Metoda szybkiego dodawania Trachtenberga
Metoda dodawania Trachtenberga to sposób, jak szybko dodać kilka liczb, a potem innym sposobem sprawdzić, czy policzyliśmy dobrze. Wymyślił ją rosyjski matematyk Jakow Trachtenberg. Pokażemy ją na przykładzie. Spróbujmy dodać te trzy liczby:
$$9551+7375+9262=?$$
Najpierw zapiszemy liczby jedna pod drugą:
$$\begin{array}{cccc} &9&5&5&1\\ +&7&3&7&5\\ +&9&2&6&2\\ \hline \end{array}$$
Teraz zaczniemy dodawać kolumny, od prawej. Będzie nas interesować, czy suma jest większa od liczby 11 lub jej równa. W pierwszym kroku dodajemy ostatnią kolumnę, czyli 1 + 5 + 2 = 8. Ten wynik jest mniejszy niż 11, więc liczbę po prostu zapisujemy pod kreską:
$$\begin{array}{cccc} &9&5&5&\color{red}{1}\\ +&7&3&7&\color{red}{5}\\ +&9&2&6&\color{red}{2}\\ \hline &&&&\color{red}{8}\\ \end{array}$$
W drugim kroku dodajemy drugą kolumnę od prawej, czyli 5 + 7 + 6 = 18. Metoda Trachtenberga mówi, że zawsze, gdy suma jest większa od 11 lub jej równa, odejmujemy od sumy 11 i zapamiętujemy, ile razy musieliśmy to zrobić. Ponieważ 18 jest większe niż 11, odejmujemy 18 − 11 = 7. Siódemkę zapisujemy pod kreską, a ponieważ liczbę 11 odjęliśmy raz, zaznaczamy to wiersz niżej:
$$\begin{array}{cccc} &9&5&\color{red}{5}&1\\ +&7&3&\color{red}{7}&5\\ +&9&2&\color{red}{6}&2\\ \hline &&&\color{red}{7}&8\\ &&&\color{red}{1}&\\ \end{array}$$
Gdy wrócimy jeszcze do poprzedniej kolumny, tej najbardziej po prawej, widzimy, że suma była równa osiem, więc liczby 11 nie musieliśmy odejmować ani razu. Dopisujemy więc do tabelki zero:
$$\begin{array}{cccc} &9&5&5&\color{red}{1}\\ +&7&3&7&\color{red}{5}\\ +&9&2&6&\color{red}{2}\\ \hline &&&7&\color{red}{8}\\ &&&1&\color{red}{0}\\ \end{array}$$
Przechodzimy do trzeciej kolumny od prawej i dodajemy 5 + 3 + 2 = 10. Dziesiątki się nie przestraszymy, to liczba mniejsza niż 11, więc zapisujemy ją pod kreską razem z zerem, bo nie musieliśmy odejmować 11:
$$\begin{array}{cccc} &9&\color{red}{5}&5&1\\ +&7&\color{red}{3}&7&5\\ +&9&\color{red}{2}&6&2\\ \hline &&\color{red}{10}&7&8\\ &&\color{red}{0}&1&0\\ \end{array}$$
A teraz dodajemy czwartą kolumnę od prawej, czyli pierwszą kolumnę. Widzimy, że 9 + 7 = 16, a to już jest więcej niż 11. Odejmujemy więc 16 − 11 = 5, zapamiętujemy, że raz już odjęliśmy 11, i dalej liczymy z liczbą 5, którą dodajemy do liczby z trzeciego wiersza, czyli liczymy 5 + 9 = 14. Również czternaście jest większe niż 11, więc odejmujemy 14 − 11 = 3. Ten wynik zapisujemy pod kreską razem z informacją, że jedenastkę musieliśmy odjąć aż dwa razy:
$$\begin{array}{cccc} &\color{red}{9}&5&5&1\\ +&\color{red}{7}&3&7&5\\ +&\color{red}{9}&2&6&2\\ \hline &\color{red}{3}&10&7&8\\ &\color{red}{2}&0&1&0\\ \end{array}$$
Do wyniku pod kreską dopiszemy jeszcze jedną kolumnę z dwoma zerami, przyda nam się później:
$$\begin{array}{cccc} &9&5&5&1\\ +&7&3&7&5\\ +&9&2&6&2\\ \hline \color{red}{0}&3&10&7&8\\ \color{red}{0}&2&0&1&0\\ \end{array}$$
Jak w metodzie Trachtenberga otrzymać wynik
Narysujemy kolejną poziomą kreskę i będziemy dodawać oba wiersze wyników pośrednich. Najpierw dodajemy 8 + 0 = 8 i wynik zapisujemy pod kreską:
$$\begin{array}{cccc} &9&5&5&1\\ +&7&3&7&5\\ +&9&2&6&2\\ \hline 0&3&10&7&\color{red}{8}\\ 0&2&0&1&\color{red}{0}\\ \hline &&&&\color{red}{8}\\ \end{array}$$
Od tej chwili musimy postępować w bardziej złożony sposób i dodawać liczby ułożone w kształt litery „L”. Dodajemy więc dwie liczby z przedostatniej kolumny i dokładamy do nich drugą liczbę z poprzedniej kolumny, czyli dodajemy 7 + 1 + 0 = 8:
$$\begin{array}{cccc} &9&5&5&1\\ +&7&3&7&5\\ +&9&2&6&2\\ \hline 0&3&10&\color{red}{7}&8\\ 0&2&0&\color{red}{1}&\color{red}{0}\\ \hline &&&\color{red}{8}&8\\ \end{array}$$
Następnie dodajemy 10 + 0 + 1 = 11. Teraz postępujemy jak przy zwykłym dodawaniu: zapisujemy tylko ostatnią cyfrę 1, a dziesiątka przechodzi do następnej rundy.
$$\begin{array}{cccc} &9&5&5&1\\ +&7&3&7&5\\ +&9&2&6&2\\ \hline 0&3&\color{red}{10}&7&8\\ 0&2&\color{red}{0}&\color{red}{1}&0\\ \hline &&\color{red}{1}&8&8\\ \end{array}$$
W następnej rundzie dodajemy 3 + 2 + 0 + 1 = 6, gdzie jedynka na końcu to ta jedynka, która przeszła z poprzedniej rundy (czyli za każdą dziesiątkę, która przeszła dalej, dodajemy tu jedynkę).
$$\begin{array}{cccc} &9&5&5&1\\ +&7&3&7&5\\ +&9&2&6&2\\ \hline 0&\color{red}{3}&10&7&8\\ 0&\color{red}{2}&\color{red}{0}&1&0\\ \hline &\color{red}{6}&1&8&8\\ \end{array}$$
A teraz wreszcie wykorzystamy tę kolumnę z dwoma zerami – jest tu wyłącznie po to, żebyśmy nie zapomnieli o ostatniej sumie 0 + 0 + 2 = 2.
$$\begin{array}{cccc} &9&5&5&1\\ +&7&3&7&5\\ +&9&2&6&2\\ \hline \color{red}{0}&3&10&7&8\\ \color{red}{0}&\color{red}{2}&0&1&0\\ \hline \color{red}{2}&6&1&8&8\\ \end{array}$$
To jest nasz wynik otrzymany metodą Trachtenberga. Czyli
$$9551+7375+9262=26188.$$
Sprawdzenie wyników pośrednich
Zaletą metody Trachtenberga jest to, że możemy dość łatwo sprawdzić, czy policzyliśmy dobrze, bez przeprowadzania całego rachunku od nowa. Trachtenberg znalazł sposób, jak sprawdzić wyniki pośrednie i wynik końcowy zupełnie innym sposobem. Jeśli więc obliczysz sumę metodą Trachtenberga i do tego zrobisz sprawdzenie, możesz być dość pewny, że policzyłeś dobrze. Spróbujmy więc sprawdzić, czy nasz wynik jest poprawny.
Cały nasz rachunek możemy podzielić na trzy części. Mamy składniki, wyniki pośrednie i wynik:
$$\begin{array}{cccc} &\color{red}{9}&\color{red}{5}&\color{red}{5}&\color{red}{1}\\ +&\color{red}{7}&\color{red}{3}&\color{red}{7}&\color{red}{5}\\ +&\color{red}{9}&\color{red}{2}&\color{red}{6}&\color{red}{2}\\ \hline \color{green}{0}&\color{green}{3}&\color{green}{10}&\color{green}{7}&\color{green}{8}\\ \color{green}{0}&\color{green}{2}&\color{green}{0}&\color{green}{1}&\color{green}{0}\\ \hline \color{blue}{2}&\color{blue}{6}&\color{blue}{1}&\color{blue}{8}&\color{blue}{8}\\ \end{array}$$
W pierwszej fazie sprawdzimy, czy dobrze obliczyliśmy wyniki pośrednie. Do tego potrzebujemy pierwiastka cyfrowego kolumn. Pierwiastek cyfrowy liczby dostaniemy, dodając wszystkie cyfry tej liczby. Na przykład pierwiastek cyfrowy liczby 456 dostaniemy, dodając 4 + 5 + 6 = 15. Jeśli wynik jest większy niż 9, liczymy sumę cyfr jeszcze raz, czyli obliczamy 1 + 5 = 6. Pierwiastek cyfrowy liczby 456 jest więc równy 6.
Teraz wrócimy do składników i obliczymy pierwiastek cyfrowy ostatniej kolumny, czyli liczby 152: 1 + 5 + 2 = 8.
$$\begin{array}{cccc} &9&5&5&\color{red}{1}\\ +&7&3&7&\color{red}{5}\\ +&9&2&6&\color{red}{2}\\ \hline &&&&\color{red}{8} \end{array}$$
Dalej obliczymy pierwiastek cyfrowy przedostatniej kolumny, czyli liczby 576, co daje 5 + 7 + 6 = 18, a dalej 1 + 8 = 9.
$$\begin{array}{cccc} &9&5&\color{red}{5}&1\\ +&7&3&\color{red}{7}&5\\ +&9&2&\color{red}{6}&2\\ \hline &&&\color{red}{9}&8 \end{array}$$
Dla trzeciej kolumny od prawej dostaniemy 5 + 3 + 2 = 10, a ponieważ ta liczba ma dwie cyfry, dostaniemy 1 + 0 = 1:
$$\begin{array}{cccc} &9&\color{red}{5}&5&1\\ +&7&\color{red}{3}&7&5\\ +&9&\color{red}{2}&6&2\\ \hline &&\color{red}{1}&9&8 \end{array}$$
a dla pierwszej kolumny mamy 9 + 7 + 9 = 25 i dalej 2 + 5 = 7:
$$\begin{array}{cccc} &\color{red}{9}&5&5&1\\ +&\color{red}{7}&3&7&5\\ +&\color{red}{9}&2&6&2\\ \hline &\color{red}{7}&1&9&8 \end{array}$$
Otrzymane pierwiastki cyfrowe to: 7198. Teraz spojrzymy na wyniki pośrednie:
$$\begin{array}{cccc} \color{green}{0}&\color{green}{3}&\color{green}{10}&\color{green}{7}&\color{green}{8}\\ \color{green}{0}&\color{green}{2}&\color{green}{0}&\color{green}{1}&\color{green}{0}\\ \end{array}$$
Skopiujemy drugi wiersz i wstawimy go na koniec, więc drugi wiersz będziemy tam mieć dwa razy:
$$\begin{array}{cccc} 0&3&10&7&8\\ 0&2&0&1&0\\ 0&2&0&1&0\\ \end{array}$$
Teraz zrobimy to samo co ze składnikami. Z każdej kolumny utworzymy liczbę i obliczymy jej pierwiastek cyfrowy. Znowu możemy zacząć od końca, więc dostajemy 8 + 0 + 0 = 8, następna kolumna da nam 7 + 1 + 1 = 9, kolejna 10 + 0 + 0 = 10, a dalej 1 + 0 = 1 i na koniec 3 + 2 + 2 = 7:
$$\begin{array}{cccc} 0&3&10&7&8\\ 0&2&0&1&0\\ 0&2&0&1&0\\ \hline 0&\color{red}{7}&\color{red}{1}&\color{red}{9}&\color{red}{8} \end{array}$$
W tym momencie porównujemy wyniki. Pierwiastki cyfrowe składników dały nam liczbę 7198, tak samo jak pierwiastki cyfrowe wyników pośrednich – policzyliśmy więc dobrze. Gdyby te wyniki się różniły, gdzieś zrobiliśmy błąd. Albo podczas sprawdzenia, albo podczas samego dodawania.
Sprawdzenie wyniku
Sprawdzenie, czy dobrze obliczyliśmy wynik, jest w tej chwili już proste. Obliczamy pierwiastek cyfrowy wyniku i pierwiastek cyfrowy otrzymanych pierwiastków cyfrowych i oba muszą wyjść takie same. Weźmy więc nasz wynik 26 188 i obliczmy jego pierwiastek cyfrowy:
$$\begin{eqnarray} 2+6+1+8+8&=&25\\ 2+5&=&7 \end{eqnarray}$$
Teraz obliczymy pierwiastek cyfrowy z naszych obliczonych pierwiastków cyfrowych, czyli pierwiastek cyfrowy liczby 7198:
$$\begin{eqnarray} 7+1+9+8&=&25\\ 2+5&=&7 \end{eqnarray}$$
Widzimy, że oba pierwiastki cyfrowe są równe siedem, sprawdzenie wyszło więc dobrze i policzyliśmy poprawnie!