q, r\in\mathbb{N}_0, b\in\mathbb{N}, r < b$$

W definicji dzieliliśmy a:b, liczbę r nazywamy resztą z dzielenia, a q ilorazem (wynikiem dzielenia). Co oznaczają te warunki? Zakładamy, że poruszamy się w liczbach naturalnych razem z zerem, ale ponieważ nie można dzielić przez zero, b wybieramy ze zbioru bez zera.

Na przykład dla obliczenia 19:5 mamy a = 19 i b = 5. Rozkład wyglądałby tak:

$$19=5\cdot3+4$$

Zatem q = 3 to iloraz (wynik dzielenia), a r = 4 to reszta.