Çift Sayılar mı Daha Çok, Tek Sayılar mı?
Sence hangisinden daha çok var: çift sayılardan mı, tek sayılardan mı? Yoksa sayıları eşit mi? Bunu nasıl değerlendirebiliriz? Peki diğer sayılar? Çift sayılar mı daha çok, pozitif tam sayılar mı? Pozitif tam sayılar mı daha çok, rasyonel sayılar mı? İş hiç de kolay değil, çünkü bahsettiğimiz sayıların hepsinden sonsuz tane var. Yine de hangi sayıların daha çok, hangilerinin daha az olduğunu karşılaştırıp bulabiliriz.
Küçük bir sayı kümesi üzerinde göstermeye çalışalım. İki sayı kümesi düşünelim: mavi sayılar ve kırmızı sayılar:
Hangi sayıların daha çok olduğunu söyleyebilir miyiz? Kırmızıların mı, mavilerin mi? Açıkça görüyoruz ki… Ne? Renk körüsün de bunu açıkça göremiyor musun? Peki, bundan sonra kırmızı sayıları ayrıca kare olarak göstereceğiz:
Güzel, şimdi mavi sayıların kırmızılardan daha çok olduğunu açıkça görebiliriz. Bu kolaydı, çünkü sonlu sayı kümeleriyle çalışıyoruz ve onları sayabiliyoruz. Altı mavi sayımız, yalnızca üç kırmızı sayımız var. Sonsuz kümeler bu kadar kolay olmayacak, çünkü onları sayamayız. O hâlde başlıktaki soruyu yanıtlayalım: Çift sayılar mı daha çok, tek sayılar mı? Kolaylık olsun diye pozitif sayılarla devam edelim. Tüm tek sayılarla dolu bir torba ve tüm çift sayılarla dolu bir torba hayal et. Hangi torba daha büyük?
Sonsuz sayıda sayıyı hayal etmek pek kolay değil, onları saymak ise daha da zor. Kümelerin büyüklüklerini karşılaştırmanın başka bir yolu yok mu?
İki Sonlu Kümeyi Karşılaştırmak
Damatlarla dolu bir torba ve gelinlerle dolu bir torba olduğunu düşün. Her damat için bir gelin, her gelin için de bir damat varsa, damat ve gelin sayısının eşit olduğunu söyleyebiliriz:
👰 👰 👰 👰 👰 👰
🤵 🤵 🤵 🤵 🤵 🤵
Görüyor musun? Birinci satırdaki her gelinin ikinci satırda kendi eşi var, tersi de doğru – her damadın kendi eşi var. Ama başka bir durum da olabilirdi: her gelinin bir damadı olur, ama her damadın bir gelini olmaz:
👰 👰 👰 👰 👰 ❌
🤵 🤵 🤵 🤵 🤵 🤵
Her gelinin bir eşi var, ama bir damat gelinsiz kalıp üzgün üzgün evde kalıyor. Bu durumda bir damat fazla olduğuna göre, gelinlerden daha çok damat olduğunu söyleyebiliriz. Benzer şekilde bir gelin artarsa
👰 👰 👰 👰 👰 👰
🤵 🤵 🤵 🤵 🤵 ❌
bu kez damatlardan daha çok gelin olduğunu söyleyebiliriz.
İki Sonsuz Kümeyi Karşılaştırmak
Bu yöntemi iki sonsuz kümeyi karşılaştırırken de kullanabilir miyiz? Her tek sayıyı bir çift sayıyla, her çift sayıyı da bir tek sayıyla eşleştirebilir miyiz; üstelik hiçbir sayıyı birden fazla kez kullanmadan? Evet, yapabiliriz! Her n tek sayısını n + 1 çift sayısıyla eşleştirebiliriz. Yani 5 sayısını 5 + 1 ile, 149 sayısını 150 ile eşleştiririz, vb. Eşleştirmeyi aşağıdaki animasyon gösteriyor:
Her tek (kırmızı) sayıya karşılık gelen benzersiz bir çift (mavi) sayı var, her çift (mavi) sayıya da karşılık gelen benzersiz bir tek (kırmızı) sayı var. Yani tüm tek sayıları tüm çift sayılarla eşleştirmeyi başardık. Bu da çift ve tek sayıların aynı miktarda olduğu anlamına geliyor!
Pekâlâ, bu pek şaşırtıcı değildi, değil mi? Başka sayı kümelerini karşılaştıralım: tüm pozitif tam sayılar ve çift sayılar. Burada sonuç daha da şaşırtıcı olacak.
Pozitif Tam Sayılar mı Daha Çok, Çift Sayılar mı?
Hangi sayılar daha çok? Pozitif tam sayılar mı, çift sayılar mı?
Pozitif tam sayıların aynı zamanda tüm çift sayıları içerdiğini görebiliriz. Üstelik pozitif tam sayılar fazladan birtakım sayılar daha içerir – tek sayıları. O hâlde pozitif tam sayıların daha çok olması gerektiği açık – sonuçta iki kat daha fazla sayı içeriyorlar!
Keşke hayat bu kadar basit olsaydı!
Bizi, bir sayı kümesinin fazladan sayı içerip içermediği ilgilendirmiyor. Bizi, iki farklı kümedeki sayıları bir şekilde eşleştirip eşleştiremeyeceğimiz ilgilendiriyor. Her çift sayıyı her pozitif tam sayıyla eşleştirebilir miyiz? Pozitif tam sayılar daha çok olsa bile mi? Evet, yapabiliriz.
Her p pozitif tam sayısını 2 · p çift sayısıyla kolayca eşleştirebiliriz, tersine her n çift sayısını da n / 2 pozitif tam sayısıyla. Yani 5 pozitif tam sayısını 10 çift sayısıyla, 14 çift sayısını da 7 pozitif tam sayısıyla eşleştiririz, vb. İlk birkaç sayının eşleşmesini aşağıdaki animasyon gösteriyor:
Birden her pozitif tam sayı için benzersiz bir çift sayımız, her çift sayı için de benzersiz bir pozitif tam sayımız oldu! Pozitif tam sayıların daha çok olması neyi değiştirir ki? İki kümede de sonsuz sayıda sayı var ve hiçbir zaman bitmezler. Bizim açımızdan çift sayılar kümesi, pozitif tam sayılar kümesi kadar büyük! 😱
Biraz sezgilere aykırı, ama durum bu.
Pozitif Tam Sayılar mı Daha Çok, Rasyonel Sayılar mı?
Rasyonel sayılar kesirlerdir. p ve q tam sayı, q ≠ 0 olmak üzere p/q biçiminde yazılabilen tüm sayılar rasyonel sayıdır. Örneğin ½, ¾ ya da 8 rasyonel sayıdır, ama π artık rasyonel sayı değildir. Rasyonel sayılar pozitif tam sayılardan çok daha fazladır. Örneğin 2 ile 4 arasında yalnızca bir tam sayı vardır, o da 3’tür, ama sonsuz sayıda rasyonel sayı vardır. 0,001 ile 0,002 arasında bile sonsuz sayıda rasyonel sayı var. İşte rasyonel sayılar bu kadar çok!
Bu yüzden rasyonel sayılar kümesinin pozitif tam sayılar kümesinden büyük olması gerektiğini bekleriz. Ama aynı zamanda hepimiz işin içinde bir bit yeniği olduğunu sezeriz. Pekâlâ, rasyonel sayıları pozitif tam sayılarla eşleştirmeyi deneyelim. Önce rasyonel sayıları şöyle bir tabloya yazalım:
Örüntü açık olmalı: ilk satırdaki tüm kesirlerin payında (kesir çizgisinin üstünde) bir, paydasında ise sırayla artan 1, 2, 3 vb. sayıları var. Sütunda ise tersi geçerli. Sonsuza kadar devam etseydik, bu tabloda var olan tüm kesirler olurdu. Örneğin 1478/517 kesri 1478. satırda ve 517. sütunda yer alır. Şimdi eşleştirme fonksiyonumuzu oluşturalım. Şöyle yapabiliriz:
- 1 pozitif tam sayısını ilk satırdaki ilk kesirle, yani 1/1 ile eşleştiririz
- 2 pozitif tam sayısını ilk satırdaki ikinci kesirle, yani 1/2 ile eşleştiririz
- 3 pozitif tam sayısını ilk satırdaki üçüncü kesirle, yani 1/3 ile eşleştiririz
- 4 pozitif tam sayısını ilk satırdaki dördüncü kesirle, yani 1/4 ile eşleştiririz
- …
Bunu yaparak tüm pozitif tam sayıları eşleştirebildik mi? Evet. Her pozitif tam sayının bir karşılığı var. 174 sayısının karşılığı 1/174 kesri. Peki bu tersi için de geçerli mi? Her kesrin pozitif tam sayılar arasında bir karşılığı var mı? 2/3 kesrinin karşılığı nedir? Hiçbir karşılığı yok, çünkü eşleştirme fonksiyonumuzla hiçbir zaman ikinci satıra ulaşamadık. Yalnızca ilk satırdaki kesirleri eşleştirebildik.
Bu, rasyonel sayıların pozitif tam sayılardan daha çok olduğu anlamına mı geliyor? Maalesef hayır – bir eşleştirme stratejisinin işe yaramaması, bir başkasının da yaramayacağı anlamına gelmez. Bu kez köşegenler boyunca ilerleyelim:
- 1 pozitif tam sayısını 1/1 kesriyle eşleştiririz (birinci köşegen),
- 2 pozitif tam sayısını 1/2 kesriyle eşleştiririz (ikinci köşegen),
- 3 pozitif tam sayısını 2/1 kesriyle eşleştiririz (ikinci köşegen),
- 4 pozitif tam sayısını 1/3 kesriyle eşleştiririz (üçüncü köşegen),
- 5 pozitif tam sayısını 2/2 kesriyle eşleştiririz (üçüncü köşegen),
- 6 pozitif tam sayısını 3/1 kesriyle eşleştiririz (üçüncü köşegen),
- vb.
Bu eşleştirme stratejisini animasyonda görebilirsin:
Bu şekilde tüm kesirleri kapsayabiliriz. Hiçbir köşegen sonsuz değil, bu yüzden hiçbir köşegende “sonsuza dek” takılıp kalmayız. Sonunda her kesre bir pozitif tam sayı atanır ve elbette her pozitif tam sayıya da benzersiz bir kesir atanır.
Aslında… pek de öyle değil. Kesirlerin bulunduğu tabloya yeniden baktığımızda, birçok sayının tekrar ettiğini görürüz. Örneğin 1/1, 2/2, 3/3 vb. kesirleri aynı sayıyı – 1 sayısını – temsil eder. Aynı şekilde 1/2, 2/4 ve 3/6 kesirleri aynı sayıyı, yani yarıyı temsil eder. Aslında 1, 5, 13 vb. pozitif tam sayılarını aynı rasyonel sayıyla, yani 1 ile eşleştiriyoruz! Aynı gelinle evlenen birkaç damadımız var. Bu olmaz!
Neyse ki bunu kolayca düzeltebiliriz. Tablomuzdan en sade biçimde olmayan tüm kesirleri, yani sadeleştirilebilen tüm kesirleri silmemiz yeter. Bu silme işleminden sonra tabloda yalnızca benzersiz rasyonel sayılar kalır ve köşegen hilemiz işe yarar. Her pozitif tam sayı benzersiz bir rasyonel sayıyla, her rasyonel sayı da benzersiz bir pozitif tam sayıyla eşleşir.
Bu da pozitif tam sayılar kümesinin rasyonel sayılar kümesi kadar büyük olduğu anlamına gelir!
Şimdilik tüm sonsuz kümeler aynı büyüklükteymiş gibi görünüyor. Pozitif tam sayılar kümesinden daha büyük bir sonsuz küme var mı?
Pozitif Tam Sayılar mı Daha Çok, Gerçek Sayılar mı?
Oyuna son kurtarıcımız giriyor: gerçek sayılar. Sayı doğrusunda başka sayı kalmadı. Gerçek sayılar nasıl görünür? Gerçek sayılar tüm rasyonel sayıları ve bunlara ek olarak tüm irrasyonel sayıları içerir. Bir sayıyı ondalık yazımla yazarsak, rasyonel sayının:
- ya sonlu bir ondalık açılımı vardır, örneğin 0,4841554,
- ya da sonsuz devirli bir açılımı vardır: 0,1313131313…
İrrasyonel sayıların ise ondalık açılımı her zaman sonsuzdur ve aynı zamanda devirli değildir. İrrasyonel sayıya örnek π sayısıdır; 3,141592653… değerine eşittir (devir yok). Şimdiden söyleyelim: gerçek sayılar rasyonel sayılardan, dolayısıyla pozitif tam sayılardan da çok daha fazladır. Gerçek sayılar kümesi pozitif tam sayılar kümesinden daha büyüktür. Bunu nasıl kanıtlarız?
Diyelim ki tüm pozitif tam sayıları ve tüm gerçek sayıları eşleştirmenin bir yolunu bulduk. Örneğin şu olsun:
1 → 0,3452807674449021… 2 → 0,8978319745321683… 3 → 0,8972169570849831… 4 → 0,0635759905832629… 5 → 0,0081863365749335… 6 → 0,4000559394278442… 7 → 0,8637537627594889… …
Solda tüm pozitif tam sayıların, sağda tüm gerçek sayıların olduğunu varsayalım. Bu doğru olsaydı, sağ tarafta eksik olan hiçbir gerçek sayı bulamazdık. Gerçek sayılar kümesinin daha büyük olduğunu baştan söylediğimize göre, sağ tarafta bir sayı eksik demektir. Peki hangisi? Mesela 0,4818063607183678 sayısının eksik olduğunu görüyoruz. Ama ya tam da 8 numarada saklanıyorsa?
1 → 0,3452807674449021… 2 → 0,8978319745321683… 3 → 0,8972169570849831… 4 → 0,0635759905832629… 5 → 0,0081863365749335… 6 → 0,4000559394278442… 7 → 0,8637537627594889… 8 → 0,4818063607183678 …
Peki ya 0,4208424736008147 sayısı? Onu da görmüyoruz. Ama ya tam da dokuz numarada saklanıyorsa?
1 → 0,3452807674449021… 2 → 0,8978319745321683… 3 → 0,8972169570849831… 4 → 0,0635759905832629… 5 → 0,0081863365749335… 6 → 0,4000559394278442… 7 → 0,8637537627594889… 8 → 0,4818063607183678 9 → 0,4208424736008147 …
Böyle olmaz. Tüm çiftleri yazamayız, çünkü sonsuz tane var; bu yüzden bu sayının tabloda olup olmadığını öylesine tahmin edemeyiz. Sağdaki tüm sayılardan farklı olan bir sayı bulmamız gerekir, üstelik sağda hangi sayıların olduğunu bilmeden. Bunu nasıl yaparız?
İki sayının farklı olması için tek bir rakamda farklı olmaları yeter. Örneğin 0,123456 ile 0,123457 sayıları aynı değildir – ama yalnızca tek rakamda ayrılırlar. Bu bize yeter. Böylece tablomuzda her seferinde n. gerçek sayının virgülden sonraki n. rakamını vurgulayabiliriz:
1 → 0,3452807674449021… 2 → 0,8978319745321683… 3 → 0,8972169570849831… 4 → 0,0635759905832629… 5 → 0,0081863365749335… 6 → 0,4000559394278442… 7 → 0,8637537627594889… 8 → 0,4818063607183678 9 → 0,4208424736008147 …
ve yeni sayıyı, virgülden sonraki n. rakamı n. gerçek sayının n. rakamından farklı olacak şekilde oluşturalım. Yeni sayıyı sıfırla başlayarak kurarız: 0,??? ve virgülden sonraki ilk rakamı, birinci gerçek sayının ilk rakamından, yani üçten farklı olacak şekilde seçeriz. Mesela 0,1??? yazarız. İkinci rakam, ikinci gerçek sayının ikinci rakamından, yani 9’dan farklı olmalıdır. Mesela iki yazarız: 0,12???. Böyle devam ederiz. İlk dokuz rakam böylece şöyle olabilir: 0,123123127 (tablonun son satırına bak):
1 → 0,3452807674449021… 2 → 0,8978319745321683… 3 → 0,8972169570849831… 4 → 0,0635759905832629… 5 → 0,0081863365749335… 6 → 0,4000559394278442… 7 → 0,8637537627594889… 8 → 0,4818063607183678 9 → 0,4208424736008147 ? → 0,123123127
Bu sayının tüm sayılardan farklı olduğunu görüyoruz, çünkü her sayıdan en az bir rakamda ayrılıyor. Tablomuz sonsuz sayıda sayı içerse de, yeni sayımız sonsuz sayıda rakamdan öyle oluşuyor ki tablodaki her sayıdan en az bir rakamda farklı. Ayrıca tabloda olmayan sonsuz sayıda sayı kurabileceğimize dikkat et! Bundan ne çıkar? Pozitif tam sayıları gerçek sayılarla eşleştiremeyiz. Her zaman hiçbir pozitif tam sayıyla eşleşmeyen sonsuz sayıda gerçek sayı kalır. Gerçek sayılar pozitif tam sayılardan çok daha fazladır.
Son Notlar
- Makalenin tamamında kolaylık olsun diye negatif sayıları görmezden geldik. Bu elbette hiçbir şeyi değiştirmez; ev ödevi olarak burada anılan eşleştirme stratejilerini negatif sayılarla da çalışacak şekilde uyarlayabilirsin.
- Pozitif tam sayılar kümesinin büyüklüğünün bir adı bile var. Ona alef sıfır deriz.
- Matematikte “kümenin büyüklüğü” yerine sıklıkla kardinalite terimini kullanırız.
