✖

Ciała

Do zrozumienia tego wykładu nie potrzebujesz żadnych specjalnych umiejętności ani wiadomości matematycznych. Wystarczy znać absolutne podstawy matematyki ze szkoły średniej i mieć ochotę dowiedzieć się czegoś nowego.

Straszydło o nazwie ciało

Jeśli już sama nazwa „ciało” w sensie algebraicznym budzi w tobie grozę, wiedz, że naprawdę nie ma się czego bać. Takie ciało jest tak naprawdę bardzo prostą rzeczą, jeśli spojrzymy na nie z właściwej strony.

Ciało to po prostu dowolny zbiór plus dwa działania dwuargumentowe, które spełniają pewne warunki. I tyle. Nic więcej, nic mniej. Jak widzisz, zdecydowanie nic niebezpiecznego ani przerażającego. A skoro to już wiemy, możemy bez strachu przyjrzeć się temu trochę bliżej.

Zbiór elementów ciała

Nasz dowolny zbiór oznaczymy T, a jego elementy będziemy nazywać elementami ciała. Uwierz, przyjacielu, że zbiór elementów ciała może być zupełnie dowolny. Może to być zbiór wszystkich liczb parzystych, zbiór wszystkich skarpetek, do których nie masz drugiej do pary, albo choćby twoja kolekcja pluszowych słoni. Chyba jedynym warunkiem jest to, że zbiór T nie może być pusty. Wtedy byśmy się za bardzo nie zabawili.

Działanie dwuargumentowe

Jeśli nie jest ci od razu jasne, czym właściwie jest to działanie dwuargumentowe, możesz je sobie wyobrazić jako taki mały młynek. Wkładasz do niego dwa (stąd „dwuargumentowe” w nazwie) elementy jakiegoś zbioru, lekko kręcisz korbką i wypada ci jakiś kolejny element twojego zbioru. Takim ładnym działaniem dwuargumentowym jest na przykład dzielenie. Ciekawi cię, ile to jest 10 / 5? Weź działanie dwuargumentowe dzielenia (młynek), w którym twoim zbiorem będzie zbiór liczb rzeczywistych. Do młynka wsyp najpierw dziesiątkę, a potem piątkę, zakręć korbką i – o dziwo – wypada dwójka.

Nasze dwa działania nazwiemy dodawaniem i mnożeniem i będziemy je oznaczać $\oplus$ i $\otimes$. Nie daj się zwieść ich nazwom. Z dodawaniem i mnożeniem, których używamy na co dzień, te działania nie muszą mieć wiele wspólnego. Właśnie dlatego, że elementami ciała mogą być dowolne obiekty. A na pluszowe słonie czy skarpetki „nasze” dodawanie i mnożenie zastosować się nie da.

Działania w ciele

Działania $\oplus$ i $\otimes$ muszą spełniać pewne warunki. Nie możemy ich wprowadzić całkiem dowolnie. Celem wprowadzania tych działań jest bowiem uogólnienie zwykłego dodawania i mnożenia, którego używamy dla liczb. Chcemy, żeby te działania dało się wprowadzić tak, żebyśmy mogli ich używać na elementach ciała, które, jak już wiemy, mogą być zupełnie dowolnymi obiektami, a więc nie tylko liczbami. Mimo to chcemy, żeby działania $\oplus$ i $\otimes$ zachowały jakiś podstawowy sens dodawania i mnożenia. Zapewnimy to tak, że wprowadzimy dziesięć warunków, które te działania muszą spełniać, żeby nasza struktura była ciałem. Te warunki będziemy nazywać aksjomatami ciała. Oto one:

  1. Przemienność dodawania — Dla dowolnych dwóch elementów a, b z ciała T musi zachodzić $a \oplus b = b \oplus a$.
  • Łączność dodawania — Dla dowolnych trzech elementów a, b, c z ciała T musi zachodzić $(a \oplus b) \oplus c = a \oplus (b \oplus c)$.
  • Istnienie elementu zerowego — Musi istnieć element ciała T, oznaczymy go 0 (uwaga, nie mylić z liczbą 0), który ma tę własność, że dla dowolnego elementu a z ciała T zachodzi $a \oplus 0 = a$.
  • Istnienie elementu przeciwnego — Do każdego elementu a z ciała T musi istnieć element ciała T, oznaczmy go -a, który ma tę własność, że zachodzi $a \oplus -a = 0$.
  • Przemienność mnożenia — Dla dowolnych dwóch elementów a, b z ciała T musi zachodzić $a \otimes b = b \otimes a$.
  • Łączność mnożenia — Dla dowolnych trzech elementów a, b, c z ciała T musi zachodzić $(a \otimes b) \otimes c = a \otimes (b \otimes c)$.
  • Istnienie elementu jednostkowego — Musi istnieć element ciała T, oznaczymy go 1 (uwaga, nie mylić z liczbą 1), który ma tę własność, że dla dowolnego elementu a z ciała T zachodzi $a \otimes 1 = a$.
  • Istnienie elementu odwrotnego — Do każdego elementu a różnego od 0 z ciała T musi istnieć element ciała T, oznaczmy go a−1, który ma tę własność, że zachodzi $a \otimes a^{-1} = 1$.
  • Rozdzielność — Dla dowolnych trzech elementów a, b, c z ciała T musi zachodzić $a \otimes ( b \oplus c ) = ( a \otimes b) \oplus (a \otimes c)$.
  • Nietrywialność — Element zerowy i jednostkowy nie mogą być jednym i tym samym elementem. Czyli $0 \neq 1$

Dla tych, którzy chcieliby poćwiczyć matematyczny formalizm, zapisałem tu aksjomaty ciała tak, jak zapisuje się je w matematycznym żargonie.

  1. $ \forall a,b \in T \quad a \oplus b = b \oplus a$
  • $ \forall a,b,c \in T \quad (a \oplus b) \oplus c = a \oplus (b \oplus c)$
  • $ \exists 0 \in T : \forall a \in T \quad a \oplus 0 = a$
  • $ \forall a \in T : \exists -a \in T \quad a \oplus -a = 0$
  • $ \forall a,b \in T \quad a \otimes b = b \otimes a$
  • $ \forall a,b,c \in T \quad (a \otimes b) \otimes c = a \otimes (b \otimes c)$
  • $ \exists 1 \in T : \forall a \in T \quad a \otimes 1 = a$
  • $ \forall a \in T : \exists a^{-1} \in T, a \neq 0 \quad a \otimes a^{-1} = 1$
  • $ \forall a,b,c \in T \quad a \otimes ( b \oplus c ) = ( a \otimes b) \oplus (a \otimes c)$
  • $0 \neq 1$

Może teraz myślisz, że tych aksjomatów jest strasznie dużo. Wszystkie są jednak łatwe do zrozumienia, kiedy uświadomimy sobie, co znaczą. Pierwsze cztery opisują zwykłe własności dodawania, a kolejne cztery zwykłe własności mnożenia, które są w dodatku bardzo podobne do tych pierwszych czterech. Dziewiąty aksjomat mówi, jak dodawanie i mnożenie mają się do siebie. Tylko dziesiąty jest raczej sprawą techniczną, która zapewnia, że ciało nie może mieć jakichś dziwnych własności.

Zauważ, jak zgrabnie uniknęliśmy wprowadzania odejmowania i dzielenia. Te działania wprowadza się za pomocą dodawania elementu przeciwnego i mnożenia przez element odwrotny. Czyli na przykład 4 − 2 to tylko skrót od 4 + (−2), a 4 / 2 to tylko skrót od 4 · 2−1.

Przegląd ciał

Mamy już formalnie wprowadzone pojęcie ciała. Gdybyśmy chcieli intuicyjnie wyrazić, czym właściwie to ciało jest, możemy powiedzieć, że to pewna struktura, która pozwala nam dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić dowolne obiekty, na których potrafimy te działania zdefiniować, i to w sposób podobny do tego, w jaki wykonujemy te działania w elementarnej arytmetyce.

Nasze pierwsze ciało

Skoro już tak ładnie wymyśliliśmy i opisaliśmy ciała, zbudujmy jakieś prawdziwe ciało. Najpierw wybierzemy zbiór elementów ciała. Na razie nie będziemy za bardzo eksperymentować z pluszowymi słoniami czy skarpetkami i jako elementy ciała wybierzemy liczby naturalne. Żeby wszystko było naprawdę proste, weźmiemy tylko liczby 0, 1, 2, 3, 4. Nasz zbiór T będzie więc wyglądał tak:

$$T = \left\{0, 1, 2, 3, 4\right\}$$

Teraz pozostaje już tylko zręcznie zdefiniować działania $\oplus$ i $\otimes$. Tu pomożemy sobie działaniami dodawania i mnożenia, które znamy już z arytmetyki. Trochę je jednak zmienimy, żeby działały także w naszym ciele.

  • Działanie $\oplus$ Sumę dwóch elementów $a \oplus b$ obliczymy tak, że wyznaczymy resztę z dzielenia sumy a + b przez pięć. Dodawanie w naszym ciele będzie więc wyglądać tak: $ 1 \oplus 1 = 2 \qquad 1 \oplus 3 = 4 \qquad 2 \oplus 3 = 0 \qquad 4 \oplus 2 = 1$ itd.
  • Działanie $\otimes$ Iloczyn dwóch elementów $a \otimes b$ obliczymy tak, że wyznaczymy resztę z dzielenia iloczynu ab przez pięć. Mnożenie w naszym ciele będzie więc wyglądać tak: $ 1 \otimes 1 = 1 \qquad 2 \otimes 2 = 4 \qquad 2 \otimes 3 = 1 \qquad 4 \otimes 2 = 3 \qquad$ itd.

I gotowe. Mamy już zbudowane pełnowartościowe ciało. Wypadałoby jeszcze sprawdzić, czy zachodzą wszystkie aksjomaty, żebyśmy mieli pewność, że zbudowaliśmy naprawdę ciało, a nie jakiegoś potworka.

  • Przemienność i łączność dodawania i mnożenia na pewno potrafisz sprawdzić sam, podobnie jak rozdzielność.
  • Z tego, jak zdefiniowaliśmy dodawanie i mnożenie, wynika też, że istnieje element zerowy (w naszym przypadku jest to akurat liczba 0) i element jednostkowy (w naszym przypadku 1), które są od siebie różne.
  • Teraz pozostaje nam więc sprawdzić tylko istnienie elementu przeciwnego i odwrotnego. Na pewno widzisz, że do każdej liczby ze zbioru {0, 1, 2, 3, 4} istnieje jakaś liczba z tego samego zbioru taka, że ich suma wynosi zero albo pięć (czyli w naszym ciele 0).
  • Podobnie jest z mnożeniem: do każdej niezerowej liczby z tego zbioru istnieje liczba, z którą iloczyn daje przy dzieleniu przez pięć resztę 1 (czyli w naszym ciele 1). Na przykład liczba 4 ma element odwrotny 4, bo 4 · 4 = 16, a przy dzieleniu przez 5 mamy resztę 1. Spróbuj znaleźć pozostałe elementy odwrotne!

Przykłady innych ciał

Przed chwilą zbudowaliśmy ciało, które ma pięć elementów. Okazuje się, że w ten sam sposób można zbudować także inne ciała, w których liczba elementów jest liczbą pierwszą. Takie ciała nazywa się ciałami reszt modulo p i oznacza Zp, gdzie p jest liczbą elementów ciała. Używa się ich bardzo często zarówno w matematyce, jak i w informatyce, no i oczywiście w różnych zadaniach na sprawdzianach.

Czy da się zbudować ciała, których liczba elementów nie jest liczbą pierwszą? Tak, da się, ale już nie w taki sposób, jak pokazałem przed chwilą. Dlaczego? Wyobraź sobie ciało zbudowane opisanym wyżej sposobem, które ma tylko cztery elementy. W takim ciele zachodzi $2 \otimes 2 = 0$. Czyli iloczyn dwóch niezerowych liczb wynosi zero. To w ciele nie może się zdarzyć. Nie jest to co prawda wprost zakazane w aksjomatach ciała, ale da się to z nich dość łatwo wyprowadzić. Okazuje się jednak, że jeśli zamiast liczb jako elementów ciała użyje się wielomianów, da się zbudować także ciała, których liczba elementów jest potęgą liczby pierwszej. Ciało czteroelementowe więc istnieje, bo czwórka jest potęgą dwójki.

Oczywiście możliwe są także ciała o nieskończonej liczbie elementów. Na przykład zbiór liczb rzeczywistych ze zwykłymi działaniami dodawania i mnożenia również tworzy ciało. Dotyczy to oczywiście nie tylko liczb rzeczywistych, ale także wymiernych i zespolonych. Liczby naturalne i całkowite ciała nie tworzą, bo w liczbach naturalnych brakuje elementów przeciwnych, a w całkowitych odwrotnych.

A na koniec to, co najlepsze. Nikt nam oczywiście nie każe, żeby ciała musiały składać się z liczb, wielomianów czy w ogóle jakichś obiektów matematycznych. Jak już mówiłem, możesz sobie zbudować ciało skarpetek, pluszowych słoni itd. Jedynym problemem będzie chyba to, jak zdefiniować dodawanie i mnożenie słoni. Ciekawe jest tu to, że nigdy nie uda ci się zbudować ciała, które zawiera sześć skarpetek. Bo szóstka nie jest ani liczbą pierwszą, ani potęgą liczby pierwszej. Ale możesz spokojnie zbudować ciało, które liczy siedemnaście skarpetek, każdą z nich ponumerować (biała skarpetka będzie 0, czarna 1, zielona 2 itd.) i dodawać je potem tak samo, jak my dodawaliśmy w ciele reszt.

A do czego to wszystko?

Jeśli doczytałeś aż tutaj, może się zastanawiasz, po co nam, na Boga, taka szalona struktura jak ciało? Otóż ciała są bardzo ważne, zarówno z teoretycznego punktu widzenia, bo opisują i przede wszystkim uogólniają to, co można by nazwać liczeniem, czyli arytmetykę, jak i z praktycznego punktu widzenia, bo mnóstwo problemów matematycznych czy informatycznych rozwiązuje się łatwiej, jeśli wyobrazimy je sobie jako liczenie w ciałach. Ciała skończone mają na przykład duże znaczenie dla kodów na płytach CD czy DVD. A co do samej algebry liniowej, ciała są kamieniem węgielnym dla kolejnych, bardziej złożonych, a przez to także o wiele bardziej użytecznych i ciekawych struktur, jakimi są na przykład przestrzenie liniowe. Tworzą one bowiem coś w rodzaju podstawy całej algebry liniowej.

Autorem tego artykułu jest Lishaak.