Rząd macierzy

Rząd macierzy to liczba, która mówi, ile niezależnych wierszy albo kolumn ma macierz.

Definicja

Rząd macierzy to maksymalna liczba liniowo niezależnych wierszy/kolumn w macierzy. Macierz zerowa ma rząd zero, każda inna macierz ma rząd co najmniej jeden. Macierz wymiaru m× n może mieć rząd co najwyżej min(m, n). Czyli jeśli macierz ma mniej wierszy niż kolumn, to rząd macierzy będzie co najwyżej równy liczbie wierszy. Podobnie dla kolumn.

Rząd macierzy oznacza się często angielskim słowem „rank” (w polskich podręcznikach także „rz”). Piszemy wtedy rank(A) = x.

Jak obliczyć rząd

Teraz o tym, jak się rząd macierzy oblicza. Jest to całkiem proste. Musisz przekształcić macierz do takiej postaci, z której będzie już wyraźnie widać, które wiersze są liniowo niezależne. Najczęściej robi się to tak, że macierz sprowadza się do postaci schodkowej (pod przekątną same zera), a wtedy już widać, jak z tą macierzą jest. Szybko do przykładu — mamy taką macierz:

$$\left(\begin{array}{ccc}1&2&1\\1&1&-1\\1&3&3\end{array}\right)$$

I mamy wyznaczyć jej rząd. Teraz musimy sobie uświadomić jeden drobiazg. Jeśli mamy dwa wiersze pełne liczb różnych od zera, to teoretycznie mogą być liniowo zależne. Musielibyśmy to sprawdzić rachunkiem. Jeśli jednak jeden z tych wierszy będzie miał na jakimś miejscu zero, a drugi wiersz na tym samym miejscu zera nie ma, możemy z pewnością stwierdzić, że zależne nie są. Nie znajdziemy bowiem żadnej liczby, przez którą moglibyśmy pomnożyć to zero (a tym samym cały wiersz), żeby dostać tam tę samą liczbę, która jest w drugim wierszu. Dlatego zawsze będziemy się starali sprowadzać macierze do postaci schodkowej, żeby uzyskać w nich te zera.

Poprzedni akapit możemy zapisać tak. Jeśli α₁, α₂≠0, to:

$$ \alpha_1\begin{pmatrix}1&2&3\end{pmatrix}+\alpha_2\begin{pmatrix}0&2&3\end{pmatrix}\ne\begin{pmatrix}0&a&b\end{pmatrix} $$

Dlatego staramy się doprowadzić macierz do podobnej postaci, żeby łatwo widzieć zależności. Spójrz na przykład:

$$ \begin{pmatrix} 4&-5&1\\ 0&7&2\\ 0&0&3 \end{pmatrix} $$

To jest macierz w postaci schodkowej, żadne wiersze nie są liniowo zależne. Nie możesz za pomocą dwóch pierwszych wierszy wyrazić trzeciego, bo jeśli masz niezerowe współczynniki alfa, to na pierwszych miejscach zawsze zostanie ci jakaś niezerowa liczba.

Postępowanie wygląda zwykle tak: najpierw dostaniemy zera w pierwszej kolumnie (oprócz pierwszego wiersza). Potem przekształcamy macierz dalej tak, żeby dostać zera w drugiej kolumnie, potem w trzeciej itd. itd. itd., aż w końcu mamy postać schodkową. Policzymy niezerowe wiersze i voilà, mamy rząd macierzy. Możemy używać tych przekształceń i nie zmienimy przy tym rzędu macierzy:

• Zamienić miejscami dowolne dwa wiersze.
• Pomnożyć wiersz przez dowolne niezerowe wyrażenie.
• Dodać jeden wiersz do drugiego.
• Wszystkie poprzednie przekształcenia można stosować także do kolumn.

Przykład

W naszej poprzedniej macierzy będziemy wykonywać przekształcenia tak: sprawdzimy, jaka jest zależność między elementami a₁₁ i a₂₁. Widzimy, że są takie same, więc żeby na miejscu a₂₁ dostać zero, musimy dodać pierwszy wiersz pomnożony przez −1. Do drugiego wiersza dodamy pierwszy wiersz pomnożony przez −1 (czyli od drugiego wiersza odejmiemy pierwszy):

$$\left(\begin{array}{ccc}1&2&1\\0&-1&-2\\1&3&3\end{array}\right)$$

Teraz mamy zero tam, gdzie chcieliśmy je mieć. Musimy jeszcze dostać zero na pozycji a₃₁. Tam znowu jest jedynka, więc po prostu odejmiemy pierwszy wiersz:

$$\left(\begin{array}{ccc}1&2&1\\0&-1&-2\\0&1&2\end{array}\right)$$

Teraz mamy już zera w pierwszej kolumnie, więc z zapałem zabieramy się do drugiej kolumny. Widzimy, że liczby a₂₂ i a₃₂ są przeciwne, więc wystarczy wiersze dodać:

$$\left(\begin{array}{ccc}1&2&1\\0&-1&-2\\0&0&0\end{array}\right)$$

I dostaliśmy jeden wiersz zerowy. Przekształcenia są już zakończone, doszliśmy do postaci schodkowej. Teraz już tylko policzymy niezerowe wiersze i mamy rząd. Jest on równy rank A = 2. Ta macierz miała rząd dwa.

Drugi przykład

Teraz spróbujemy obliczyć rząd trochę większej macierzy:

$$\left(\begin{array}{cccc}7&2&5&1\\1&3&5&-7\\4&-5&1&0\\2&8&10&-9\end{array}\right)$$

Rząd macierzy to maksymalna liczba liniowo niezależnych wierszy, więc możemy sobie pozwolić na przestawianie wierszy w macierzy, jak nam się podoba. Tutaj przydałoby się na przykład mieć wiersz z jedynką na początku na samej górze, żeby lepiej się liczyło. Możemy więc bez obaw zamienić pierwszy wiersz z drugim:

$$\left(\begin{array}{cccc}1&3&5&-7\\7&2&5&1\\4&-5&1&0\\2&8&10&-9\end{array}\right)$$

Teraz będziemy postępować tak samo jak w poprzednim przykładzie. W pierwszej kolumnie musimy mieć same zera (oczywiście oprócz pierwszego wiersza), więc do drugiego wiersza dodamy pierwszy wiersz pomnożony przez −7, do trzeciego pomnożony przez −4, a do ostatniego przez −2. Pierwszy wiersz pozostanie bez zmian:

$$\left(\begin{array}{cccc}1&3&5&-7\\0&-19&-30&50\\0&-17&-19&28\\0&2&0&5\end{array}\right)$$

Znowu zamienimy wiersze, tym razem powinniśmy dostać ostatni wiersz na miejsce drugiego, z powodu tej dwójki na drugiej pozycji. Zamienimy drugi i czwarty wiersz:

$$\left(\begin{array}{cccc}1&3&5&-7\\0&2&0&5\\0&-17&-19&28\\0&-19&-30&50\end{array}\right)$$

Ale widzimy, że pod dwójką mamy liczby −17 i −19. Żadna z tych liczb nie jest podzielna przez dwa, co jest dość niewygodne, wręcz paskudne. Dlatego teraz pomnożymy trzeci i czwarty wiersz przez dwa:

$$\left(\begin{array}{cccc}1&3&5&-7\\0&2&0&5\\0&-34&-38&56\\0&-38&-60&100\end{array}\right)$$

Teraz możemy kontynuować przekształcenia, próbując wyzerować drugą kolumnę. Do trzeciego wiersza dodamy drugi wiersz pomnożony przez 17, a do czwartego pomnożony przez 19:

$$\left(\begin{array}{cccc}1&3&5&-7\\0&2&0&5\\0&0&-38&141\\0&0&-60&195\end{array}\right)$$

No, teraz dostaliśmy dość — jak na dalsze przekształcenia — niewygodne liczby, ale jakoś sobie z tym poradzimy. Podzielimy trzeci wiersz przez −38:

$$ \begin{pmatrix} 1&3&5&-7\\ 0&2&0&5\\ 0&0&1&-141/38\\ 0&0&-60&195 \end{pmatrix} $$

A teraz pomnożymy trzeci wiersz przez 60 i dodamy do czwartego wiersza:

$$ \begin{pmatrix} 1&3&5&-7\\ 0&2&0&5\\ 0&0&1&-141/38\\ 0&0&0&195-\frac{60\cdot141}{38} \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1&3&5&-7\\ 0&2&0&5\\ 0&0&1&-141/38\\ 0&0&0&-\frac{525}{19} \end{pmatrix} $$

Wyszła nam wprawdzie brzydka, ale niezerowa liczba. Macierz ma więc rząd cztery, nie zawiera żadnego wiersza liniowo zależnego.

Przykład z parametrem

Jaki jest rząd macierzy A w zależności od parametru q?

$$ A=\begin{pmatrix} 1&8&17\\ q&5&8\\ 4&1&3 \end{pmatrix} $$

To jest trochę trudniejsze zadanie, bo mamy w nim parametr q. Musimy ustalić, przy jakich wartościach q macierz ma maksymalny rząd, o ile w ogóle, a przy jakich niższy. Będziemy postępować klasycznie, tylko czasem zamiast konkretnych wartości będziemy liczyć z abstrakcyjnym q. W pierwszym kroku przeniesiemy parametr q w jakieś ładniejsze miejsce, konkretnie do prawego dolnego rogu. Zamienimy więc drugi wiersz z trzecim, a następnie pierwszą kolumnę z ostatnią:

$$ \begin{pmatrix} 1&8&17\\ q&5&8\\ 4&1&3 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1&8&17\\ 4&1&3\\ q&5&8 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 17&8&1\\ 3&1&4\\ 8&5&q \end{pmatrix} $$

Teraz przenieśliśmy parametr w odpowiednie miejsce, gdzie nie będzie za bardzo przeszkadzał. W pierwszej kolumnie mamy jednak dość niewygodne liczby, za to w samym środku mamy jedynkę: przeniesiemy ją do lewego górnego rogu, tj. zamienimy pierwszy i drugi wiersz oraz pierwszą i drugą kolumnę:

$$ \begin{pmatrix} 17&8&1\\ 3&1&4\\ 8&5&q \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 3&1&4\\ 17&8&1\\ 8&5&q \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1&3&4\\ 8&17&1\\ 5&8&q \end{pmatrix} $$

Teraz wyszła z tego ładna macierz. Pomnożymy pierwszy wiersz przez −8 i dodamy do drugiego wiersza:

$$ \begin{pmatrix} 1&3&4\\ 8&17&1\\ 5&8&q \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1&3&4\\ 0&-7&-31\\ 5&8&q \end{pmatrix} $$

Pomnożymy pierwszy wiersz przez −5 i dodamy do trzeciego wiersza:

$$ \begin{pmatrix} 1&3&4\\ 0&-7&-31\\ 5&8&q \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1&3&4\\ 0&-7&-31\\ 0&-7&q-20 \end{pmatrix} $$

Świetnie, pierwszą kolumnę mamy taką, jak trzeba. Teraz do trzeciego wiersza dodamy drugi wiersz pomnożony przez −1:

$$ \begin{pmatrix} 1&3&4\\ 0&-7&-31\\ 0&-7&q-20 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1&3&4\\ 0&-7&-31\\ 0&0&q+11 \end{pmatrix} $$

I skończyliśmy przekształcanie macierzy. Widzimy, że pierwszy i drugi wiersz są na pewno liniowo niezależne. Liniowo zależny może być jednak trzeci wiersz. Wiersz będzie liniowo zależny, jeśli będzie cały zerowy, czyli jeśli wybierzemy parametr q tak, żeby wyrażenie q + 11 było równe zero. Oczywiście jeśli q = −11, to wiersz jest zerowy, a więc liniowo zależny.

Ostateczny werdykt: dla q = −11 macierz ma rząd dwa, w przeciwnym razie ma rząd trzy.