Königsberg’in Yedi Köprüsü

18. yüzyılda Königsberg şehrinde yaşayan insanlar uzun süre bir bilmeceyi çözmeye çalıştı: şehrin içinden Pregolya Nehri akar ve nehir iki ada oluşturur. Nehrin üzerinde, adalara giden toplam yedi köprü vardır. Bir pazar yürüyüşünde bütün köprülerden, hem de her birinden tam bir kez geçmek mümkün müdür? Köprülerin nehrin üzerinde nasıl durduğuna bakalım:

Yürüyüşümüze bir yerden başlayıp bütün köprülerden tam birer kez geçmemiz mümkün müdür? Deneyebiliriz; sol altta başlayalım, yukarı doğru ve sonra sırayla sağa doğru ilerleyelim, şöyle:

Yedi köprüden altısından geçtiğimizi, köprülerden birini atladığımızı görüyoruz. Başka bir yol deneyebiliriz…

Yine Königsberg’imizin yedi köprüsünden yalnızca altısından geçtik. Neredeyse tek bir yürüyüşte her köprüden tam bir kez geçmek mümkün değilmiş gibi görünüyor. Bir gün ünlü matematikçi Leonhard Euler bu probleme rastladı. Ünlü demek az kalır — Euler matematiğin tam bir efsanesiydi; hatta Euler sayısı onun adını taşır. Euler bu bilmeceyi çözmeye karar verdi. Önce, köprülerin gittiği ve geldiği adaları ya da şehir bölümlerini işaretledi:

Euler şimdi şöyle düşündü: bir adaya çift sayıda köprü gidiyorsa, nereden başlarsak başlayalım, bu köprülerin hepsinden tek bir yürüyüşte geçebiliriz. Kısacası, bir köprüyle adaya gelir, bir başkasıyla ayrılırız — geçilmesi gereken köprü sayısı iki azalmış olur. Bir köprüyle adaya gelip başka bir köprüyle ayrılabilmek için iki köprü gerekir. Adaya altı köprü gidiyorsa adayı üç kez ziyaret ederiz. Örneğin B adasına şöyle dört köprü gittiğini düşünelim:

Bu durumda nereden başlarsak başlayalım, tek bir pazar yürüyüşüyle bütün köprülerden geçebiliriz. Bir dene! Şekilde bir yolu işaretledim. Şimdi B adasına D adasından bir köprü daha gittiğini düşünelim:

Seçtiğimiz yolun bütün köprülerden tam birer kez geçmemize izin vermediğini görüyoruz. Köprülerden biriyle B adasına geri dönmemiz ve sonra D adasına geçmemiz gerekirdi. Ama başka bir yol seçebiliriz. Yürüyüşümüze B adasında başlayabiliriz ve sonra bütün köprülerden tam birer kez geçebiliriz:

Yürüyüşümüze B adasında başladık, yukarıya A kara parçasına gittik, sonra köprüyle B’ye geri döndük, C kara parçasına gittik, sonra yine B adasına döndük ve en sonunda D adasına geçtik. Yani tek sayıda köprüsü olan bir adada başlarsak, o adanın bütün köprülerinden tam birer kez geçebiliriz. Ya da tam tersini yapabiliriz — D adasında başlayıp B adasında bitirebiliriz.

Böylece Euler şunu fark etti: bütün köprülerden tam birer kez geçmenin mümkün olması için ya bütün adalarda çift sayıda köprü olmalı ya da tek sayıda köprüsü olan iki ada olabilir — tek sayıda köprüsü olan adalardan birinde başlayıp ötekinde bitiririz. Diğer bütün adalarda çift sayıda köprü olmalıdır. Königsberg’in asıl yedi köprüsüne bakarsak:

her adada tek sayıda köprü olduğunu görürüz! A adasında 3, B’de 5, C’de 3 ve D’de de 3 köprü vardır. Bu yüzden bilmecenin çözümü yoktur — bir pazar yürüyüşünde yedi köprünün hepsinden tam birer kez geçmek mümkün değildir. Köprülerden herhangi birini yıksaydık, bilmecenin birdenbire çözümü olurdu. Örneğin B ile C adaları arasındaki köprülerden birini yıkalım:

B adasının bir anda 4, C adasının ise 2 köprüsü olduğunu görüyoruz. A ve D adalarının köprü sayısı değişmedi. Birdenbire çift sayıda köprüsü olan iki adamız ve tek sayıda köprüsü olan iki adamız var. Yürüyüşümüze tek sayıda köprüsü olan adalardan birinde başlarsak bütün köprülerden tam birer kez geçebiliriz. Şekilde A adasında başladık ve D adasında bitirdik.

Leonhard Euler böylece ünlü bir matematik problemini daha çözdü ve aşağı yukarı bugün çizge kuramı dediğimiz alanın temellerini attı; onun onuruna da çizge kuramının dilinde, bütün kenarlarından tam birer kez geçilebilen çizgeye Euler çizgesi denir.