Macierz odwrotna

Macierz odwrotna to macierz, która jest zdefiniowana dla kwadratowych macierzy nieosobliwych. Mnożąc macierz przez jej macierz odwrotną, dostaniemy macierz jednostkową.

Definicja

Macierz odwrotną można obliczyć tylko dla macierzy kwadratowej, dla macierzy prostokątnej macierz odwrotna nie jest zdefiniowana. Macierz odwrotna do macierzy A (oznaczamy A⁻¹) istnieje ponadto tylko wtedy, gdy macierz jest nieosobliwa (nie ma liniowo zależnych wierszy). Ta macierz jest wtedy wyznaczona jednoznacznie. Dwie główne własności macierzy odwrotnej to:

$$(A^{-1})^{-1}=A$$

I przede wszystkim najważniejsza własność macierzy odwrotnej (która jest jednocześnie definicją macierzy odwrotnej):

$$A\cdot A^{-1} = E$$

E to macierz jednostkowa.

Jak obliczyć macierz odwrotną

A teraz o metodzie obliczania macierzy odwrotnej. Najprostszym algorytmem jest metoda eliminacji Gaussa, która polega na tym, że przekształcasz macierz A do postaci jednostkowej, obok tej macierzy zapisujesz macierz jednostkową i na niej wykonujesz te same przekształcenia co na macierzy A. Na końcu obliczeń masz po lewej macierz A przekształconą w macierz jednostkową, a po prawej macierz odwrotną. Wypróbujmy to na prostym przykładzie:

$$\left(\begin{array}{cc}1&2\\3&4\end{array}\right)$$

Rzut oka wystarczy, żeby stwierdzić, że macierz jest nieosobliwa, więc ma sens obliczać macierz odwrotną. Kiedy obliczamy macierz odwrotną, zwykle zapisujemy to w postaci:

$$\left(\begin{array}{cc|cc}1&2&1&0\\3&4&0&1\end{array}\right)$$

Teraz lewą macierz przekształcimy w macierz jednostkową, a identyczne przekształcenia będziemy wykonywać na prawej macierzy. Do drugiego wiersza dodamy pierwszy wiersz pomnożony przez −3. Najpierw lewa macierz:

$$\left(\begin{array}{cc|cc}1&2&1&0\\0&-2&0&1\end{array}\right)$$

Teraz do drugiego wiersza prawej macierzy dodamy pierwszy wiersz prawej macierzy pomnożony przez −3:

$$\left(\begin{array}{cc|cc}1&2&1&0\\0&-2&-3&1\end{array}\right)$$

Teraz musimy dostać zero na pozycji a₁₂. Wystarczy, że do pierwszego wiersza dodamy drugi wiersz. Teraz wykonam już oba przekształcenia w jednym kroku:

$$\left(\begin{array}{cc|cc}1&0&-2&1\\0&-2&-3&1\end{array}\right)$$

A teraz pozbędziemy się tej minus dwójki, dzieląc cały wiersz przez minus dwa:

$$\left(\begin{array}{cc|cc}1&0&-2&1\\0&1&\frac32&-\frac12\end{array}\right)$$

Wynikowa macierz odwrotna to:

$$\left(\begin{array}{cc}-2&1\\\frac32&-\frac12\end{array}\right)$$

Jeśli chcesz sprawdzić, czy obliczona macierz odwrotna jest poprawna, pomnóż ją przez macierz wyjściową:

$$\left(\begin{array}{cc}-2&1\\\frac32&-\frac12\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{cc}1&2\\3&4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right)$$

Dla kontroli możesz zajrzeć do WolframAlpha.

Obliczanie za pomocą wyznacznika

Macierz odwrotną możemy obliczyć także za pomocą wyznacznika. Jeśli mamy macierz nieosobliwą A, to macierz odwrotna A⁻¹ ma elementy a⁻¹_ij, które są równe:

$$a^{-1}_{ij}=\frac{(-1)^{i+j}\cdot\left|A_{j,i}\right|}{\left|A\right|}$$

Po lewej stronie mamy i,j, ale w liczniku mamy j,i, uważaj na to, to nie błąd, że jest to tak zamienione. W liczniku mamy macierz A_j,i, czyli podmacierz macierzy A, którą dostaniemy, gdy z macierzy A usuniemy j-ty wiersz i i-tą kolumnę. Czyli jeśli

$$ A=\begin{pmatrix} 1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9 \end{pmatrix}, $$

to zachodzi:

$$ A_{1{,}1}=\begin{pmatrix} \not{1}&\not{2}&\not{3}\\ \not{4}&5&6\\ \not{7}&8&9 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5&6\\ 8&9 \end{pmatrix},\quad A_{1{,}3}=\begin{pmatrix} 4&5\\ 7&8 \end{pmatrix},\quad A_{2{,}2}=\begin{pmatrix} 1&3\\ 7&9 \end{pmatrix} $$

Jeśli nie podoba ci się, że indeksy są tam odwrotnie, możemy to zapisać jeszcze tak:

$$(a^{-1}_{ij})^T=\frac{(-1)^{i+j}\cdot\left|A_{i,j}\right|}{\left|A\right|}$$

Czyli jeśli nie zamienisz indeksów, obliczysz transponowaną macierz odwrotną. Jeśli tę transponowaną macierz jeszcze raz transponujesz, dostaniesz macierz odwrotną.

Liczenie tą metodą jest zwykle żmudne, nadaje się przede wszystkim do obliczeń komputerowych, bo to prosty, mechaniczny algorytm. W przykładzie spróbujemy obliczyć tylko dwie liczby. Weźmy więc taką macierz:

$$ A=\begin{pmatrix} 3&-4&5\\ 2&-3&1\\ 3&-5&-1 \end{pmatrix} $$

Najpierw obliczymy wyznacznik całej tej macierzy, używa się go w mianowniku ułamka:

$$det(A)=-1$$

Teraz obliczymy pierwszy element macierzy odwrotnej. Oznaczymy go a⁻¹₁₁. Będzie on równy:

$$a^{-1}_{11}=\frac{(-1)^{1+1}\cdot\left|A_{1{,}1}\right|}{\left|A\right|}$$

Będziemy potrzebować podmacierzy A_1,1. Pomijając pierwszy wiersz i pierwszą kolumnę, dostaniemy:

$$A_{1{,}1}= \begin{pmatrix} -3&1\\ -5&-1 \end{pmatrix} $$

Teraz musimy obliczyć wyznacznik tej macierzy:

$$det(A_{1{,}1})=8$$

I teraz możemy już wszystko podstawić do wzoru:

$$a^{-1}_{11}=\frac{(-1)^{2}\cdot8}{-1}=\frac{1\cdot8}{-1}=-8$$

I mamy pierwszy element macierzy odwrotnej.

$$A^{-1}= \begin{pmatrix} -8&?&?\\ ?&?&?\\ ?&?&? \end{pmatrix}$$

Drugą liczbę dostaniemy tak:

$$a^{-1}_{12}=\frac{(-1)^{1+2}\cdot\left|A_{2{,}1}\right|}{\left|A\right|}$$

Wyznacznik podmacierzy będzie równy

$$det(A_{2{,}1})= \begin{vmatrix} -4&5\\ -5&-1 \end{vmatrix}=29 $$

A po podstawieniu wszystkiego dostaniemy:

$$a^{-1}_{12}=\frac{(-1)^{3}\cdot29}{-1}=\frac{-1\cdot29}{-1}=\frac{-29}{-1}=29$$

Kolejny element układanki:

$$A^{-1}= \begin{pmatrix} -8&29&?\\ ?&?&?\\ ?&?&? \end{pmatrix}$$

I tak dalej, i tak dalej.