Euler Sayısı Nereden Geldi

Euler sayısı, Pi sayısı π ile birlikte en ünlü matematik sabitlerinden biridir. Bu sayıya nasıl ulaştığımıza ve ne anlama geldiğine bakalım.

On yedinci yüzyılda İsviçreli matematikçi Jacob Bernoulli bileşik faiz ile ilgileniyordu. Bankaya 1 TL yatırdığımızı ve bankanın bize yıllık %100 faiz önerdiğini düşünelim. Bir banka için bu düpedüz çılgınlık ama matematiğin iyiliği için neler yapmaz ki. Bir yıl sonra hesabımızda tam olarak ne kadar para olur? Elbette 2 TL.

Peki banka bize altı ayda bir işleyen %50 faiz önerseydi durum nasıl değişirdi? Bu bizim için daha avantajlı mı olurdu, daha az mı?

İlk altı ayın sonunda paramız yarısı kadar artar. “Yarısı kadar fazla” ifadesini matematikte $x\cdot (1+\frac{1}{2})$ diye yazarız. x yerine yatırdığımız parayı, yani 1 TL’yi yazıp hesaplarız:

$$1\cdot (1+\frac{1}{2})=1,5$$

Altı ay sonra hesabımızda 1,5 TL olur. İkinci altı ayın sonunda yine yarısı kadar artış olur. Aynı formülü kullanırız, yalnızca x yerine yeni bakiyemizi, yani 1,5 değerini yazarız:

$$1,5\cdot (1+\frac{1}{2})=2,25$$

Böylece bir yıl sonra hesabımızda 2,25 TL olur. Demek ki daha düşük faizin daha sık işletilmesi bizim için avantajlı.

Aylık Faiz İşletme

Banka bize her ay faiz işletse ama faiz ilk faizin on ikide birine düşse ne olurdu? Off, bu biraz hesap gerektiriyor. İlk aydan sonra bakiyemiz ne olur? “On ikide bir fazla” paramız olacak; bunu $x\cdot (1+\frac{1}{12})$ diye yazarız. İlk aydan sonra şu kadar paramız olur:

$$1\cdot (1+\frac{1}{12})=\mathrm{1,083}3333\dots$$

İkinci aydan sonra:

$$\mathrm{1,083}3333\cdot (1+\frac{1}{12})=\mathrm{1,173}61111\dots$$

Ama şuna dikkat et: 1,0833333 sayısı yerine $1\cdot (1+\frac{1}{12})$ yazabiliriz, çünkü bu sayıların eşit olduğunu biliyoruz:

$$1\cdot (1+\frac{1}{12})\cdot (1+\frac{1}{12})=\mathrm{1,173}61111\dots$$

Üçüncü aydan sonra hesabımızda şu kadar para olur:

$$1\cdot (1+\frac{1}{12})\cdot (1+\frac{1}{12})\cdot (1+\frac{1}{12})=\mathrm{1,271}41203$$

Gördüğün gibi hesabımızda belli bir örüntü var. Parantez içindeki ifade, o anda hesapladığımız ay sayısı kadar tekrar ediyor. Aynı üç parantezi art arda yazmak yerine parantezi yalnızca bir kez yazıp üssünü 3 yaparak önceki ifadeyi sadeleştirebiliriz:

$$1\cdot {(1+\frac{1}{12})}^3=\mathrm{1,271}41203$$

Baştaki 1 ile çarpma da gereksiz, onu da kaldıralım:

$${(1+\frac{1}{12})}^3=\mathrm{1,271}41203$$

Şimdi on iki ay sonraki bakiyeyi hesaplamak istersek üste 3 yerine 12 yazmamız yeter:

$${(1+\frac{1}{12})}^{12}=\mathrm{2,613}0352$$

On iki ay sonra hesabımızda yaklaşık 2,6130352 TL olur. Fena değil! Üstelik yıllık %100 faizle elde ettiğimizden çok daha iyi.

Sürekli Bileşik Faiz

Aylarda durmak zorunda değiliz. Her hafta, ilk faizin $\frac{1}{52}$’si kadar faiz işletsek ne kadar paramız olurdu? Formülü zaten bildiğimiz için değerleri yerine yazmamız yeter:

$${(1+\frac{1}{52})}^{52}=\mathrm{2,692}5969$$

Günlük faiz?

$${(1+\frac{1}{365})}^{365}=\mathrm{2,714}5674$$

Saatlik faiz? (Yılda 8.760 saat vardır.)

$${(1+\frac{1}{8760})}^{8760}=\mathrm{2,718}126$$

Daha düşük bir faizi daha sık işlettiğimizde sonunda hesabımızda her seferinde biraz daha fazla para olduğunu görüyoruz. Ama artışlar artık o kadar büyük değil. Bu işi sonsuza kadar sürdürebiliriz. Hatta fena fikir değil — her dakika, her saniye, her milisaniye, her nanosaniye faiz işletebiliriz… ta ki sürekli faiz işletir hâle gelene kadar. Her an bakiyeye işleyen sürekli ve küçücük bir faizimiz olurdu. Böyle bir durumda bir yıl sonra hesabımızda ne kadar para olurdu?

Euler Sayısına Dönüş

Jacob Bernoulli’nin hesaplamaya çalıştığı soru işte bu. Ne yazık ki başaramadı; bunu ancak 18. yüzyılda ünlü matematikçi Leonhard Euler başardı. Euler, bir yıl sonra hesabımızda şu kadar liramız olacağını hesapladı:

$$\mathrm{2,718}28182845904523536028747135\dots$$

Saatlik faiz işlettiğimiz duruma göre pek de fazla olmadığını görüyorsun. Bu bakiyenin, yani bu sayının matematiğin çeşitli alanlarında çok önemli olduğu anlaşıldığı için bugün hâlâ Euler sayısı diye anılır ve e harfiyle gösterilir. Euler sayısı bir irrasyonel sayıdır; yani ondalık açılımı sonsuz ve devirsizdir. Tıpkı π sayısı gibi. Bu yüzden onu hiçbir zaman tamamen göremezsin. Yine de Euler sayısını fonksiyonun limiti yardımıyla tam olarak tanımlayabiliriz:

$$e=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{n})}^n$$

Kaynaklar ve Bağlantılar

• İngilizce Numberphile kanalının Euler sayısı hakkındaki mükemmel bölümü.
• Konut kredisinin faizi nasıl hesaplanır