Trachtenberg Yöntemiyle Hızlı Toplama
Trachtenberg toplama yöntemi, birkaç sayıyı hızlıca toplamanın ve sonra başka bir yolla doğru hesaplayıp hesaplamadığımızı kontrol etmenin bir yoludur. Yöntemi Rus matematikçi Yakov Trachtenberg bulmuştur. Yöntemi bir örnekle gösterelim. Şu üç sayıyı toplamaya çalışalım:
Önce sayıları şöyle alt alta yazalım:
Şimdi sütunları sağdan başlayarak toplayalım. Toplamın 11’e eşit ya da 11’den büyük olup olmadığına bakacağız. İlk adımda son sütunu toplarız, yani 1 + 5 + 2 = 8 bulunur. Bu sonuç 11’den küçük olduğu için sayıyı olduğu gibi çizginin altına yazarız:
İkinci adımda sağdan ikinci sütunu toplarız, yani 5 + 7 + 6 = 18. Trachtenberg yöntemine göre toplam 11’e eşit ya da 11’den büyük olduğunda toplamdan 11 çıkarırız ve bunu kaç kez yaptığımızı aklımızda tutarız. 18, 11’den büyük olduğu için 18 − 11 = 7 işlemini yaparız. 7’yi çizginin altına yazarız. 11’i bir kez çıkardığımız için bunu bir alt satıra not ederiz:
En sağdaki önceki sütuna dönersek toplamın 8 olduğunu, yani 11’i hiç çıkarmamız gerekmediğini görürüz. O hâlde tabloya sıfırı da ekleyelim:
Sağdan üçüncü sütunla devam edelim ve 5 + 3 + 2 = 10 işlemini yapalım. 10’dan çekinmeyelim, bu sayı 11’den küçüktür; onu çizginin altına yazarız ve 11 çıkarmamız gerekmediği için altına da 0 yazarız:
Şimdi sağdan dördüncü, yani ilk sütunu toplayalım. 9 + 7 = 16 olur ve bu zaten 11’den büyüktür. O hâlde 16 − 11 = 5 işlemini yaparız, 11’i daha önce bir kez çıkardığımızı aklımızda tutarız ve 5 ile devam ederiz. 5’i üçüncü satırdaki sayıyla toplarız, yani 5 + 9 = 14 hesaplarız. 14 de 11’den büyük olduğu için 14 − 11 = 3 yaparız. Bu sonucu, 11’i bu kez iki kez çıkarmak zorunda kaldığımız bilgisiyle birlikte çizginin altına yazarız:
Çizginin altındaki sonucun başına iki sıfırlı bir sütun daha ekleyelim; birazdan işimize yarayacak:
Trachtenberg Yönteminde Sonuç Nasıl Bulunur
Bir yatay çizgi daha çizeriz ve iki ara sonuç satırını toplarız. İlk olarak 8 + 0 = 8 işlemini yaparız ve sonucu çizginin altına yazarız:
Bundan sonra daha karmaşık ilerlememiz gerekir; sayıları “L” harfi biçiminde toplarız. Sondan bir önceki sütundaki iki sayıyı toplar ve onlara az önce topladığımız sütundaki ikinci sayıyı ekleriz; yani 7 + 1 + 0 = 8 bulunur:
Sonra 10 + 0 + 1 = 11 işlemini yaparız. Şimdi alışılmış toplama gibi ilerleriz: yalnızca son rakamı, yani 1’i yazarız, onluk ise bir sonraki adıma taşınır.
Bir sonraki adımda 3 + 2 + 0 + 1 = 6 işlemini yaparız; sondaki 1, önceki adımda taşınan 1’dir (yani taşınan her onluk için buraya bir ekleriz).
Şimdi de iki sıfırlı küçük sütunu kullanma zamanı geldi — o sütun yalnızca son toplamı, 0 + 0 + 2 = 2 işlemini yapmayı unutmayalım diye oradadır.
Trachtenberg yöntemiyle bulduğumuz sonuç budur. Yani
Ara Sonuçların Kontrolü
Trachtenberg yönteminin bir avantajı, bütün hesabı baştan yapmadan doğru hesaplayıp hesaplamadığımızı oldukça kolay kontrol edebilmemizdir. Trachtenberg, hem ara sonuçları hem de son sonucu tamamen başka bir yolla kontrol etmenin bir yolunu bulmuştur. Yani toplamı Trachtenberg yöntemiyle hesaplayıp aynı zamanda kontrolü de yaparsan, doğru hesapladığından oldukça emin olabilirsin. Hadi sonucumuzun doğru olduğunu kontrol edelim.
Bütün hesabımızı üç parçaya ayırabiliriz. Elimizde toplananlar, ara sonuçlar ve sonuç var:
İlk aşamada ara sonuçları doğru hesaplayıp hesaplamadığımızı kontrol ederiz. Bunun için sütunların rakamlarının tekrarlı toplamını (dijital kökünü) bulmamız gerekir. Bir sayının dijital kökünü, o sayının bütün rakamlarını toplayarak buluruz. Örneğin 456 sayısının dijital kökünü bulmak için 4 + 5 + 6 = 15 hesaplarız. Sonuç 9’dan büyükse rakamları bir kez daha toplarız, yani 1 + 5 = 6 hesaplarız. Demek ki 456 sayısının dijital kökü 6’dır.
Şimdi toplananlara dönelim ve son sütunun dijital kökünü, yani 152 sayısının dijital kökünü bulalım: 1 + 5 + 2 = 8.
Sonra sondan bir önceki sütunun, yani 576 sayısının dijital kökünü hesaplayalım; 5 + 7 + 6 = 18 ve sonra 1 + 8 = 9 bulunur.
Sağdan üçüncü sütun için 5 + 3 + 2 = 10 bulunur; sayı iki basamaklı olduğu için 1 + 0 = 1 elde ederiz:
İlk sütun için de 9 + 7 + 9 = 25 ve sonra 2 + 5 = 7 elde ederiz:
Dijital kökler birlikte şu sayıyı verir: 7198. Şimdi ara sonuçlara bakalım:
İkinci satırı kopyalayıp en sona ekleriz; yani ikinci satır orada iki kez bulunur:
Şimdi toplananlarda yaptığımızın aynısını yaparız. Her sütundan bir sayı oluştururuz ve onun dijital kökünü hesaplarız. Yine sondan başlayabiliriz; 8 + 0 + 0 = 8 buluruz, sonraki sütun 7 + 1 + 1 = 9 verir, sonraki 10 + 0 + 0 = 10 ve sonra 1 + 0 = 1, en sonunda da 3 + 2 + 2 = 7 olur:
Bu noktada dijital köklerin sonuçlarını karşılaştırırız. Toplananların dijital kökleri 7198 sayısını verdi, ara sonuçlarınki de aynı çıktı — yani doğru hesapladık. Bu sonuçlar farklı çıksaydı, bir yerde hata yaptığımız anlaşılırdı. Ya kontrol sırasında ya da toplamanın kendisinde.
Sonucun Kontrolü
Sonucu doğru hesaplayıp hesaplamadığımızı kontrol etmek artık kolaydır. Sonucun dijital kökünü ve dijital köklerimizin dijital kökünü hesaplarız; ikisinin aynı çıkması gerekir. Yani sonucumuzu 26.188 alalım ve dijital kökünü hesaplayalım:
Şimdi hesapladığımız dijital köklerin dijital kökünü, yani 7198 sayısının dijital kökünü bulalım:
İki dijital kökün de 7’ye eşit olduğunu görüyoruz; demek ki kontrol başarılı geçti ve doğru hesapladık!
