Paradoks Monty’ego Halla

Paradoks Monty’ego Halla, nazywany też zagadką trzech drzwi, to zadanie z prawdopodobieństwa, które potrafi zmylić niejednego człowieka.

Treść zadania

Mamy trzy drzwi. Prowadzący teleturniej Monty Hall umieszcza za jednymi drzwiami samochód, a za pozostałymi kozy. Twoim zadaniem jest znaleźć i wybrać te drzwi, za którymi stoi samochód. Prowadzący prosi cię, żebyś wybrał jedne z trzech drzwi; oznaczmy je A, B i C. Wybierasz jedne drzwi, powiedzmy B. Teraz do gry wkracza prowadzący, który spośród pozostałych drzwi, czyli A, C, otwiera te, za którymi kryje się koza — zdradza ci więc drzwi, które na pewno nie prowadzą do celu. Powiedzmy, że otworzy drzwi A.

Cała sztuka kryje się w następnym kroku — prowadzący proponuje ci, że możesz zmienić swój wybór. Najpierw wybrałeś drzwi B, potem prowadzący pokazał ci, że za drzwiami A samochodu nie ma, i proponuje, żebyś zmienił wybór na drzwi C. Możesz jednak zostać przy swoim pierwotnym wyborze B.

Co zrobisz? Czy większa szansa jest na to, że samochód stoi za drzwiami B, czy za drzwiami C? A może to bez różnicy?

Rozwiązanie

Masz trzy drzwi. Jedne drzwi odpadły z gry, więc właściwie zostało ci już tylko dwoje drzwi. Za jednymi z nich samochód na pewno jest. O pozostałych dwojgu drzwiach nic nie wiesz, żadnej dodatkowej wskazówki nie masz. Zatem prawdopodobieństwo wynosi oczywiście 50% dla obu drzwi.

Mniej więcej tak myśli spora część ludzi, więc nie przejmuj się, jeśli też tak pomyślałeś. To rozwiązanie jest jednak oczywiście błędne :-).

Poprawne rozwiązanie

Opłaca się zmienić wybór na te drzwi, których prowadzący nie odrzucił. Żeby to zrozumieć, rozpiszmy prawdopodobieństwa od początku. Kiedy wybierasz drzwi po raz pierwszy, prawdopodobieństwo, że akurat za nimi stoi samochód, wynosi 1/3. Nie mamy żadnej dodatkowej wskazówki, więc prawdopodobieństwo rozkłada się równomiernie, 1/3 na każde drzwi.

Jeśli więc wybierzesz drzwi B, masz szansę 1/3, że stoi za nimi samochód. Jednocześnie z prawdopodobieństwem 2/3 samochód znajduje się za drzwiami A albo C. Jest więc bardziej prawdopodobne, że samochód stoi za drzwiami, których nie wybraliśmy. To jest ważne.

W następnym kroku do gry wkracza prowadzący i otwiera jedne z drzwi, za którymi nie ma samochodu. Prowadzący otwiera drzwi A. Za drzwiami A samochodu więc nie ma. Co się stanie z tym prawdopodobieństwem 2/3? Wiemy, że prawdopodobieństwo, że samochód stoi za drzwiami A albo C, wynosi 2/3, a jednocześnie wiemy, że za drzwiami A go nie ma. Prawdopodobieństwo 2/3 przelewa się więc na drzwi C. Szansa, że samochód stoi za drzwiami C, wynosi 2/3.

Nasza szansa przy drzwiach B pozostaje jednak wciąż taka sama, w ogóle się nie zmieniła. Mamy więc szansę 1/3, że samochód stoi za wybranymi przez nas drzwiami B, i szansę 2/3, że stoi za drzwiami C, na które możemy zmienić wybór. Rozsądnie jest więc wybór zmienić.

Więcej drzwi

Zadanie można chyba lepiej zrozumieć, jeśli zwiększymy liczbę drzwi i zmodyfikujemy je tak: mamy dziesięć drzwi. Na początku uczestnik wybiera jedne drzwi, a prowadzący otwiera wszystkie drzwi oprócz tych, które wybraliśmy, i oprócz tych, za którymi stoi samochód. Zadanie jest praktycznie takie samo jak poprzednie, tylko tam, gdy prowadzący otwierał wszystkie drzwi, otwierał jedne, bo więcej otworzyć nie mógł.

Na początku wybierasz drzwi 1. Szansa, że stoi za nimi samochód, wynosi 1/10. Z prawdopodobieństwem 9/10 samochód stoi za innymi drzwiami. Potem prowadzący otwiera 8 drzwi, za którymi samochodu na pewno nie ma, i znowu zostaje ci tylko dwoje drzwi. Szansa, że samochód stoi za drzwiami, które zostawił ci prowadzący, wynosi 9/10, podczas gdy szansa, że stoi za drzwiami wybranymi przez ciebie, wciąż wynosi 1/10.