Jak obliczyć skuteczność szczepionki?

Jak to możliwe, że na daną chorobę może umrzeć więcej zaszczepionych ludzi niż niezaszczepionych? Brzmi to paradoksalnie, a nawet trochę tak, jakby szczepienie nie działało – albo wręcz szkodziło – ale pokażemy, że wcale tak być nie musi.

Wyobraź sobie, że mamy miasto, w którym mieszka sto tysięcy mieszkańców, i że w mieście szaleje groźna, podstępna choroba Provid. Naukowcom udało się jednak stworzyć szczepionkę, która przed tą chorobą chroni, i zaszczepiono nią część mieszkańców. Mimo to, gdy spojrzymy na dane, na Provid zmarło tysiąc zaszczepionych i tysiąc niezaszczepionych. Mieszkańcy są zdezorientowani i mają wrażenie, że szczepienie nie działa, skoro umiera tyle samo zaszczepionych co niezaszczepionych. Działa więc ta szczepionka czy nie?

Trudno powiedzieć 🤷 tylko na podstawie danych, które na razie mamy. Nie wystarczy nam bowiem wiedzieć, ilu zaszczepionych i niezaszczepionych zmarło na Provid. Musimy też wiedzieć, ile osób faktycznie się zaszczepiło. Mógłbym cię przecież zapytać: co jest bardziej niebezpieczne? Jeździć samochodem czy wspiąć się na Mount Everest? Liczby zgonów mówią jasno: przy próbie wejścia na Everest zginęły setki ludzi. W samochodach ginie ponad milion ludzi. Rocznie. Jest więc oczywiste, że bezpieczniej jest próbować wejść na Everest, niż wsiąść do jeżdżącej trumny.

Teraz powinna ci się zapalić lampka w głowie – w rzeczywistości wspinaczka na Everest wcale nie jest bezpieczniejsza niż jazda samochodem. Liczby nas zwodzą, bo nie wzięliśmy pod uwagę, że o ile na Everest weszły tysiące wspinaczy, o tyle samochodami jeżdżą miliardy ludzi. Podobnie musimy wziąć pod uwagę, ilu ludzi w naszym wyobrażonym mieście jest zaszczepionych. Rozważmy to na kilku przykładach:

• Co jeśli w mieście zaszczepiliśmy tylko tysiąc osób, a 99 tysięcy jest niezaszczepionych? Oznaczałoby to, że zmarł każdy zaszczepiony. Podczas gdy z 99 tysięcy niezaszczepionych zmarł tylko tysiąc. Szczepionka nie tylko by więc nie pomagała, ale wręcz szkodziła!
• Co jeśli byłoby odwrotnie i w mieście byłoby 99 tysięcy zaszczepionych i tylko tysiąc niezaszczepionych? Zmarł więc każdy niezaszczepiony, podczas gdy z zaszczepionych zmarłby tylko tysiąc z 99 tysięcy. Szczepionka nie jest wprawdzie stuprocentowa, ale wyraźnie, o rząd wielkości zwiększa szansę na przeżycie.
• Co jeśli zaszczepiona byłaby połowa miasta, a druga połowa nie? Oznaczałoby to, że zmarł tysiąc z pięćdziesięciu tysięcy zaszczepionych i tysiąc z pięćdziesięciu tysięcy niezaszczepionych. W obu grupach zmarło dwa procent mieszkańców – czyli szczepionka nie ma żadnego efektu, ani pozytywnego, ani negatywnego.

Czym jest skuteczność szczepionki

Dobrze, jak więc obliczyć skuteczność szczepionki? Powiemy, że skuteczność szczepionki to odsetek ludzi, których szczepionka uratowała przed śmiercią. Dla przykładu załóżmy, że na chorobę zmarło tysiąc niezaszczepionych osób, a w alternatywnej rzeczywistości, w której tych samych tysiąc osób zaszczepiliśmy, zmarło ich tylko 300, a 700 przeżyło. W takim przypadku szczepionka uratowała 700 osób z 1000, a skuteczność tej szczepionki wynosiłaby 70%. Gdyby nie zmarł nikt, skuteczność wynosiłaby 100%, gdyby zmarli wszyscy, wynosiłaby 0%.

No dobrze, ale nie mamy do dyspozycji dwóch równoległych wszechświatów, z których w jednym byśmy kogoś zaszczepili, a w drugim tego samego człowieka nie. Skuteczność musimy więc liczyć inaczej. Wróćmy do naszego miasteczka ze stu tysiącami mieszkańców. Dodajmy brakującą informację – załóżmy, że zaszczepiliśmy 90 tysięcy osób. Takie dane jesteśmy w stanie zebrać także w prawdziwym świecie. Jaka jest skuteczność szczepionki? Najpierw obliczymy odsetek zmarłych w każdej grupie, czyli ile procent zaszczepionych i niezaszczepionych zmarło:

• Zmarł tysiąc z 10 tysięcy niezaszczepionych, czyli 10%. Oznaczmy to jako NL = 10% (niezaszczepieni ludzie).
• Zmarł tysiąc z 90 tysięcy zaszczepionych, czyli mniej więcej 1,11%. Oznaczmy to jako ZL = 1,11% (zaszczepieni ludzie).

Widzimy, że zmarło 1,11% zaszczepionych, podczas gdy niezaszczepionych zmarło 10%. Wynikową skuteczność S obliczymy ze wzoru

$$S=\frac{NL-ZL}{NL}\cdot100\%$$

Po podstawieniu mamy

$$S=\frac{10-1{,}11}{10}\cdot100\%=\frac{8{,}89}{10}\cdot100\%=0{,}889\cdot100\%=88{,}9\%.$$

Skuteczność naszej szczepionki wynosi 88,9%. Czyli szczepionka uratowała 88,9% ludzi, którzy inaczej by zmarli. Możemy to zresztą także policzyć: w grupie niezaszczepionych zmarło 10% osób. Gdybyśmy tych 90 tysięcy osób też nie zaszczepili, zmarłoby z nich tych samych dziesięć procent, czyli 9000 osób. Ponieważ szczepionka ma skuteczność 88,9%, 88,9% z tych 9000 osób ostatecznie przeżyło dzięki szczepionce, czyli 88,9% z 9000 to właśnie 8000, i zostaje nam 11,1% osób, które niestety i tak zmarły – to jest ten tysiąc zmarłych z treści zadania.

Widzimy, że ta szczepionka daje nam dużo większe szanse na przeżycie, ale nie można powiedzieć, że po zaszczepieniu mamy stuprocentową pewność, że na tę chorobę nie umrzemy.

Im więcej zaszczepionych, tym więcej zmarłych zaszczepionych

Prowadzi to zresztą do ciekawego paradoksu. Wyobraźmy sobie, że naszą szczepionką o skuteczności 88,9% zaszczepimy jeszcze kolejnych 5000 osób w mieście, czyli dojdziemy do 95 tysięcy zaszczepionych i tylko pięciu tysięcy niezaszczepionych. Wtedy będzie tak, że

• Z 5000 niezaszczepionych umrze 10%, czyli 500.
• Z 95 tysięcy zaszczepionych umrze 1,11%, czyli mniej więcej 1055.

‼️‼️‼️ SZOK ‼️‼️‼️ Zaszczepionych umiera dużo więcej niż niezaszczepionych. Wynika to jednak wyłącznie z tego, że zaszczepionych jest o wiele więcej niż niezaszczepionych. Można to też powiedzieć tak: o ile zaszczepionych ludzi jest w mieście 19 razy więcej niż niezaszczepionych, o tyle zmarłych zaszczepionych mamy tylko dwa razy więcej niż niezaszczepionych.

A przede wszystkim – łączna liczba zmarłych spadła. Teraz mamy 500 + 1055 = 1555 zmarłych, a w poprzednim przykładzie mieliśmy 1000 + 1000 = 2000 zmarłych.

Różne skuteczności szczepionki

Przyjrzyjmy się kilku ciekawym wartościom skuteczności:

• Skuteczność 100% dostalibyśmy, gdyby ZL było równe zeru (nikt z zaszczepionych nie zmarł), a niezaszczepieni umierali. Skuteczność szczepionki nie może być większa niż 100%.
• Skuteczność 0% dostalibyśmy, gdyby NL = ZL (gdyby procentowo umierało tyle samo zaszczepionych co niezaszczepionych). Oznaczałoby to, że szczepionka nie ma żadnego działania.
• Ujemną skuteczność dostalibyśmy, gdyby ZL było większe niż NL, czyli gdyby procentowo umierało więcej zaszczepionych niż niezaszczepionych. Szczepionka w takim przypadku by szkodziła.

Szczepionkę o skuteczności około 83% możesz sobie wyobrazić tak, że gdybyś zachorował i miał pecha, że akurat ciebie choroba miałaby zabić, szczepienie daje ci jeszcze dodatkową ochronę – możesz rzucić kostką i jeśli wyrzucisz od jednego do pięciu, szczepienie cię uratuje, a jeśli wyrzucisz szóstkę, choroba i tak cię zabije.

Uwaga na różne grupy ludzi

Uważaj, przy obliczaniu skuteczności szczepienia nie warto ślepo trzymać się wzoru, który podałem wyżej. Żeby go zastosować, dobrze jest wiedzieć, jak zachowuje się choroba i jaka jest nasza strategia szczepień. Choroby są różne, atakują różne grupy ludzi i tak samo różne grupy ludzi będą miały różny poziom wyszczepienia. Jeśli jakaś choroba atakuje tylko kobiety, może nam być obojętne, jaki jest poziom wyszczepienia mężczyzn. Jeśli choroba atakuje starsze roczniki, może nam być obojętne, jaki jest poziom wyszczepienia młodszych roczników, i lepiej będzie liczyć skuteczność, znając poziom wyszczepienia starszych roczników.

Tak samo możemy u szczepionek mierzyć różne rodzaje ochrony. W całym artykule pisaliśmy makabrycznie wprost o śmierci, ale u szczepionek możemy mierzyć też skuteczność tego, jak szczepionka zmniejsza (albo zwiększa…) szansę, że zachorujemy, że będziemy chorobę przenosić dalej albo na przykład że będziemy wymagać hospitalizacji.