1 + 2 + 5 · 0 Kaç Eder? Çarpmanın Önceliği Üzerine

Sosyal medyada sık sık buna benzer bir bulmaca dolaşır. Bu ifade hangi sayıya eşittir?

$1 + 2 + 5 \cdot 0 = ?$

Gel birlikte hesaplayalım:

Bir artı iki eşittir üç.
Üç artı beş eşittir sekiz.
Son olarak sekiz çarpı sıfır eşittir sıfır.

Benimle birlikte böyle mi hesapladın? Maalesef ikimiz de yanlış hesapladık ‼️‼️‼️ Çünkü okuldan bildiğimiz klasik kuralı unuttuk: çarpma işlemi toplamadan önce yapılır. Bu ne demek?

Bir ifadede hem toplama hem de çarpma varsa önce çarpılabilecek her şeyi çarparız, ancak ondan sonra toplamaya döneriz. Bizim örneğimizde bu, önce 5 · 0 işlemini yapacağımız ve ifadedeki geri kalan her şeyi görmezden geleceğimiz anlamına gelir. Beş çarpı sıfır sıfırdır. Bu sıfırı ifadeye geri yazarız:

$1 + 2 + 5 \cdot 0 = 1 + 2 + 0$

Artık yalnızca toplama içeren bir ifademiz var. Orada iş kolay, 1 + 2 + 0 üçe eşittir. Yani

$1 + 2 + 5 \cdot 0 = 3$

Başka bir örnek. Bu ifade neye eşittir?

$1 + 2 \cdot 3 + 4 = ?$

Yine aynı kural geçerli: önce çarpmayı yaparız, toplamaya şimdilik dokunmayız. Önce 2 · 3 işlemini yaparız, sonucu 6’dır:

$1 + 2 \cdot 3 + 4 = 1 + 6 + 4$

Artık ifadede yalnızca toplama kaldı, bu kolay:

$1 + 6 + 4 = 11$

Hesap Makinesinde Neden Farklı Çıkar?

Aynı örnekleri hesap makinesinde denersen, ilk hesapladığımızda 1 + 2 + 5 · 0 için bulduğumuz yanlış sonucun aynısı çıkabilir. Bu nasıl mümkün? Temelde iki olasılık var: ya hesap makinesi işlem önceliğini bilmiyordur ya da hesap sırasında eşittir tuşuna basıyorsundur. Hesap makinesinde tuşlara şöyle basarsan:

[1] [artı] [2] [eşittir] -> hesap makinesi 3 gösterir,
[artı] [5] [eşittir] -> hesap makinesi 8 gösterir,
[çarpı] [0] [eşittir] -> hesap makinesi 0 gösterir.

O zaman aslında yukarıda verilen örneği hesaplamamış olursun; çünkü “eşittir” tuşuna bastığın için tek bir ifade yerine birbiriyle ilgisiz üç farklı ifade hesaplamış olursun. Son adımda hesap makinesi “sekiz çarpı sıfır” ifadesini hesaplar, bu da sıfırdır; hesap makinesi sana bunu doğru gösterir. Hesap makinesi o anda, öncesinde öncelikli bir çarpma olduğunu bilmez.

“Eşittir” tuşuna basmadan, örneği baştan sona

[1] [artı] [2] [artı] [5] [çarpı] [0]

şeklinde girdiysen ve hesap makinesi yine de sıfır gösteriyorsa, hesap makinen işlem önceliğini bilmiyor demektir; bu gayet mümkündür. Bu durumda hesabı Google’da kontrol edebilirsin, çünkü arama yapmanın yanında hesaplamayı da iyi yapar:

Google’da 1 + 2 + 5 · 0
WolframAlpha’da 1 + 2 + 5 · 0 (WolframAlpha, her türlü örneği hesaplayan bilinen bir çevrimiçi araçtır; denklemleri, türevleri, integralleri çözebilirsin…)

İşlem Önceliğini Değiştirmek: Parantezler

İşlem önceliğini değiştirmek istersek parantez kullanabiliriz. Elimizde

$1 + 2 \cdot 5$

ifadesi olsun ve önce 1 + 2 işlemini yapıp sonucu beşle çarpmak isteyelim. Bunun için parantezleri şöyle kullanabiliriz:

$(1 + 2) \cdot 5$

Parantez içindeki ifadeler olağan işlem önceliğinin önüne geçer. Dolayısıyla önce 1 + 2 işlemini hesaplar, çarpmayı olduğu gibi bırakırız. Şunu elde ederiz:

$(1 + 2) \cdot 5 = 3 \cdot 5$

bu da on beşe eşittir. Yani

$(1 + 2) \cdot 5 = 15.$

Peki Ya Bölme ve Çıkarma?

Çıkarma toplamayla, bölme de çarpmayla aynı durumdadır. Yani çarpma ve bölme, toplama ve çıkarmadan önce yapılır. Çarpma ile bölmenin kendi aralarında önceliği aynıdır; toplama ile çıkarmanın da öyle.

Örnek olarak şu ifadeye bakalım

$1 + 2 \cdot 3 - 8 : 4$

Bu ifade, işlem önceliği değişmeyecek biçimde parantezler eklenmiş şu ifadeyle aynıdır:

$1 + (2 \cdot 3) - (8 : 4)$

Dolayısıyla

$1 + (2 \cdot 3) - (8 : 4) = 1 + 6 - 2$

bu da şuna eşittir:

$1 + 6 - 2 = 5.$

Çarpma ve bölme art arda gelirse, bunları karşımıza çıktıkları sırayla soldan sağa hesaplarız:

$6 \cdot 4 : 8$

Önce 6 · 4 işlemini hesaplarız, sonucu 24’tür. Bölmeye şimdilik dokunmayız:

$6 \cdot 4 : 8 = 24 : 8$

Artık geriye yalnızca 24’ü 8’e bölmek kalıyor:

$24 : 8 = 3.$

Çarpma Neden Toplamadan Önce Yapılır

“Çarpma neden toplamadan önce yapılıyor?” diye sorabilirsin. Bu iyi bir soru! Arkasında matematikçilerin öyle olsun diye yaptığı bir anlaşmadan başka bir şey yoktur denebilir. Çarpmanın öncelikli olması gerektiğini gösteren bir kural yoktur. Toplamanın önceliği çarpmadan yüksek olsaydı bütün matematik yine aynı şekilde sorunsuz işlerdi. Ya da ikisinin önceliği aynı olsaydı ve hesap makinesinde tuşlara basarken yaptığımız gibi hep soldan sağa gitseydik de olurdu.

Öte yandan toplamanın önceliği olsaydı daha fazla paranteze ihtiyacımız olurdu. Bunu biraz daha karmaşık bir ikinci dereceden fonksiyon ifadesinde gösterelim:

$3 x^{2} + 4 x + 5$

Günümüz matematiğinde bu ifade şu anlama gelir: “üç çarpı x kare” ile “dört çarpı x” toplanır, sonuca da “beş” eklenir. Toplamanın önceliği çarpmadan yüksek olsaydı, aynı ifadeyi elde etmek için parantez kullanmamız gerekirdi:

$(3 x^{2}) + (4 x) + 5$

Bu ve buna benzer ifadeleri matematikte oldukça sık kullandığımız için, matematikçilere çarpmanın toplamadan önce yapılması daha pratik gelir. Ancak işlerin tam olarak böyle olması gerektiğini, başka türlü olamayacağını açıkça gösteren bir neden yoktur.

Daha fazla merak ediyorsan Olga Kosheleva ile Vladik Kreinovich’in yazdığı Why Multiplication Has Higher Priority than Addition: A Pedagogical Remark makalesini okuyabilirsin.

Parantez Kullanmak Daha İyi Değil mi?

Çoğu zaman evet. Pek çok kişi çarpma ile toplamanın önceliğinin nasıl işlediğini bilmez ve şunun gibi basit bir ifade bile

$1 + 2 \cdot 3 + 4$

yanlış anlaşılabilir. Matematiksel gösterimle ne demek istediğini insanların anlama şansını artırmak istiyorsan, ifadeye parantez eklemen yeter:

$1 + (2 \cdot 3) + 4$

« Önceki: Aşı Etkinliği Nasıl Hesaplanır?

Sonraki: Bilişimin En Büyük Problemi: P’ye Karşı NP »