✖

Czy jest więcej liczb parzystych, czy nieparzystych?

Jak myślisz, których liczb jest więcej? Parzystych czy nieparzystych? A może jest ich tyle samo? Jak w ogóle moglibyśmy to rozstrzygnąć? A co z innymi liczbami? Czy więcej jest liczb parzystych, czy liczb naturalnych? Liczb naturalnych czy liczb wymiernych? Nie jest to takie proste, bo wszystkich tych liczb jest nieskończenie wiele. Mimo to potrafimy je porównać i ustalić, których liczb jest więcej, a których mniej.

Spróbujmy pokazać to na małym zbiorze liczb. Wyobraź sobie dwa zbiory liczb: liczby niebieskie i liczby czerwone:

1
2
3
4
5
6
7
8
9

Czy da się jakoś powiedzieć, których liczb jest więcej? Czerwonych czy niebieskich? Wyraźnie widzimy, że… Co? Że jesteś daltonistą i wcale tego wyraźnie nie widzisz? No dobrze, od teraz będziemy dodatkowo rysować czerwone liczby jako kwadraciki:

1
2
3
4
5
6
7
8
9

Dobrze, teraz wyraźnie widać, że niebieskich liczb jest więcej niż czerwonych. Było to proste, bo pracujemy ze skończonymi zbiorami liczb, więc potrafimy je policzyć. Widzimy, że mamy sześć liczb niebieskich i tylko trzy czerwone. Ze zbiorami nieskończonymi nie będzie już tak łatwo, bo nie da się ich policzyć. Odpowiedzmy więc na pytanie z tytułu: czy więcej jest liczb parzystych, czy nieparzystych? Dla uproszczenia zostańmy przy liczbach dodatnich. Wyobraź sobie worek pełen wszystkich liczb nieparzystych i worek pełen wszystkich liczb parzystych. Który worek jest większy?

1
3
5
7
9
11
13
15
…
2
4
6
8
10
12
14
16
…

No cóż, wyobrazić sobie nieskończenie wiele liczb nie jest łatwo, a policzyć je – jeszcze trudniej. Czy nie istnieje jakiś inny sposób porównywania wielkości zbiorów?

Porównywanie dwóch zbiorów skończonych

Wyobraź sobie, że mamy worek pełen panów młodych i worek pełen panien młodych. Jeśli dla każdego pana młodego mamy jedną pannę młodą, a dla każdej panny młodej jednego pana młodego, możemy powiedzieć, że panów młodych i panien młodych jest tyle samo:

👰 👰 👰 👰 👰 👰

🤵 🤵 🤵 🤵 🤵 🤵

Widzisz? Każda panna młoda z pierwszego rzędu ma swojego własnego męża z drugiego rzędu i na odwrót – każdy mąż ma swoją własną żonę. Mógłby jednak zajść też inny przypadek: każda panna młoda miałaby męża, ale nie każdy mąż miałby pannę młodą:

👰 👰 👰 👰 👰 ❌

🤵 🤵 🤵 🤵 🤵 🤵

Każda żona ma męża, ale jeden mąż zostaje smutny i sam jak palec, bez żony. Skoro jeden mąż nam zostaje, możemy powiedzieć, że mamy więcej mężów niż żon. Podobnie gdy zostanie nam jedna panna młoda

👰 👰 👰 👰 👰 👰

🤵 🤵 🤵 🤵 🤵 ❌

to możemy powiedzieć, że mamy więcej panien młodych niż mężów.

Porównywanie dwóch zbiorów nieskończonych

Czy możemy użyć tego sposobu do porównania dwóch zbiorów nieskończonych? Czy możemy połączyć w parę każdą liczbę nieparzystą z jakąś liczbą parzystą i każdą liczbę parzystą z jakąś liczbą nieparzystą, przy czym żadnej liczby nie wolno nam użyć więcej niż raz? Możemy! Każdą liczbę nieparzystą n możemy połączyć w parę z liczbą parzystą n + 1. Liczbę 5 łączymy więc z liczbą 5 + 1, liczbę 149 z liczbą 150 itd. Łączenie w pary pokazuje następująca animacja:

1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
31
33
35
37
39
41
43
45
47
49
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48
50

Dla każdej nieparzystej czerwonej liczby mamy odpowiadającą jej, unikalną niebieską liczbę parzystą, a dla każdej parzystej niebieskiej liczby mamy odpowiadającą jej, unikalną czerwoną liczbę nieparzystą. Udało nam się połączyć w pary wszystkie liczby nieparzyste ze wszystkimi liczbami parzystymi. A to oznacza, że liczb parzystych i nieparzystych jest tyle samo!

No dobrze, to nie było specjalnie zaskakujące, prawda? Spróbujmy porównać inne zbiory liczb: wszystkie liczby naturalne kontra liczby parzyste. Tu wynik będzie już bardziej szokujący.

Czy więcej jest liczb naturalnych, czy parzystych?

Których liczb jest więcej? Naturalnych czy parzystych?

1
2
3
4
5
6
7
8
…
 
2
 
4
 
6
 
8
…

Wyraźnie widać, że liczby naturalne zawierają w sobie wszystkie liczby parzyste. A oprócz tego liczby naturalne zawierają jeszcze jakieś dodatkowe liczby – liczby nieparzyste. Jasne więc, że liczb naturalnych musi być więcej – przecież jest ich dwa razy więcej!

No tak, gdyby tylko życie było takie proste!

Nas przecież nie interesuje, czy jeden zbiór liczb zawiera jakieś liczby dodatkowe. Interesuje nas, czy liczby z dwóch różnych zbiorów potrafimy jakoś połączyć w pary. Czy potrafimy połączyć w pary liczby parzyste z liczbami naturalnymi tak, żeby każda dostała parę? Mimo że liczb naturalnych jest więcej? Ależ tak, potrafimy.

Każdą liczbę naturalną p możemy po prostu połączyć w parę z liczbą parzystą 2 · p i na odwrót – każdą liczbę parzystą n możemy połączyć w parę z liczbą naturalną n / 2. Liczbę naturalną 5 łączymy więc z liczbą parzystą 10, a liczbę parzystą 14 z liczbą naturalną 7 itd. Łączenie w pary dla kilku pierwszych liczb pokazuje następująca animacja:

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48
50

Nagle dla każdej liczby naturalnej mamy jakąś unikalną liczbę parzystą, a dla każdej liczby parzystej mamy unikalną liczbę naturalną! Co z tego, że liczb naturalnych jest więcej. Jednych i drugich jest nieskończenie wiele i nigdy nam się nie skończą. Z naszego punktu widzenia zbiór liczb parzystych jest więc tak samo duży jak zbiór liczb naturalnych! 😱

Jest to trochę nieintuicyjne, ale tak właśnie jest.

Czy więcej jest liczb naturalnych, czy wymiernych?

Liczby wymierne to ułamki. Wszystkie liczby, które da się zapisać w postaci p/q, gdzie p i q są liczbami całkowitymi i $q \neq 0$, są liczbami wymiernymi. Na przykład ½, ¾ albo 8 są liczbami wymiernymi, ale π już liczbą wymierną nie jest. Liczb wymiernych jest dużo więcej niż naturalnych. Na przykład między liczbami 2 i 4 leży tylko jedna liczba całkowita, mianowicie 3, ale nieskończenie wiele liczb wymiernych. Nieskończenie wiele liczb wymiernych jest nawet między liczbami 0,001 i 0,002. Tak dużo jest liczb wymiernych!

Można by więc oczekiwać, że zbiór liczb wymiernych musi być większy od zbioru liczb naturalnych. Ale jednocześnie wszyscy jakoś przeczuwamy, że jest w tym jakiś haczyk. No dobrze, spróbujmy połączyć w pary liczby wymierne z liczbami naturalnymi. Zaczniemy od tego, że wypiszemy liczby wymierne w takiej tabeli:

1⁄1
1⁄2
1⁄3
1⁄4
1⁄5
1⁄6
2⁄1
2⁄2
2⁄3
2⁄4
2⁄5
2⁄6
3⁄1
3⁄2
3⁄3
3⁄4
3⁄5
3⁄6
4⁄1
4⁄2
4⁄3
4⁄4
4⁄5
4⁄6
5⁄1
5⁄2
5⁄3
5⁄4
5⁄5
5⁄6
6⁄1
6⁄2
6⁄3
6⁄4
6⁄5
6⁄6

Schemat powinien być jasny: wszystkie ułamki w pierwszym wierszu mają w liczniku (nad kreską ułamkową) jedynkę, a w mianowniku kolejno rosnące liczby 1, 2, 3 itd. W kolumnie jest na odwrót. Gdybyśmy ciągnęli to w nieskończoność, mielibyśmy w tej tabeli wszystkie istniejące ułamki. Na przykład ułamek 1478/517 znajduje się w wierszu 1478 i w kolumnie 517. Spróbujmy teraz zbudować naszą funkcję łączącą w pary. Moglibyśmy zrobić to tak:

  • Liczbę naturalną 1 łączymy w parę z pierwszym ułamkiem w pierwszym wierszu, czyli z 1/1
  • Liczbę naturalną 2 łączymy w parę z drugim ułamkiem w pierwszym wierszu, czyli z 1/2
  • Liczbę naturalną 3 łączymy w parę z trzecim ułamkiem w pierwszym wierszu, czyli z 1/3
  • Liczbę naturalną 4 łączymy w parę z czwartym ułamkiem w pierwszym wierszu, czyli z 1/4
  • …

Czy udało nam się w ten sposób połączyć w pary wszystkie liczby naturalne? No tak. Każda liczba naturalna ma swój odpowiednik. Liczba naturalna 174 ma za odpowiednik ułamek 1/174. Ale czy działa to też w drugą stronę? Czy każdy ułamek ma swój odpowiednik wśród liczb naturalnych? Jaki odpowiednik ma ułamek 2/3? Żaden, bo naszą funkcją łączącą w pary nigdy nie dotarliśmy do drugiego wiersza. Udało nam się połączyć w pary tylko pierwszy wiersz ułamków.

Czy to znaczy, że liczb wymiernych jest więcej niż naturalnych? Niestety nie – to, że nie działa nam jedna strategia łączenia w pary, nie znaczy, że nie zadziała inna. Spróbujmy tym razem iść po przekątnych:

1⁄1
1⁄2
1⁄3
1⁄4
1⁄5
1⁄6
2⁄1
2⁄2
2⁄3
2⁄4
2⁄5
2⁄6
3⁄1
3⁄2
3⁄3
3⁄4
3⁄5
3⁄6
4⁄1
4⁄2
4⁄3
4⁄4
4⁄5
4⁄6
5⁄1
5⁄2
5⁄3
5⁄4
5⁄5
5⁄6
6⁄1
6⁄2
6⁄3
6⁄4
6⁄5
6⁄6
  • Liczbę naturalną 1 łączymy w parę z ułamkiem 1/1 (pierwsza przekątna),
  • liczbę naturalną 2 łączymy w parę z ułamkiem 1/2 (druga przekątna),
  • liczbę naturalną 3 łączymy w parę z ułamkiem 2/1 (druga przekątna),
  • liczbę naturalną 4 łączymy w parę z ułamkiem 1/3 (trzecia przekątna),
  • liczbę naturalną 5 łączymy w parę z ułamkiem 2/2 (trzecia przekątna),
  • liczbę naturalną 6 łączymy w parę z ułamkiem 3/1 (trzecia przekątna),
  • itd.

Tę strategię łączenia w pary możesz obejrzeć na animacji:

1⁄1
1
1⁄2
2
1⁄3
4
1⁄4
7
1⁄5
11
1⁄6
16
2⁄1
3
2⁄2
5
2⁄3
8
2⁄4
12
2⁄5
17
2⁄6
 
3⁄1
6
3⁄2
9
3⁄3
13
3⁄4
18
3⁄5
 
3⁄6
 
4⁄1
10
4⁄2
14
4⁄3
19
4⁄4
 
4⁄5
 
4⁄6
 
5⁄1
15
5⁄2
20
5⁄3
 
5⁄4
 
5⁄5
 
5⁄6
 
6⁄1
21
6⁄2
 
6⁄3
 
6⁄4
 
6⁄5
 
6⁄6
 

W ten sposób możemy objąć wszystkie ułamki. Żadna przekątna nie jest nieskończona, więc na żadnej przekątnej nie utkniemy „na zawsze”. W końcu każdy ułamek będzie miał przypisaną jakąś liczbę naturalną i oczywiście każda liczba naturalna będzie miała przypisany jakiś unikalny ułamek.

No… Właściwie nie do końca. Kiedy znowu spojrzymy na naszą tabelę ułamków, zauważymy, że wiele liczb się w niej powtarza. Na przykład ułamki 1/1, 2/2, 3/3 itd. przedstawiają tę samą liczbę – liczbę 1. Tak samo ułamki 1/2, 2/4 i 3/6 przedstawiają jedną drugą. W rzeczywistości więc liczby naturalne 1, 5, 13 itd. odwzorowujemy na tę samą liczbę wymierną 1! Mamy kilku panów młodych, którzy biorą ślub z tą samą panną młodą. Tak nie można!

Na szczęście łatwo to naprawić. Po prostu skreślimy z naszej tabeli wszystkie ułamki, które nie są w postaci nieskracalnej, czyli skreślimy wszystkie ułamki, które da się skrócić. Po tym skreśleniu zostaną nam w tabeli tylko unikalne liczby wymierne i nasza sztuczka z przekątnymi zadziała. Każda liczba naturalna zostanie połączona w parę z unikalną liczbą wymierną i na odwrót.

A to oznacza, że zbiór liczb naturalnych jest tak samo duży jak zbiór liczb wymiernych!

Na razie wygląda na to, że wszystkie zbiory nieskończone są tak samo duże. Czy istnieje jakiś zbiór nieskończony, który jest większy od zbioru liczb naturalnych?

Czy więcej jest liczb naturalnych, czy rzeczywistych?

Do gry wchodzi nasza ostatnia deska ratunku: liczby rzeczywiste. Żadnych innych liczb na osi liczbowej już nie mamy. Jak wyglądają liczby rzeczywiste? Liczby rzeczywiste zawierają w sobie wszystkie liczby wymierne, a do tego jeszcze wszystkie niewymierne. Jeśli zapiszemy liczbę w postaci dziesiętnej, to liczba wymierna:

  • ma albo skończone rozwinięcie dziesiętne, np. 0,4841554,
  • albo nieskończone rozwinięcie okresowe: 0,1313131313…

Liczby niewymierne mają za to zawsze nieskończone rozwinięcie dziesiętne, które w dodatku nie jest okresowe. Liczbą niewymierną jest na przykład liczba π, która równa się 3,141592653… (żadnego okresu). Powiedzmy sobie od razu, że liczb rzeczywistych jest dużo więcej niż liczb wymiernych, a więc i liczb naturalnych. Zbiór liczb rzeczywistych jest większy od zbioru liczb naturalnych. A jak to udowodnimy?

Wyobraź sobie, że znaleźliśmy jakąś strategię łączenia w pary wszystkich liczb naturalnych ze wszystkimi liczbami rzeczywistymi. Powiedzmy, że wygląda ona tak:

1 → 0,3452807674449021…
2 → 0,8978319745321683…
3 → 0,8972169570849831…
4 → 0,0635759905832629…
5 → 0,0081863365749335…
6 → 0,4000559394278442…
7 → 0,8637537627594889…
…

Załóżmy, że po lewej stronie mamy wszystkie liczby naturalne, a po prawej wszystkie rzeczywiste. Gdyby to była prawda, nie dałoby się znaleźć żadnej liczby rzeczywistej, której brakowałoby po prawej stronie. Skoro już zdradziliśmy, że zbiór liczb rzeczywistych jest większy, to znaczy, że po prawej stronie jakiejś liczby brakuje. No dobrze, ale której? Na przykład widzimy, że brakuje tam liczby 0,4818063607183678. Ale co, jeśli akurat chowa się pod liczbą 8?

1 → 0,3452807674449021…
2 → 0,8978319745321683…
3 → 0,8972169570849831…
4 → 0,0635759905832629…
5 → 0,0081863365749335…
6 → 0,4000559394278442…
7 → 0,8637537627594889…
8 → 0,4818063607183678
…

A co z liczbą 0,4208424736008147? Też jej tam nie widzimy. Ale co, jeśli akurat chowa się pod liczbą dziewięć?

1 → 0,3452807674449021…
2 → 0,8978319745321683…
3 → 0,8972169570849831…
4 → 0,0635759905832629…
5 → 0,0081863365749335…
6 → 0,4000559394278442…
7 → 0,8637537627594889…
8 → 0,4818063607183678
9 → 0,4208424736008147
…

Tak to nie pójdzie. Oczywiście nie możemy wypisać wszystkich par, bo jest ich nieskończenie wiele, więc nie możemy tak po prostu zgadywać, czy dana liczba przypadkiem tam jest, czy nie. Potrzebowalibyśmy znaleźć liczbę, która różni się od wszystkich liczb po prawej stronie tabeli, chociaż nie wiemy, jakie są wszystkie liczby po prawej. Jak to zrobić?

Żeby dwie liczby się różniły, wystarczy, że będą się różnić jedną cyfrą. Na przykład liczby 0,123456 i 0,123457 nie są równe – a różnią się tylko jedną cyfrą. To nam wystarczy. Możemy więc w naszej tabeli przy n-tej liczbie rzeczywistej wyróżnić n-tą cyfrę po przecinku:

1 → 0.3452807674449021…
2 → 0,8978319745321683…
3 → 0,8972169570849831…
4 → 0,0635759905832629…
5 → 0,0081863365749335…
6 → 0,4000559394278442…
7 → 0,8637537627594889…
8 → 0,4818063607183678
9 → 0,4208424736008147
…

i nową liczbę złożymy tak, żeby n-tą cyfrą po przecinku różniła się od n-tej cyfry n-tej liczby rzeczywistej. Nową liczbę budujemy więc tak, że zaczynamy od zera: 0,??? i pierwszą cyfrę po przecinku wybieramy tak, żeby różniła się od pierwszej cyfry pierwszej liczby rzeczywistej, czyli żeby różniła się od trójki. Napiszemy na przykład 0,1???. Druga cyfra musi być różna od drugiej cyfry drugiej liczby rzeczywistej, czyli musi być różna od 9. Napiszemy na przykład dwójkę: 0,12???. I tak dalej. Pierwszych dziewięć cyfr mogłoby więc wyglądać tak: 0,123123127 (zob. ostatni wiersz tabeli):

1 → 0.3452807674449021…
2 → 0,8978319745321683…
3 → 0,8972169570849831…
4 → 0,0635759905832629…
5 → 0,0081863365749335…
6 → 0,4000559394278442…
7 → 0,8637537627594889…
8 → 0,4818063607183678
9 → 0,4208424736008147
? → 0,123123127

Widzimy, że ta liczba jest różna od wszystkich liczb, bo od każdej z nich różni się przynajmniej jedną cyfrą. Chociaż nasza tabela zawiera nieskończenie wiele liczb, nasza nowa liczba składa się z nieskończenie wielu cyfr, i to tak, że od każdej liczby w tabeli różni się przynajmniej jedną cyfrą. I zauważ, że możemy zbudować nieskończenie wiele liczb, których w tabeli nie ma! Co z tego wynika? Nie potrafimy połączyć w pary liczb naturalnych z liczbami rzeczywistymi. Zawsze zostanie nam nieskończenie wiele liczb rzeczywistych, które nie będą połączone w parę z żadną liczbą naturalną. Liczb rzeczywistych jest dużo więcej niż liczb naturalnych.

Uwagi na koniec

  • W całym artykule dla uproszczenia pomijaliśmy liczby ujemne. One oczywiście niczego nie zmieniają, a w ramach pracy domowej możesz opisane tu strategie łączenia w pary przerobić tak, żeby działały także z liczbami ujemnymi.
  • Wielkość zbioru liczb naturalnych ma nawet swoją nazwę. Mówimy na nią alef zero.
  • W matematyce zamiast „wielkość zbioru” często używamy pojęcia moc zbioru (kardynalność).