Hyperbola

Hyperbola je kuželosečka. Pro každý bod hyperboly platí, že absolutní hodnota rozdílu vzdáleností od dvou pevně daných bodů je vždy stejný. Mimochodem, v češtině je hyperbola jiné označení pro nadsázku.

Jak vypadá hyperbola

Předchozí definice zní trochu strašidelně, takže si jako první prohlédněte obrázek hyperboly:

Všimněte si, že na rozdíl od ostatních kuželoseček jako je elipsa nebo parabola, je hyperbola složena ze dvou křivek. Co znamená předchozí definice? Máme dány dvě ohniska, F₁ a F₂. Pro každý bod X na hyperbole musí platit, že rozdíl |XF₁|−|XF₂| je v absolutní hodnotě stejný.

Na obrázku máme dva body X₁ a X₂. Pro X₁ nám rozdíl vyjde: |X₁F₁|−|X₁F₂| = 1 − 3 = −2, v absolutní hodnotě pak dostáváme výsledek 2. Stejnou hodnotu bychom měli získat pro X₂. Zkusíme to: |X₂F₁|−|X₂F₂| = 3 − 5 = −2, v absolutní hodnotě 2 (že je délka strany X₂F₂ rovná pěti si můžete vypočítat například pomocí Pythagorovy věty).

Pokud tento postup aplikujeme na všechny body hyperboly, vždy získáme výsledek 2.

Popis hyperboly

Prohlédněte si rozšířený obrázek předchozí hyperboly:

• Bodům F₁ a F₂ se říká ohniska.
• Bod S se nazývá střed hyperboly a nachází se ve středu úsečky F₁F₂.
• Přímka F₁F₂ se nazývá hlavní osa hyperboly. Kolmice k této ose v bodě S se nazývá vedlejší osa hyperboly.
• Průsečíky hyperboly s hlavní osou se nazývají vrcholy hyperboly, na obrázku jsou to body A a B.
• Úsečky AS a BS se nazývají hlavní poloosa hyperboly. Jejich délku značíme a.
• Délku vedlejší poloosy hyperboly značíme b.
• Vzdálenost ohniska od středu se nazývá excentricita, značíme e. Platí vztah:

$$e=\sqrt{a^2+b^2}$$

Aby bylo lépe vidět, kde se vzala délka vedlejší poloosy b, prohlédněte si ještě jeden obrázek:

Jedná se o stejnou hyperbolu, kde především přibyly asymptoty, což jsou ty dvě zkřížené fialové přímky a₁, a₂, které prochází středem S. Hlavní poloosa a zůstává nezměněna, stále jde o úsečku AS. Nyní ale na asymptotu naneseme bod D tak, aby vzdálenost |SD| byla rovna excentricitě e. Délka úsečky AD pak představuje délku vedlejší poloosy hyperboly. Jak je z obrázku vidět, jedná se o pravoúhlý trojúhelník, proto můžeme využít Pythagorovy věty a proto platí vztah

$$e=\sqrt{a^2+b^2}.$$

Použitá kružnice má střed v bodě S a jen ukazuje, že délka |F₁S| (excentricita) je stejná jako délka |SD|.

Rovnice hyperboly

U hyperboly rozlišujeme dva různé případy. Záleží na tom, jestli je hlavní osa hyperboly rovnoběžná s osou x nebo s y. Mějme hyperbolu se středem S o souřadnicích [m, n].

• Hlavní osa je rovnoběžná s osou x:

Rovnice:

$$\frac{(x-m)^2}{a^2}-\frac{(y-n)^2}{b^2}=1$$

• Hlavní osa je rovnoběžná s osou y:

Rovnice:

$$\frac{(y-n)^2}{b^2}-\frac{(x-m)^2}{a^2}=1$$