Relacje

Relacja to taki matematyczny odpowiednik zwykłego pojęcia „związek” czy „powiązanie”. W zwykłym życiu na przykład Monikę i Kasię łączy pewien związek, konkretnie jest to związek „matka — córka”. Innym takim związkiem może być „państwo — stolica tego państwa”. Jako przykład możemy wziąć Egipt — Kair.

Inne przykłady relacji

Weźmy sobie do pomocy kolejne przykłady. We wstępie wspomnieliśmy relacje (związki) „być matką swojej córki” i „być stolicą państwa”. Spójrzmy na następną: „być liczbą parzystą”. W tej relacji są liczby 2, 4, 8, 18, 58, 66 i wiele innych. Liczby 1, 3, −7, 19 nie są w relacji „być liczbą parzystą”. Relacją ze zwykłego świata może być „być mężczyzną”. Adam, Mirosław, Łukasz czy Marcin są w relacji „być mężczyzną”.

Kolejnym przykładem może być relacja „mniejszy niż”. Na przykład liczba trzy jest „mniejsza niż” liczba pięć. Matematycznie możemy to zapisać jako 3<5. Albo relacja równości: liczba trzy „jest równa” liczbie trzy, matematycznie: 3 = 3.

Możemy mieć też bardziej skomplikowane przykłady: „ojciec i matka są rodzicami dziecka”. W tej relacji będzie trójka ludzi: ojciec Daniel, matka Maria i dziecko Dobromiła. W matematyce moglibyśmy wymyślić relację z trzema elementami tak: suma dwóch pierwszych liczb jest równa trzeciej liczbie. Na przykład te liczby, w tej kolejności, są w tej relacji: 3, 4, 7, bo 3 + 4 = 7. Te liczby w relacji nie są: 3, 5, 12, bo 3 + 5≠12.

Arność relacji

Arność to dziwnie brzmiący termin, który jednak tylko wyraża, ile elementów mamy w relacji. W poprzednich przykładach pracowaliśmy z różną liczbą elementów. Przy relacji „być mężczyzną” wystarczył nam jeden element, możemy więc powiedzieć: „Janek jest mężczyzną”. Wystarczy nam jedno imię, jeden element. O takiej relacji mówimy, że jest jednoargumentowa (unarna).

W kolejnym przykładzie mieliśmy relację „mniejszy niż”. Ta pracowała z dwiema liczbami, z dwoma elementami. Powiedzieliśmy, że liczba trzy jest mniejsza niż pięć. Użyliśmy dwóch elementów, relacja jest więc dwuargumentowa (binarna).

W ostatnim przykładzie używaliśmy w sumie trzech elementów: suma dwóch liczb miała być równa trzeciej. Mieliśmy więc liczby a, b, c i musiało zachodzić a + b = c. Ta relacja byłaby trójargumentowa (ternarna).

Dla wyższych arności możemy użyć zapisu relacja n-argumentowa. Ale możemy go użyć także dla niższych arności, relację dwuargumentową możemy zapisać jako relację 2-argumentową. Elementy relacji zapisujemy wtedy w postaci uporządkowanych n-tek. Jeśli mamy relację dwuargumentową, zapisujemy je jako pary, zwykle albo w nawiasach okrągłych, albo w nawiasach ostrych. Jeśli więc chcemy zapisać, że liczby trzy i pięć są w relacji „mniejszy niż”, musimy zapisać liczby jako parę: (3, 5), ewentualnie <3, 5>. Uważaj na to, że musimy pilnować kolejności, odwrotnie by to nie zachodziło: (3, 5) ≠ (5, 3) — piątka nie jest mniejsza niż trójka.

Przykład z rodziną

Zanim zabierzemy się do matematycznych definicji, spróbujemy jeszcze jednego typowego przykładu z rodziną. Mamy takich członków jednej rodziny:

• Max: dziadek ze strony ojca;
• Józef: ojciec;
• Dobrosława: matka;
• Sandra: córka;
• Janek: syn.

Najpierw wyszukamy wszystkich członków rodziny, którzy odpowiadają relacji: „być mężczyzną”. Jest to relacja 1-argumentowa, czyli jednoargumentowa. W relacji będzie więc zawsze tylko jeden element, jeden członek rodziny. W tej chwili musimy wypisać wszystkich członków rodziny, którzy są płci męskiej. Teraz kolejność nie ma znaczenia. Relacja „być mężczyzną” zawiera więc te elementy: {(Max), (Józef), (Janek)}. Zauważ, że chociaż jest to relacja jednoargumentowa, użyliśmy nawiasów okrągłych. Nie jest to wcale konieczne, także bez nich zapis byłby czytelny, ale dla spójności zostawiłem tam nawiasy. Zestaw wszystkich elementów relacji jest wtedy zwykłym zbiorem, stąd te nawiasy klamrowe.

Teraz wyszukamy wszystkie relacje „ojciec — syn”. To już na pierwszy rzut oka jest relacja dwuargumentowa, w wyniku będą występować uporządkowane pary elementów. Wynikowy zbiór wygląda tak: {(Józef, Janek), (Max, Józef)}. Ojciec Józef jest ojcem syna Janka, a dziadek Max jest ojcem ojca Józefa. Zauważ, że kolejność naprawdę ma znaczenie, Józef jest tam dwa razy, ale raz na pierwszym miejscu na pozycji ojca, a drugi raz na drugim miejscu na pozycji syna.

Spróbujemy jeszcze kolejnej relacji: „rodzic — dziecko”. Tu będzie już tego więcej, bo na pierwszym miejscu może być dowolny z rodziców, zarówno ojciec, jak i matka, a na drugim miejscu może być dowolne dziecko, zarówno syn, jak i córka. Musimy też wziąć pod uwagę, że dziadek Max jest rodzicem Józefa, ale nie jest już rodzicem Dobrosławy. Józef i Dobrosława są natomiast oboje rodzicami Sandry i Janka. Sandra i Janek nie są niczyimi rodzicami, bo mają dopiero dziewiętnaście i trzynaście lat. W wyniku będą takie uporządkowane pary: {(Max, Józef), (Józef, Sandra), (Józef, Janek), (Dobrosława, Sandra), (Dobrosława, Janek)}. Zauważ, że Józef i Dobrosława są tam dwa razy — raz jako rodzice córki Sandry, a drugi raz jako rodzice Janka.

Ostatni haczyk dotyczący relacji dwuargumentowych. Mamy taką relację: „rodzeństwo — rodzeństwo”. Tu musimy sobie uświadomić, że w relacjach kolejność ma znaczenie, więc gdybyśmy w wyniku tej relacji napisali tylko „Sandra — Janek”, byłoby to źle, bo jest to zupełnie inna uporządkowana para niż „Janek — Sandra”. Dlatego poprawny wynik to: {(Sandra, Janek), (Janek, Sandra)}.

I jeszcze króciutki przykład relacji trójargumentowej: Wypisz wszystkie uporządkowane trójki tej relacji: „dziadek — ojciec — dziecko”. W treści mamy tylko jednego dziadka i jednego ojca, ale dwoje dzieci. Nie wystarczy napisać tylko wariantu z Sandrą albo z Jankiem, musimy wypisać oba. Co innego byłoby, gdyby na końcu zamiast „dziecko” był podany „syn”. Poprawny wynik to: {(Max, Józef, Sandra), (Max, Józef, Janek)}.

Definicja relacji jednoargumentowej

Spróbujemy zbadać najprostsze relacje, jednoargumentowe. Przez relację jednoargumentową rozumiemy jakiś zbiór elementów. Zbiór {2, 3} może przedstawiać jakąś relację. Na przykład relację „być liczbą pierwszą mniejszą niż pięć” albo „być nietrywialnym dzielnikiem liczby sześć”, zależy od naszej interpretacji.

Bystrzejsi czytelnicy zauważyli, że druga relacja jest zdefiniowana trochę dziwnie. Mówi, że relacja powinna zawierać nietrywialne dzielniki liczby sześć, a w wynikowym zbiorze mamy liczby 2 i 3. Czy jakichś tam nie brakuje? Liczby 1 i 6 są dzielnikami trywialnymi, te nas nie interesują. Ale powinny tam być także liczby ujemne, czyli −2 i −3. Zbiór wszystkich nietrywialnych dzielników liczby 6 wygląda tak: {−3, −2, 2, 3}.

Podobnie jak przy funkcjach określamy dziedzinę, tak przy relacji określamy zbiór nośny — zbiór, z którego wybieramy elementy relacji. W poprzednich przykładach określiliśmy na przykład rodzinę, w której był dziadek Max itd. Nie wybieraliśmy ojców i dzieci ze wszystkich rodzin na świecie. Jeśli jako zbiór nośny określimy zbiór liczb naturalnych, to nasza relacja będzie w porządku.

W tej chwili możemy już zabrać się do definicji relacji. Jeśli zbiorem nośnym są liczby naturalne, jakie elementy może zawierać nasza relacja jednoargumentowa? Znowu tylko liczby naturalne. Albo wszystkie, albo tylko jakąś ich część. Możemy więc powiedzieć, że dana relacja będzie podzbiorem zbioru liczb naturalnych. Ogólniej, jeśli mamy relację jednoargumentową R i zbiór nośny M, to zachodzi R ⊆ M, relacja R jest podzbiorem zbioru M.

Definicja relacji dwuargumentowej

Jak to będzie wyglądać dla relacji dwuargumentowej? W relacji dwuargumentowej elementami relacji R są uporządkowane pary. Każdy element pary może pochodzić z innego zbioru. Możemy mieć relację „rodzic — liczba dzieci”. Rodzica będziemy wybierać ze zbioru ludzi, na przykład w Europie, a liczbę dzieci ze zbioru liczb naturalnych plus zero.

W jaki sposób z dwóch zbiorów dostaniemy zbiór wszystkich możliwych par? Za pomocą iloczynu kartezjańskiego. Jeśli mamy zbiory A = {a, b, c}, B = {1, 2}, to iloczynem kartezjańskim otrzymamy:

$$A\times B=\left\{(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)\right\}$$

To jest zbiór wszystkich możliwych par, które możemy otrzymać tak, że na pierwszym miejscu będzie element ze zbioru A, a na drugim miejscu element ze zbioru B. Jeśli więc mamy relację dwuargumentową R między zbiorami A i B, to tę relację możemy zdefiniować jako R ⊆ A × B.

Gdybyśmy zostawili poprzednie zbiory A i B i zdefiniowali relację R między tymi zbiorami tak: „litera — pozycja litery w alfabecie”, to ta relacja będzie wyglądać tak: R = {(a, 1), (b, 2)}. Litery c już tam nie będzie, bo w iloczynie kartezjańskim A × B nie występuje para (c, 3).

Definicja relacji n-argumentowej

Na koniec zdefiniujemy ogólną relację n-argumentową R między zbiorami M₁, M₂, …, M_n:

$$R\subseteq M_1\times M_2\times\ldots\times M_n$$

Relacja jest więc podzbiorem uporządkowanych n-tek. Przykładem relacji dwuargumentowej może być relacja „mniejszy niż”, czyli <. Możemy ją zdefiniować na jakichś zbiorach liczbowych, na przykład na liczbach naturalnych. Wtedy relacja będzie wyglądać tak:

$$< \subseteq \mathbb{N}\times\mathbb{N}$$

(Nie przestrasz się tego, że znak < stoi tak dziwnie po lewej stronie. To tylko nazwa relacji. Mogłoby tam znowu być R, gdzie R oznaczałoby relację mniejszy niż.)

Konkretnie ta relacja wyglądałaby tak:

$$\begin{eqnarray} <\quad=&&(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), \ldots\\ &&(2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), \ldots\\ &&(3, 4), (3, 5), (3, 6), (3, 7), \ldots\\ &&(4, 5), (4, 6), (4, 7), (4, 8), \ldots\\ &&\ldots\\ && \end{eqnarray}$$

Jest to zbiór uporządkowanych par takich, że liczba naturalna na pierwszym miejscu jest mniejsza niż liczba naturalna na drugim miejscu.

Zapis relacji

Relacje zwykle nazywamy wielkimi literami R, S itp. albo za pomocą utartych symboli: <, ⊆, = itp. Z poprzednich definicji widać, że relacja jest tak naprawdę zbiorem. Zresztą prawie wszystko w matematyce jest właściwie zbiorem :-). Dlatego jeśli chcemy powiedzieć, że element r należy do relacji R, możemy to zapisać jako r ∈ R.

Na przykład możemy zapisać (1, 3) ∈ < i znaczy to, że para liczb jeden i trzy należy do relacji mniejszy niż. Przy relacjach dwuargumentowych często spotykamy się z przyjemniejszym zapisem, który znasz już ze szkoły podstawowej. Zamiast używać operatora należenia ∈, po prostu napiszemy 1 < 3. Podobnie zwykle nie piszemy (5, 5) ∈ = , tylko napiszemy 5 = 5.