Rozcieńczanie i mieszanie roztworów

Roztwór powstaje, gdy na przykład rozpuścimy etanol w wodzie. Otrzymujemy jednorodną mieszaninę, która składa się z substancji rozpuszczonej (etanol) i z rozpuszczalnika (woda). Zwykle przez roztwór rozumiemy roztwór w stanie ciekłym, ale ogólnie możemy mieć też roztwór dwóch ciał stałych, na przykład stop, jakim jest brąz.

Stężenie roztworu

Stężenie mówi nam, ile substancji rozpuszczonej jest w roztworze. Stężenie możemy podawać na kilka sposobów:

• Masowe: ile gramów substancji rozpuszczonej znajduje się w 100 g roztworu.
• Objętościowe: ile mililitrów substancji rozpuszczonej znajduje się w 100 ml roztworu.
• Procentowe: ile procent substancji rozpuszczonej znajduje się w roztworze, na przykład możemy mieć roztwór 40-procentowy, co oznacza, że na 100 ml roztworu przypada 40 ml substancji.

Jakie stężenie miałby roztwór wody i etanolu, gdybyśmy mieli 500 ml tego roztworu, z czego 150 ml stanowiłby etanol? Aby otrzymać stężenie objętościowe, musimy wiedzieć, ile ml jest zawartych w 100 ml. My jednak wiemy, ile ml jest zawartych w pół litrze. Możemy posłużyć się regułą trzech. Najpierw obliczymy, ile etanolu byłoby w 1 ml roztworu, a robimy to, dzieląc ilość etanolu przez 500:

$$\large\frac{150\ \mbox{ml}}{500}=0{,}3\ \mbox{ml}$$

Gdy znamy ilość etanolu w 1 ml, ilość w 100 ml znajdziemy, mnożąc ją przez 100:

$$\large0{,}3\ \mbox{ml}\cdot100=30\ \mbox{ml}$$

Roztwór ma więc stężenie 30 ml etanolu na 100 ml. Jest to zatem roztwór 30-procentowy.

Równanie mieszania

Za pomocą równania mieszania możemy obliczyć stężenie roztworu, który otrzymamy po zmieszaniu dwóch różnych roztworów. Wyobraźmy sobie, że mamy dwa roztwory:

1. roztwór o objętości 500 ml, zawierający 30% etanolu,
2. roztwór o objętości 400 ml, zawierający 20% etanolu.

Jakie stężenie otrzymamy, gdy zmieszamy te roztwory? Oznaczmy V₁ = 500 objętość pierwszego roztworu, V₂ = 400 objętość drugiego roztworu, a V = V₁ + V₂ objętość roztworu końcowego.

Potrzebny będzie nam jeszcze tzw. ułamek objętościowy, czyli po prostu procentowe wyrażenie stężenia zamienione na postać ułamka. Pierwszy roztwór o stężeniu 30% ma więc ułamek objętościowy $c_1 = \frac{30}{100}$, a drugi roztwór o stężeniu 20% ma ułamek objętościowy $c_2 = \frac{20}{100}$. (Gdybyśmy pracowali z gramami zamiast z litrami, mielibyśmy ułamki masowe, ale zasada byłaby taka sama.) Roztwór końcowy niech ma ułamek objętościowy c. Teraz możemy zapisać równanie mieszania:

$$\large c_1\cdot V_1+c_2\cdot V_2=c\cdot V$$

W tym równaniu jedyną niewiadomą jest stężenie końcowe c. Wszystkie wartości na lewo od znaku równości znamy z zadania, a objętość końcową V też znamy, to po prostu suma objętości V₁ i V₂:

$$\large c_1\cdot V_1+c_2\cdot V_2=c\cdot (V_1 + V_2)$$

Podstawmy konkretne wartości za wszystkie zmienne:

$$\frac{30}{100}\cdot500+\frac{20}{100}\cdot400=c\cdot(500+400)$$

Po lewej stronie obliczamy teraz iloczyny ułamków, a po prawej tylko dodajemy objętości:

$$\large150+80=c\cdot900$$

Teraz dzielimy całe równanie przez 900, dzięki czemu po prawej stronie zostaje tylko stężenie końcowe c:

$$\large\frac{150+80}{900}=c$$

Dodajemy liczby w liczniku i zamieniamy miejscami lewą i prawą stronę równania mieszania (zwykle chcemy mieć niewiadomą po lewej):

$$\large c=\frac{230}{900}$$

To jest nasz ułamek objętościowy. Jeśli chcemy otrzymać zapis dziesiętny, obliczamy 230 podzielone przez 900:

$$\large\frac{230}{900}=0{,}255555…$$

Wyrażenie w procentach otrzymamy, mnożąc ten iloraz przez 100, co daje w przybliżeniu 25,6%. Roztwór końcowy będzie miał więc stężenie około 25,6%, czyli około 25,6 ml etanolu na 100 ml.

Czym rozcieńczyć, aby otrzymać potrzebny roztwór?

Możemy jednak potrzebować odpowiedzi na nieco inne pytanie. Mamy znów 500 ml roztworu zawierającego 30% etanolu oraz drugi roztwór, który zawiera 55% etanolu. Ile ml drugiego roztworu musimy zmieszać z pierwszym, aby otrzymać roztwór 40-procentowy? Znów użyjemy równania mieszania

$$\large c_1\cdot V_1+c_2\cdot V_2=c\cdot (V_1 + V_2)$$

Jedyną niewiadomą jest teraz V₂, wszystko inne znamy. W odróżnieniu od poprzedniego przypadku znamy bowiem $c = \frac{40}{100}$, ponieważ wiemy, jaki roztwór chcemy otrzymać. Podstawiamy znane wartości do równania mieszania:

$$\large \frac{30}{100}\cdot500+\frac{55}{100}\cdot V_2=\frac{40}{100}(500+V_2)$$

Mnożymy całe równanie przez 100:

$$\large 30\cdot500+55\cdot V_2=40\cdot(500+V_2)$$

Obliczamy iloczyn po lewej stronie i mnożymy nawias po prawej stronie:

$$\large 15\ 000+55\cdot V_2=40\cdot500+40\cdot V_2$$

Odejmujemy 15 000 od obu stron równania:

$$\large 55\cdot V_2=40\cdot500+40\cdot V_2-15\ 000$$

Odejmujemy 40 · V₂ od obu stron równania:

$$\large 55\cdot V_2-40\cdot V_2=40\cdot500-15\ 000$$

Dodajemy i odejmujemy, co się da:

$$\large 15\cdot V_2=20\ 000-15\ 000$$

Odejmujemy po prawej stronie:

$$\large 15\cdot V_2=5\ 000$$

Dzielimy obie strony równania przez 15:

$$\large V_2=\frac{5\ 000}{15}=333{,}333…$$

Musimy więc dolać około 333 ml (jedną trzecią litra) drugiego roztworu 55-procentowego, aby otrzymać roztwór o stężeniu 40%. Możemy sprawdzić, czy dobrze policzyliśmy. Pierwszy roztwór o objętości 500 ml zawierał 30% etanolu, czyli 150 ml etanolu. Jeśli dolejemy 333 ml drugiego roztworu 55-procentowego, to zawiera on 183 ml etanolu. W rezultacie otrzymaliśmy roztwór o objętości 500 ml + 333 ml, czyli 833 ml, który zawiera 150 ml + 183 ml, czyli 333 ml etanolu. Gdy obliczymy iloraz

$$\frac{333}{833}\approx 0{,}4$$

otrzymujemy (po zaokrągleniu) 40-procentowy roztwór etanolu i wody.