✖

Ile to jest 1 + 2 + 5 · 0? Czyli o kolejności wykonywania działań

Co chwilę po mediach społecznościowych krąży zagadka podobna do tej. Ile jest równe to wyrażenie?

$$1+2+5\cdot0=?$$

Policzmy to razem:

  • Jeden plus dwa to trzy.
  • Trzy plus pięć to osiem.
  • I wreszcie osiem razy zero to zero.

Liczyłeś tak razem ze mną? Niestety obaj policzyliśmy źle ‼️‼️‼️ Zapomnieliśmy bowiem o szkolnej regułce: mnożenie wykonujemy przed dodawaniem. Co to znaczy?

Jeśli w jednym wyrażeniu mamy zarówno dodawanie, jak i mnożenie, to najpierw mnożymy wszystko, co się da pomnożyć, a dopiero potem wracamy do dodawania. W naszym przypadku oznacza to, że najpierw mnożymy 5 · 0 i ignorujemy całą resztę wyrażenia. Pięć razy zero to zero. To zero wpisujemy z powrotem do wyrażenia:

$$1+2+5\cdot0=1+2+0$$

Teraz mamy już wyrażenie, w którym jest tylko dodawanie. To już proste, 1 + 2 + 0 to trzy. Czyli

$$1+2+5\cdot0=3$$

Inny przykład. Ile jest równe to?

$$1+2\cdot3+4=?$$

Znowu obowiązuje zasada, że najpierw wykonujemy mnożenie, a dodawanie zostawiamy w spokoju. Najpierw więc obliczamy 2 · 3, czyli 6:

$$1+2\cdot3+4=1+6+4$$

Teraz w wyrażeniu jest już tylko dodawanie, a to proste:

$$1+6+4=11$$

Dlaczego na kalkulatorze wychodzi inaczej?

Jeśli spróbujesz policzyć te same przykłady na kalkulatorze, może ci wyjść taki sam zły wynik jak nam za pierwszym razem przy 1 + 2 + 5 · 0. Jak to możliwe? Są w zasadzie dwie możliwości: albo kalkulator nie zna kolejności działań, albo w trakcie liczenia naciskasz znak równości. Jeśli bowiem naciskasz klawisze tak:

  • [jeden] [plus] [dwa] [równa się] -> kalkulator pokaże 3,
  • [plus] [pięć] [równa się] -> kalkulator pokaże 8,
  • [razy] [zero] [równa się] -> kalkulator pokaże 0,

to tak naprawdę nie policzyłeś przykładu z góry, bo naciskając po drodze „równa się”, zamiast jednego wyrażenia policzyłeś trzy różne, niezwiązane ze sobą wyrażenia. W ostatnim kroku kalkulator po prostu liczy wyrażenie „osiem razy zero”, a to jest zero, i to kalkulator pokazuje poprawnie. Kalkulator w tym momencie nie wie, że wcześniej było tam jakieś mnożenie, które powinno mieć pierwszeństwo.

Jeśli nie naciskasz „równa się”, tylko wpisałeś cały przykład jako

  • [jeden] [plus] [dwa] [plus] [pięć] [razy] [zero]

a kalkulator dalej pokazuje zero, to twój kalkulator nie zna kolejności działań, co jest całkiem możliwe. Wtedy możesz sprawdzić wynik w Google, bo wyszukiwarka oprócz szukania potrafi też dobrze liczyć, albo w WolframAlpha:

Jak zmienić naturalną kolejność działań: nawiasy

Jeśli chcemy kolejność działań zmienić, możemy użyć nawiasów. Gdybyśmy mieli wyrażenie

$$1+2\cdot5$$

i chcieli najpierw dodać 1 + 2, a dopiero wynik pomnożyć przez pięć, możemy użyć nawiasów tak:

$$(1 + 2) \cdot5$$

Wyrażenia w nawiasie mają pierwszeństwo przed zwykłą kolejnością działań. Najpierw więc obliczylibyśmy 1 + 2, a mnożenie zostawilibyśmy bez zmian. Dostalibyśmy:

$$(1 + 2) \cdot5 = 3 \cdot5$$

co równa się piętnaście. Czyli

$$(1 + 2) \cdot5=15.$$

A co z dzieleniem i odejmowaniem?

Z odejmowaniem jest tak samo jak z dodawaniem, a z dzieleniem tak samo jak z mnożeniem. Czyli mnożenie i dzielenie mają pierwszeństwo przed dodawaniem i odejmowaniem. Mnożenie i dzielenie są między sobą równorzędne, tak samo dodawanie i odejmowanie.

Dla przykładu spójrzmy na to wyrażenie

$$1+2\cdot3-8:4$$

To wyrażenie jest takie samo jak to, w którym dopiszemy nawiasy tak, żeby nie zmienić kolejności działań:

$$1+(2\cdot3)-(8:4)$$

A zatem

$$1+(2\cdot3)-(8:4)=1+6-2$$

co się równa

$$1+6-2=5.$$

Gdybyśmy mieli mnożenie i dzielenie zaraz po sobie, liczymy je od lewej do prawej, w takiej kolejności, w jakiej występują:

$$6\cdot4:8$$

Najpierw obliczamy 6 · 4, czyli 24. Dzielenia na razie nie ruszamy:

$$6\cdot4:8=24:8$$

A teraz już tylko dzielimy 24 przez osiem:

$$24:8=3.$$

Dlaczego mnożenie ma pierwszeństwo przed dodawaniem

Możesz zapytać, dlaczego właściwie mnożenie wykonujemy przed dodawaniem. I to dobre pytanie! Można powiedzieć, że nie stoi za tym nic innego niż umowa matematyków, że tak będzie. Nie istnieje żadna reguła, z której wynikałoby, że mnożenie musi mieć pierwszeństwo. Cała matematyka działałaby równie dobrze, gdyby to dodawanie miało wyższy priorytet niż mnożenie. Albo gdyby oba działania były równorzędne i zawsze liczylibyśmy od lewej do prawej, tak jak przy klikaniu na kalkulatorze.

Z drugiej strony, gdyby pierwszeństwo miało dodawanie, potrzebowalibyśmy więcej nawiasów. Pokażmy to na trochę bardziej skomplikowanym wyrażeniu funkcji kwadratowej:

$$3x^2+4x+5$$

W dzisiejszej matematyce to wyrażenie oznacza „trzy razy x do kwadratu”, do czego dodajemy „cztery razy x”, a do tego jeszcze „pięć”. Gdyby dodawanie miało pierwszeństwo przed mnożeniem, musielibyśmy użyć nawiasów, żeby dostać to samo wyrażenie:

$$\left(3x^2\right)+(4x)+5$$

Ponieważ takich i podobnych wyrażeń używamy w matematyce dość często, dla matematyków jest praktyczniej, gdy mnożenie ma pierwszeństwo przed dodawaniem. Nie ma jednak żadnego powodu, z którego jednoznacznie wynikałoby, że musi być właśnie tak, a nie inaczej.

Jeśli chcesz dowiedzieć się więcej, możesz przeczytać artykuł Why Multiplication Has Higher Priority than Addition: A Pedagogical Remark, którego autorami są Olga Kosheleva i Vladik Kreinovich.

Czy nie lepiej używać nawiasów?

Często tak. Mnóstwo ludzi nie wie, jak działa pierwszeństwo mnożenia przed dodawaniem, i nawet tak proste wyrażenie jak

$$1+2\cdot3+4$$

może zostać źle zrozumiane. Jeśli chcesz zwiększyć szansę, że ludzie zrozumieją, co chcesz powiedzieć matematycznym zapisem, po prostu dodaj do wyrażenia nawiasy:

$$1+(2\cdot3)+4$$