Wyznaczniki

W algebrze liniowej wyznacznik to odwzorowanie, które każdej macierzy kwadratowej A przyporządkowuje skalar, oznaczany |A|. W przypadku macierzy liczbowych wyznacznik jest równy jakiejś liczbie rzeczywistej.

Permutacja n-elementowego ciągu

Żeby móc zdefiniować wyznacznik, będziemy musieli wiedzieć, jak obliczyć permutację ciągu, a dokładniej znak permutacji. Najlepiej wyjaśnię to na przykładzie. Mamy uporządkowaną trójkę <1, 2, 3>, która przechodzi w trójkę <2, 3, 1>. W przypadku permutacji zwykle zapisujemy to tak:

$$ \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 2&3&1 \end{pmatrix} $$

Teraz musimy ustalić, ile zamian liczb musieliśmy wykonać, żeby z pierwszego ciągu dostać drugi. Przy czym zamieniać wolno tylko liczby stojące obok siebie. Mamy więc trójkę <1, 2, 3>. Teraz zamienimy jedynkę z dwójką: <2, 1, 3>. Teraz zamienimy jedynkę z trójką: <2, 3, 1>, i w ten sposób dostaliśmy szukaną permutację. Do uzyskania obrazu potrzebowaliśmy dwóch zamian. Znak permutacji ustalimy prosto — jeśli liczba zamian jest parzysta, znak jest dodatni. Jeśli liczba jest nieparzysta, znak jest ujemny. W naszym przypadku chodzi więc o dodatni znak permutacji. Spróbujmy jeszcze wyznaczyć znak permutacji w takim przykładzie:

$$ \begin{pmatrix} 4&2&3&1\\1&3&4&2 \end{pmatrix} $$

Będziemy postępować następująco:

$$\left<4, 2, 3, 1\right> \rightarrow \left<4, 2, 1, 3\right> \rightarrow \left<4, 1, 2, 3\right> \rightarrow \left<1, 4, 2, 3\right> \rightarrow \left<1, 4, 3, 2\right> \rightarrow \left<1, 3, 4, 2\right>$$

Gotowe. Potrzebowaliśmy w sumie pięciu zamian, więc tym razem dostaliśmy permutację nieparzystą.

Znak permutacji oznaczamy za pomocą symbolu Leviego-Civity:

$$ \epsilon_{i_1,…,i_n}= \begin{cases} +1 & \mbox{jeśli }(i_1, i_2, …, i_n) \mbox{ jest parzystą permutacją } (1{,}2,3{,}4,…, n) \\ -1 & \mbox{jeśli }(i_1, i_2, …, i_n) \mbox{ jest nieparzystą permutacją } (1{,}2,3{,}4,…, n) \\ 0 & \mbox{w przeciwnym razie} \end{cases}$$

Definicja wyznacznika

Wyznacznik jest liczbą; jest zdefiniowany tylko dla macierzy kwadratowych i zapisuje się go albo jako $\det A$, albo jako |A|. Ta liczba jest zdefiniowana tak:

$$|A|=\sum_{i_1,\ldots,i_n}^n\epsilon_{i_1,\ldots,i_n}a_{1i_1}\cdot a_{2i_2}\cdot \ldots \cdot a_{ni_n}$$

Spróbujmy obliczyć wyznacznik macierzy kwadratowej wymiaru 2×2:

$$A= \begin{pmatrix} 4&2\\ 1&3 \end{pmatrix} $$

Jeśli do definicji podstawimy konkretną wartość n = 2, dostaniemy taki wzór:

$$|A|=\sum_{i_1, i_2}^2\epsilon_{i_1, i_2} \cdot a_{1i_1}\cdot a_{2i_2}$$

Za i₁ i i₂ podstawiamy kolejno wartości 1 i 2. Dostaniemy w ten sposób w sumie cztery możliwości: a) i₁ = 1, i₂ = 1, b) i₁ = 1, i₂ = 2, c) i₁ = 2, i₂ = 1, d) i₁ = 2, i₂ = 2.

W przypadku możliwości a) i d) symbol Leviego-Civity jest równy zero, bo ε_1,1 = 0 i ε_2,2 = 0. W sumie we wzorze dostaniemy więc w tym kroku zero, bo $0 \cdot a_{1i_1}\cdot a_{2i_2}=0$.

Zostają możliwości b) i c). W przypadku b) i₁ = 1, i₂ = 2 mamy: ε_1,2 = 1, bo <1, 2> jest parzystą permutacją <1, 2>. Dostajemy pierwszy składnik:

$$1\cdot a_{1i_1}\cdot a_{2i_2} = 1\cdot a_{11}\cdot a_{22}=4\cdot3=12$$

W pozostałym przypadku mamy i₁ = 2, i₂ = 1. Wartość ε_2,1 jest równa −1. Dostajemy drugi składnik:

$$-1\cdot a_{1i_1}\cdot a_{2i_2} = -1\cdot a_{12}\cdot a_{21}=-1\cdot2\cdot1=-2$$

Teraz dodamy wszystkie cztery przypadki a) + b) + c) + d) i dostaniemy

$$|A|=0+12-2+0=10.$$

Wyznacznik macierzy A jest równy dziesięciu.

Możemy zauważyć, że ostatecznie obliczyliśmy wyznacznik macierzy jako różnicę

$$|A|=a_{11} \cdot a_{22} - a_{12}\cdot a_{21}$$

Ten wzór obowiązuje ogólnie dla dowolnej macierzy wymiaru 2×2.

Reguła Sarrusa

Za pomocą reguły Sarrusa obliczamy wyznacznik macierzy stopnia trzeciego. Ten wyznacznik jest już trochę bardziej skomplikowany. Policzmy więc na przykład wyznacznik takiej macierzy:

$$A=\begin{pmatrix}5&3&2\\1&7&-8\\0&-2&7\end{pmatrix}$$

Teraz będziemy postępować podobnie jak przy macierzy stopnia drugiego, ale dla przejrzystości rozszerzymy tę macierz o kolejne dwa wiersze — pod macierzą przepiszemy jej dwa pierwsze wiersze:

$$A'=\begin{pmatrix}5&3&2\\1&7&-8\\0&-2&7\\5&3&2\\1&7&-8\end{pmatrix}$$

Pierwszy i czwarty wiersz macierzy są więc takie same, tak samo drugi i piąty. Teraz będziemy postępować tak, że dodamy iloczyny elementów na przekątnych głównych i odejmiemy od nich sumę iloczynów elementów na przekątnych pobocznych. Po podstawieniu dostaniemy:

$$|A|=[5 \cdot 7 \cdot 7 + 1 \cdot (-2) \cdot 2 + 0 \cdot 3 \cdot (-8)] - [2 \cdot 7 \cdot 0 + (-8) \cdot (-2) \cdot 5 + 7 \cdot 3 \cdot 1]=140$$

Własności wyznacznika

• Jeśli pomnożymy wiersz albo kolumnę macierzy A przez liczbę c ≠ 0, dostaniemy macierz A' i dla ich wyznaczników będzie zachodzić: c|A| = |A'|. Czyli jeśli pomnożysz wiersz macierzy przez trzy i obliczysz wyznacznik, to wyznacznik wyjściowej macierzy dostaniesz, dzieląc otrzymany wynik przez trzy.

• Jeśli i-ty wiersz pomnożymy przez liczbę i dodamy do j-tego wiersza, wyznacznik macierzy się nie zmieni. Znowu to samo dla kolumn.

• Jeśli co najmniej jeden wiersz macierzy jest zerowy, wyznacznik macierzy będzie równy zero.

• Macierz nieosobliwa będzie miała zawsze wyznacznik różny od zera, a macierz osobliwa będzie miała zawsze wyznacznik równy zero.

• Wyznacznik macierzy w postaci schodkowej jest równy iloczynowi elementów na głównej przekątnej.

• Jeśli zamienimy miejscami dwa wiersze macierzy, zmieni się znak wyznacznika.

• |A| = |A^T|

• |A · B| = |A| · |B|

• |A⁻¹| = 1/|A|

Z poprzednich własności wynika dość prosty sposób obliczania wyznacznika. Wystarczy przekształcić macierz do postaci schodkowej, a potem pomnożyć elementy na głównej przekątnej. Do dzieła:

$$ A=\begin{pmatrix} 1&3&8\\2&5&0\\-2&2&5 \end{pmatrix} $$

Standardowymi przekształceniami macierzy sprowadzimy teraz macierz do postaci schodkowej:

$$ \begin{pmatrix} 1&3&8\\2&5&0\\-2&2&5 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1&3&8\\0&-1&-16\\0&8&21 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1&3&8\\0&-1&-16\\0&0&-107 \end{pmatrix} $$

Teraz obliczymy iloczyn elementów na przekątnej: 1 · (−1) · (−107) = 107.

Oblicz wyznacznik tej macierzy:

$$A=\begin{pmatrix} 3&2&1&5\\2&7&5&6\\6&4&1&0\\4&-3&1&1 \end{pmatrix} $$

Na początek dobrze będzie zamienić pierwszy i drugi wiersz, żeby dostać najmniejszą liczbę na górę. Nie wolno nam jednak zapomnieć o zmianie znaku:

$$ \left|\begin{matrix}3&2&1&5\\2&7&5&6\\6&4&1&0\\4&-3&1&1\end{matrix}\right| = -\left|\begin{matrix}2&7&5&6\\3&2&1&5\\6&4&1&0\\4&-3&1&1\end{matrix}\right| $$

Dalej bardzo się przyda pomnożyć drugi wiersz przez dwa, żeby ładnie się dodawało. Nie wolno nam zapomnieć pomnożyć całego wyznacznika przez jedną drugą:

$$ -\left|\begin{matrix}2&7&5&6\\3&2&1&5\\6&4&1&0\\4&-3&1&1\end{matrix}\right| = -\frac12 \left|\begin{matrix}2&7&5&6\\6&4&2&10\\6&4&1&0\\4&-3&1&1\end{matrix}\right| $$

A teraz będziemy już postępować klasycznie:

$$\begin{eqnarray} -\frac12 \left|\begin{matrix}2&7&5&6\\6&4&2&10\\6&4&1&0\\4&-3&1&1\end{matrix}\right| &=& -\frac12 \left| \begin{matrix}2&7&5&6\\0&-17&-13&-8\\0&-17&-14&-18\\0&-17&-9&-11\end{matrix}\right| \\ &=& -\frac12 \left| \begin{matrix}2&7&5&6\\0&-17&-13&-8\\0&0&-1&-10\\0&0&4&-3\end{matrix}\right|\\ &=& -\frac12 \left|\begin{matrix}2&7&5&6\\0&-17&-13&-8\\0&0&-1&-10\\0&0&0&-43\end{matrix}\right|\\ &=& -\frac12 \cdot 2 \cdot (-17) \cdot (-1) \cdot (-43) = 731 \end{eqnarray}$$

Rozwinięcie Laplace’a

Laplace był takim miłym panem, który wymyślił dla nas kolejny algorytm obliczania wyznaczników macierzy. Żeby zrozumieć ten przepis, będziemy musieli umieć wyznaczyć specjalną podmacierz wyjściowej macierzy. Mamy daną macierz A i potrzebujemy utworzyć podmacierz, która powstaje tak, że z macierzy A usuniemy jeden wiersz i jedną kolumnę. Tę nową macierz oznaczymy S^A_ij, co mówi nam, że z macierzy A usunęliśmy i-ty wiersz i j-tą kolumnę. Przykład:

$$ A=\begin{pmatrix} 1&3&8\\2&5&0\\-2&2&5 \end{pmatrix} $$

Podmacierz S^A₁₂ miałaby taką postać:

$$ S^A_{12}=\begin{pmatrix} 2&0\\-2&5 \end{pmatrix} $$

Dalej definiujemy pojęcie minora, który jest niczym innym jak wyznacznikiem zdefiniowanej przez nas podmacierzy S^A_ij. Minor oznaczymy tak samo, tylko literą M, czyli $M^A_{ij}=|S^A_{ij}|$. Możemy mówić też o minorze elementu a_ij, którym jest właśnie M^A_ij.

Za pomocą tych minorów możemy obliczyć wyznacznik wyjściowej macierzy. W pierwszym kroku wybierzemy wiersz (albo kolumnę) macierzy. Potem dla każdego elementu tego wiersza obliczymy jego minor. Dostaniemy w ten sposób tyle minorów, ile elementów ma wiersz. Teraz możemy wyrazić wyznacznik wyjściowej macierzy A wymiaru n × n jako ważoną sumę tych minorów:

$$|A|=\sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} \cdot a_{ij} \cdot M^A_{ij}$$

gdzie i to wybrany przez nas wiersz. Jeśli będziemy sumować po zmiennej i, to na stałe wybierzemy zmienną j — indeks kolumny.

W praktyce wygląda to tak, że masz macierz i chcesz poznać jej wyznacznik. Bierzesz więc jedną kolumnę macierzy (albo wiersz), do każdego elementu tej kolumny wyznaczasz minor i przypisujesz znak (−1)^{i + j}, a wszystko dodajesz, przy czym każdy wyznacznik mnożysz przez element, którego minorem jest. Dzięki temu, że minor M^A_ij mnożymy jeszcze przez element a_ij, dobrze jest, jeśli ten element jest zerem. Wtedy odpada dalsze liczenie i oszczędzasz sobie pracy. Spróbujmy obliczyć wyznacznik tej macierzy:

$$A=\begin{pmatrix}5&4&8\\6&1&0\\2&3&9\end{pmatrix}$$

W macierzy jest jedno jedyne zero, więc najlepiej przeprowadzić rozwinięcie albo względem drugiego wiersza, albo względem trzeciej kolumny. Wybierzemy na przykład wiersz. W pierwszym kroku wyodrębnimy podmacierze:

$$\begin{eqnarray} S^A_{21}&=&\begin{pmatrix}4&8\\3&9\end{pmatrix}\\ S^A_{22}&=&\begin{pmatrix}5&8\\2&9\end{pmatrix}\\ S^A_{23}&=&\begin{pmatrix}5&4\\2&3\end{pmatrix}\\ \end{eqnarray}$$

Teraz obliczymy wyznaczniki, dzięki czemu dostaniemy minory. Dla macierzy stopnia drugiego to trywialne.

$$\begin{eqnarray} M^A_{21}&=&\left|\begin{matrix}4&8\\3&9\end{matrix}\right|=12\\ M^A_{22}&=&\left|\begin{matrix}5&8\\2&9\end{matrix}\right|=29\\ M^A_{23}&=&\left|\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right|=7\\ \end{eqnarray}$$

Teraz możemy to już podstawić do wzoru, i = 2:

$$\begin{eqnarray} |A|&=&(-1)^{2+1} \cdot 6 \cdot \left|\begin{matrix}4&8\\3&9\end{matrix}\right| + (-1)^{2+2}\cdot1\cdot\left|\begin{matrix}5&8\\2&9\end{matrix}\right|+(-1)^{2+3}\cdot\left|\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right|\cdot0\\ &=&(-1)^{2+1} \cdot 6 \cdot 12 + (-1)^{2+2}\cdot1\cdot29+(-1)^{2+3}\cdot7\cdot0=-43 \end{eqnarray}$$

Zauważ, że dzięki temu, że element na końcu drugiego wiersza jest zerowy, trzeci składnik też był równy zero. Kolejny przykład:

Oblicz wyznacznik tej macierzy metodą Laplace’a:

$$A=\begin{pmatrix}7&2&3&2\\6&6&6&7\\8&10&9&10\\5&7&3&3\end{pmatrix}$$

W trzeciej kolumnie mamy same wielokrotności trójki, możemy to wykorzystać i wyzerować tę kolumnę, żeby przygotować grunt pod późniejsze zastosowanie metody Laplace’a. Do drugiego wiersza dodamy więc pierwszy wiersz pomnożony przez −2, do trzeciego pierwszy wiersz pomnożony przez −3, a do czwartego pomnożony przez −1.

$$ \begin{pmatrix}7&2&3&2\\6&6&6&7\\8&10&9&10\\5&7&3&3\end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix}7&2&3&2\\-8&2&0&3\\-13&4&0&4\\-2&5&0&1\end{pmatrix} $$

Nie zmieniliśmy tym wartości wyznacznika, ale będzie nam się lepiej liczyło. Przeprowadzimy rozwinięcie względem trzeciej kolumny, w której mamy tylko jeden niezerowy element, więc w rozwinięciu zostanie nam tylko minor trzeciego elementu pierwszego wiersza:

$$ \left|\begin{matrix}7&2&3&2\\6&6&6&7\\8&10&9&10\\5&7&3&3\end{matrix}\right| (-1)^{1+3}\cdot3\left|\begin{matrix}-8&2&3\\-13&4&4\\-2&5&1\end{matrix}\right| 3\left|\begin{matrix}-8&2&3\\-13&4&4\\-2&5&1\end{matrix}\right| $$

W trzeciej kolumnie nowej macierzy widzimy na samym końcu jedynkę, co łatwo wykorzystamy do wyzerowania tej kolumny:

$$ \begin{pmatrix} -8&2&3\\-13&4&4\\-2&5&1 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} -2&-13&0\\-5&-16&0\\-2&5&1 \end{pmatrix} $$

Teraz przeprowadzimy rozwinięcie względem trzeciej kolumny. Znowu jest tam tylko jeden niezerowy element:

$$ 3\left|\begin{matrix}-2&-13&0\\-5&-16&0\\-2&5&1\end{matrix}\right| 3\cdot\left((-1)^{3+3}\cdot1\cdot\left|\begin{matrix}-2&-13\\-5&-16\end{matrix}\right|\right) 3\cdot\left|\begin{matrix}-2&-13\\-5&-16\end{matrix}\right| $$

A to możemy już obliczyć klasycznie: 3 · (32 − 65) = −99.