Odległość dwóch prostych równoległych

Dla dwóch prostych równoległych na płaszczyźnie możemy zdefiniować ich odległość.

Zadanie

Mamy dwie proste równoległe, p: −x +3y − 16 = 0 i q: −x + 3y − 4 = 0. Jak znaleźć odległość tych dwóch prostych?

Odległość takich prostych możemy łatwo sprowadzić do odległości punktu od prostej. Wystarczy wybrać na jednej z prostych jakiś punkt, a potem obliczyć odległość tego punktu od drugiej prostej.

Na prostej q możemy wybrać punkt A = (8, 4). Podstawiając go do równania prostej q, sprawdzimy, że naprawdę jest to punkt tej prostej:

\begin{eqnarray} -x + 3y - 4 &=& 0\\ -8 + 3\cdot4 - 4 &=& 0\\ -8+12-4 &=& 0\\ 0 &=& 0 \end{eqnarray}

Teraz obliczymy wspomnianą odległość punktu A od prostej p. Mamy na to wzór, dla punktu P = (x₀, y₀) i prostej p: Ax + By + C = 0:

\begin{eqnarray} d(P, p) &=& \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}} \end{eqnarray}

Wystarczy więc podstawić za P punkt A = (8, 4) i współczynniki prostej p, czyli A = −1, B = 3, C = −16 (współczynnika A nie myl z punktem A):

\begin{eqnarray} d(A, p) &=& \frac{|-1\cdot 8 + 3 \cdot 4-16|}{\sqrt{(-1)^2+3^2}}\\ &=& \frac{12}{\sqrt{10}}\approx 3{,}795 \end{eqnarray}