Przestrzenie liniowe

Przestrzeń wektorowa, nazywana też przestrzenią liniową, to zbiór elementów, które muszą spełniać pewne własności, dzięki którym elementy tego zbioru, nazywane wektorami, zachowują się „ładnie”.

Przykład przestrzeni liniowej

Zanim zdefiniujemy przestrzeń liniową, pokażemy przykład przestrzeni liniowej, którą powinieneś znać już ze szkoły średniej, tylko nie wiesz, że to przestrzeń liniowa. To zwykłe wektory na płaszczyźnie.

Przez wektor na płaszczyźnie rozumiemy parę uporządkowaną (a, b), gdzie a, b ∈ ℝ. To dowolne współrzędne w przestrzeni ℝ² (chodzi o iloczyn kartezjański ℝ×ℝ). Taki wektor możemy przedstawić strzałką z punktu (0, 0) do punktu (a, b). Wektor (2, 3) wyglądałby tak:

Wiemy, że wektory możemy dodawać według reguły (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d). Suma wektorów (2, 3) + (4, 1) byłaby równa wektorowi (2 + 4, 3 + 1) = (6, 4). Graficznie przedstawilibyśmy to tak:

Możemy też pomnożyć wektor przez liczbę k, gdzie k jest liczbą rzeczywistą. Iloczyn przez k zapiszemy jako k · (a, b). Wynikiem jest nowy wektor zdefiniowany jako k · (a, b) = (k · a, k · b). Graficznie objawia się to tak, że wektor się „wydłuży”, „skróci” albo zmieni zwrot. Jeśli mamy wektor u = (2, 3), to wektory 2 · u, $\frac12u$ i −1 · u wyglądają tak:

Że zbiór wszystkich wektorów ℝ² z tak zdefiniowanymi działaniami tworzy przestrzeń liniową, udowodnimy później. Najpierw zdefiniujemy przestrzeń liniową, a poszczególne własności pokażemy na tej przestrzeni liniowej ℝ².

Definicja przestrzeni liniowej

Przestrzeń liniowa (albo przestrzeń wektorowa) to niepusty zbiór V, którego elementy nazywamy wektorami. Na tym zbiorze muszą ponadto istnieć dwa działania: dodawanie wektorów, czyli odwzorowanie $V \times V \longrightarrow V$, i mnożenie wektora przez liczbę rzeczywistą, czyli odwzorowanie $\mathbb{R} \times V \longrightarrow V$. (Ogólniej zamiast zbioru liczb rzeczywistych można użyć dowolnego ciała, ale o tym w późniejszych artykułach.) Dodawanie wektorów oznaczamy znakiem +, mnożenie znakiem · . Te dwa działania muszą spełniać następujące warunki. Czyli dla wszystkich x, y, z ∈ V i dla wszystkich a, b ∈ ℝ musi zachodzić (zauważ, że wektory x, y, z są pogrubione, a liczby a, b nie):

1. x + y = y + x: dodawanie wektorów jest przemienne. Jeśli wrócimy do przykładu z wektorami w ℝ², to wszystko jedno, czy dodamy wektory tak: (2, 3) + (4, 1), czy odwrotnie: (4, 1) + (2, 3) .

• (x+y)+z = x+(y+z): dodawanie wektorów jest łączne. Znowu możemy podstawić jakieś wektory z ℝ² i zobaczymy, że się zgadza.
• a · (b · x) = (a · b) · x: prawo łączności mnożenia. Dla naszych wektorów będzie zachodzić, że 4 · (5 · (6, 7)) to to samo co (4 · 5) · (6, 7). Oba przykłady prowadzą do wektora (20 · 6, 20 · 7).
• a · (x + y) = a · x + a · y: prawo rozdzielności względem dodawania wektorów z V. Znowu widzimy, że 2 · ((2,3)+(4,5)) to to samo co 2 · (2,3)+2 · (4,5). Oba wyrażenia prowadzą do wektora (2 · 6,2 · 8).
• (a + b) · x = a · x+b · x: rozdzielność względem dodawania liczb.
• 1 · x = x: jeśli dowolny wektor pomnożymy przez liczbę rzeczywistą 1, wektor się nie zmieni. W naszym przypadku zachodzi 1 · (5, 8) = (5,8).
• Istnieje element 0∈ V taki, że 0 · x = 0. Pogrubione zero, czyli 0, to tak zwany wektor zerowy, a niepogrubione zero 0 to po prostu liczba zero. Ten punkt mówi, że w V musi istnieć wektor, który dostaniemy, mnożąc dowolny wektor x∈ V przez liczbę zero. Dla naszej przestrzeni ℝ² jest to wektor (0,0), bo dla wszystkich wektorów (a, b) ∈ ℝ² zachodzi 0 · (a,b) = (0,0).

To wszystkie własności, które musi spełniać przestrzeń wektorowa (liniowa) V. Jeśli mnożymy wektor przez jakąś liczbę rzeczywistą a, tę liczbę a nazywamy skalarem. Często mówimy więc o mnożeniu przez skalar i mamy na myśli wyrażenie postaci a · x, gdzie a jest liczbą rzeczywistą, a x wektorem.

Dwa znaczenia znaku plus +

Uważaj, w niektórych wyrażeniach znak plus + może mieć dwa znaczenia. Na przykład w punkcie o rozdzielności względem dodawania liczb mamy równanie (a + b) · x = a · x+b · x. Przy tym znak + po lewej stronie równania dodaje liczby rzeczywiste, bo a i b są liczbami rzeczywistymi, a po prawej stronie dodaje wektory, bo wynikiem iloczynu a · x jest wektor.

Takie automatyczne rozpoznawanie stosuje się w matematyce często — z kontekstu zawsze wiadomo, o jakie dodawanie chodzi. Jeśli mamy wyrażenie x + y, a x, y są wektorami, użyjemy sumy wektorów. Gdyby x, y były liczbami, użylibyśmy zwykłej sumy. Gdyby były to macierze, użylibyśmy sumy macierzy itd.

Do dodawania wektorów moglibyśmy używać innego znaku, na przykład $\oplus$. Wtedy rozdzielność względem dodawania liczb moglibyśmy zapisać tak: $(a+b)\cdot \mathbf{x} = a\cdot \mathbf{x}\oplus b\cdot \mathbf{x}$. Zwykły + oznacza tu dodawanie liczb rzeczywistych a, b, a znak $\oplus$ dodawanie wektorów. Zwykle jednak dla obu rodzajów dodawania używa się jednego znaku +, a jego znaczenie poznaje się z kontekstu. To samo dotyczy znaku · .

Przestrzeń liniowa R²

W pierwszej części zdefiniowaliśmy przestrzeń liniową V = ℝ², teraz udowodnimy, że to naprawdę przestrzeń liniowa. Najpierw musimy sprawdzić, czy mamy poprawnie zdefiniowane działania dodawania i mnożenia. Dodawanie ma dodawać dwa wektory, a wynikiem ma być nowy wektor. To jest spełnione, bo (a, b)+(c, d) = (a + c,b + d). Dodając dwa wektory z ℝ², dostaniemy nowy wektor z ℝ².

Gdybyśmy na przykład zdefiniowali dodawanie wektorów jako sumę ich długości, nie byłoby to poprawne działanie dodawania w przestrzeni liniowej. Długość wektora (a, b) obliczylibyśmy jako $\sqrt{a^2+b^2}$. Wynikiem sumy (3,4)+(5, 12) byłaby więc liczba $\sqrt{3^2+4^2}+\sqrt{5^2+12^2}=5+13=18$, która nie jest wektorem przestrzeni ℝ².

Dalej musimy sprawdzić, czy mamy poprawnie zdefiniowane mnożenie. Mnożenie mnoży liczbę rzeczywistą przez wektor z ℝ², a wynikiem ma być nowy wektor z ℝ². To znowu jest spełnione, bo mnożenie przez skalar mamy zdefiniowane jako k · (a,b) = (k · a, k · b).

Po kolei sprawdzimy wszystkich siedem własności, które musi spełniać przestrzeń liniowa. Za poszczególne wektory x, y będziemy podstawiać nasze wektory (a, b), (c, d), … tak, jak będzie nam wygodnie, nie przestrasz się tego.

1. x + y = y + x, przemienność dodawania wektorów. Czy zdefiniowane przez nas dodawanie wektorów jest przemienne? Tak, jest, bo jest zdefiniowane jako (a, b)+(c, d) = (a + c,b + d). Jeśli po lewej stronie zamienimy wektory miejscami, dostaniemy: (c, d)+(a, b) = (c + a,d + b). Ponieważ c + a to suma dwóch liczb rzeczywistych, a dodawanie liczb rzeczywistych jest działaniem przemiennym, zachodzi c + a = a + c, i to samo dla drugiej pary: d + b = b + d. Zachodzi więc (a + c,b + d) = (c + a,d + b).

• (x+y)+z = x+(y+z). To będzie taka zabawa z nawiasami. W zasadzie to proste przekształcenia, tylko będą mało przejrzyste, bo tych nawiasów będzie po prostu dużo. Spróbujmy obliczyć taką sumę wektorów:

$$ \left(\left(a,b\right)+\left(c,d\right)\right)+\left(e,f\right) = \left(a+c,b+d\right)+\left(e,f\right)=\left(\left(a+c\right)+e, \left(b+d\right)+f\right) $$

Ponieważ a, c, e są liczbami rzeczywistymi, a dodawanie liczb rzeczywistych jest łączne, zachodzi (a + c)+e = a + c + e. To samo dla drugiej współrzędnej. Możemy więc zapisać, że

$$ \left(\left(a,b\right)+\left(c,d\right)\right)+\left(e,f\right) = \left(a+c+e, b+d+f\right) $$

Teraz spróbujmy dodać te same wektory z inaczej ustawionymi nawiasami:

$$\left(a,b\right)+\left(\left(c, d\right)+\left(e, f\right)\right)=\left(a,b\right)+\left(c+e,d+f\right)=\left(a+\left(c+e\right),b+\left(d+f\right)\right)$$

Znowu zachodzi a+(c + e) = a + c + e, więc możemy zapisać, że

$$\left(a,b\right)+\left(\left(c, d\right)+\left(e, f\right)\right)=\left(a+c+e, b+d+f\right)$$

Widzimy więc, że jakkolwiek ustawimy nawiasy w sumie trzech wektorów, zawsze dojdziemy do tego samego wektora (a + c + e, b + d + f). Dodawanie w ℝ² jest więc łączne i spełnia też drugą własność przestrzeni liniowych.

Możesz spróbować podstawić za zmienne a, …, f konkretne liczby i zobaczysz, że wszystko się zgadza.

• a · (b · x) = (a · b) · x. Znowu najpierw rozpiszemy lewą stronę równania, przy czym za x podstawimy wektor (c, d):

$$a\cdot \left(b \cdot \left(c, d\right)\right) = a \cdot \left(b \cdot c, b \cdot d\right) = \left(a \cdot (b \cdot c), a\cdot (b\cdot d)\right)$$

Ponieważ mnożenie liczb rzeczywistych jest łączne, dostajemy równość a · (b · c) = a · b · c. Możemy więc zapisać:

$$a\cdot \left(b \cdot \left(c, d\right)\right) = \left(a\cdot b \cdot c,a\cdot b\cdot d\right)$$

Teraz rozpiszemy prawą stronę równania, czyli stronę (a · b) · x:

$$(a\cdot b)\cdot\left(c, d\right)=\left((a\cdot b)\cdot c, (a\cdot b)\cdot d\right)$$

Znowu zachodzi (a · b) · c = a · b · c, więc:

$$(a\cdot b)\cdot\left(c, d\right)=\left(a\cdot b \cdot c,a\cdot b\cdot d\right)$$

Widzimy, że obie strony równania prowadzą do wektora (a · b · c,a · b · d), więc równanie jest prawdziwe.

• a · (x + y) = a · x + a · y. Postępujemy tak samo, rozpiszemy lewą stronę równania:

$$a\cdot\left(\left(c, d\right)+\left(e, f\right)\right) = a\cdot\left(\left(c+e, d+f\right)\right)=\left(a\cdot(c+e), a\cdot (d+f)\right)$$

Ponieważ a, c, e są liczbami rzeczywistymi, dla których zachodzi prawo rozdzielności, dostajemy równość: a · (c + e) = ac + ae. Możemy więc zapisać:

$$a\cdot\left(\left(c, d\right)+\left(e, f\right)\right) = \left(ac+ae, ad+af\right)$$

Prawa strona równania:

$$a\cdot\left(c,d\right)+a\cdot\left(e,f\right)=\left(ac, ad\right)+\left(ae, af\right)=\left(ac+ae, ad+af\right)$$

Widzimy, że lewa i prawa strona równania są po przekształceniach równe.

• (a + b) · x = a · x+b · x: Postąpimy bardzo podobnie jak w poprzednim kroku. Przekształcenie lewej strony równania:

$$(a+b)\cdot\left(c, d\right)=\left((a+b)\cdot c,(a+b)\cdot d\right)=\left(ac+bc,ad+bd\right)$$

Prawa strona:

$$a\cdot\left(c, d\right)+b\cdot\left(c,d\right)=\left(ac, ad\right)+\left(bc, bd\right)=\left(ac+bc,ad+bd\right)$$

• 1 · x = x: Co prawda nie wierzę, że ktokolwiek doczytał aż do tego punktu, ale niech będzie, jedziemy dalej :-). Ten punkt jest przynajmniej prosty. Mamy sprawdzić, że 1 · (a, b) = (a,b). To na pewno zachodzi, bo

$$1\cdot\left(a,b\right)=\left(1\cdot a, 1\cdot b\right)=\left(a,b\right)$$

• Istnieje element 0∈ ℝ² taki, że 0 · x = 0: jest to wektor (0,0). Dla niego zachodzi 0 · (a,b) = (0,0), bo

$$0\cdot\left(a,b\right)=\left(0\cdot a, 0\cdot b\right)=\left(0{,}0\right)$$

Wielkość przestrzeni liniowych

Jaka jest najmniejsza przestrzeń liniowa? Z definicji wiemy, że przestrzeń liniowa to niepusty zbiór V, więc najmniejsza wielkość, jaką możemy brać pod uwagę, to zbiór z jednym wektorem. Z siódmego punktu definicji wiemy, że przestrzeń musi zawierać wektor zerowy. Zbiór V = {0} jest więc kandydatem na najmniejszą przestrzeń liniową.

Dodawanie możemy zdefiniować jako 0+0 = 0, a mnożenie jako a · 0 = 0. Cokolwiek zrobimy, zawsze dostaniemy wektor zerowy. Ten jednoelementowy zbiór ma oczywiście wszystkie siedem wymaganych własności.

Wiemy już, że istnieje jednoelementowa przestrzeń liniowa. Czy istnieje przestrzeń liniowa, która ma dwa elementy? Czy możemy na zbiorze V = {x, 0} zdefiniować działania dodawania i mnożenia tak, żeby powstała z tego przestrzeń liniowa?

Odpowiedź brzmi: nie, nie istnieje dwuelementowa przestrzeń liniowa. I nie istnieje też żadna inna skończona przestrzeń liniowa poza wspomnianą jednoelementową. Wszystkie pozostałe przestrzenie liniowe są już nieskończone. Gdybyśmy jednak, jak już wspomnieliśmy, zamiast zbioru liczb rzeczywistych użyli jakiegoś innego, skończonego ciała, moglibyśmy dostać też inną skończoną przestrzeń liniową.

Podsumowanie

Definicja przestrzeni liniowej nie jest całkiem prosta, wektory i działania muszą spełniać w sumie 7 warunków, a to niemało. Z drugiej strony te warunki są dość oczywiste i zrozumiałe — chodzi o to, żeby z wektorami dobrze się pracowało. Dzięki tym warunkom możemy dodawać wektory z przestrzeni liniowej bez sprawdzania, czy wynikiem dodawania nie będzie jakiś wektor z innej przestrzeni liniowej. Tak samo możemy mnożyć wektor przez liczbę rzeczywistą i zawsze dostaniemy wektor z tej samej przestrzeni. To, że wektory i działania na nich spełniają prawa przemienności, łączności i rozdzielności, też jest dość naturalne.

Przestrzeń liniową moglibyśmy zdefiniować też ogólniej. Zamiast zbioru liczb rzeczywistych możemy wziąć dowolne ciało. O tym jednak w późniejszych artykułach.