Wzajemne położenie prostych
Dla dwóch prostych na płaszczyźnie możemy rozróżnić łącznie cztery różne sytuacje. Proste mogą być równoległe, przecinające się, prostopadłe albo pokrywające się.
Wzajemne położenie z równań
Jeśli mamy dwie proste i ich dwa równania, po prostu rozwiążemy układ tych dwóch równań. Mogą zajść łącznie trzy przypadki:
- Układ nie ma żadnego rozwiązania — proste nie mają żadnego punktu wspólnego, więc są równoległe i rozłączne.
- Układ ma dokładnie jedno rozwiązanie — proste mają dokładnie jeden punkt wspólny (punkt przecięcia), więc się przecinają.
- Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań — proste mają nieskończenie wiele punktów wspólnych, więc się pokrywają.
Zauważ, że w ten sposób nie dowiemy się, czy proste są do siebie prostopadłe.
Na rysunku widzimy proste równoległe a, b, proste przecinające się c, d, które mają jeden punkt wspólny, i proste pokrywające się e, f.
Teraz przykłady:
-
Zbadaj wzajemne położenie prostych p i q, które są dane równaniami p: −x + 3y − 5 = 0 i q: 2x + 3y − 17 = 0. Z obu równań utworzymy układ równań liniowych i ten układ rozwiążemy:
\begin{eqnarray} -x+3y-5&=&0\\ 2x+3y-17&=&0 \end{eqnarray}
Pierwsze równanie pomnożymy przez dwa:
\begin{eqnarray} -2x+6y-10&=&0\\ 2x+3y-17&=&0 \end{eqnarray}
I dodamy równania stronami:
$$ -2x+6y-10+(2x+3y-17) = 0 $$
Dalsze przekształcenia są łatwe:
\begin{eqnarray} -2x+6y-10+(2x+3y-17) &=& 0\\ 6y+3y-10-17 &=& 0\\ 9y -27 &=& 0\\ y - 3 &=& 0\\ y=3 \end{eqnarray}
Jeszcze obliczymy x, na przykład podstawiając wartość y = 3 do równania −x + 3y − 5 = 0:
\begin{eqnarray} -x+3y-5&=&0\\ -x+3\cdot3-5&=&0\\ -x+4&=&0\\ x&=&4 \end{eqnarray}
Wyszło nam jedno jedyne rozwiązanie układu równań, x = 4, y = 3. Oznacza to, że proste się przecinają, i to w punkcie X = (4,3). Rysunek:
-
Zbadaj wzajemne położenie prostych p i q danych równaniem p: 2x + y − 8 = 0 i równaniem parametrycznym prostej q:
\begin{eqnarray} x &=&\color{red}{5 - t}\\ y &=&\color{blue}{2 + 2t} \end{eqnarray}
W tym przypadku mamy jedno równanie ogólne prostej i jedno parametryczne. Rozwiążemy to tak, że do równania ogólnego za x i y podstawimy wyrażenia z równania parametrycznego. Tzn. za x w równaniu ogólnym podstawimy prawą stronę równania parametrycznego, tak samo dla y. Dostaniemy jedno równanie:
\begin{eqnarray} 2\color{red}{x} + \color{blue}{y} - 8 &=& 0\\ 2\cdot(\color{red}{5-t})+(\color{blue}{2+2t})-8 &=& 0 \end{eqnarray}
I dalej przekształcamy równanie już standardowo:
\begin{eqnarray} 2\cdot(5-t)+(2+2t)-8 &=& 0\\ 10-2t+2+2t-8&=&0\\ 12-8+2t-2t&=&0\\ 4&=&0 \end{eqnarray}
Równanie nie ma żadnego rozwiązania, proste nie przecinają się w żadnym punkcie. Proste p i q są więc równoległe (rozłączne). Rysunek:
-
Zbadaj wzajemne położenie prostych p i q danych równaniami p: 3x + y − 10 = 0 i q: −9x −3y + 30 = 0. Na pierwszy rzut oka widać, że drugie równanie to pierwsze równanie pomnożone przez −3, więc proste powinny się pokrywać. Ale policzmy to. Utworzymy układ równań:
\begin{eqnarray} 3x + y - 10 &=& 0\\ -9x -3y + 30 &=& 0 \end{eqnarray}
Pierwsze równanie pomnożymy przez 3:
\begin{eqnarray} 9x + 3y - 30 &=& 0\\ -9x -3y + 30 &=& 0 \end{eqnarray}
I dodamy równania stronami:
\begin{eqnarray} 9x + 3y - 30 + (-9x -3y + 30) &=& 0\\ 9x - 9x +3y - 3y +30 -30 &=& 0\\ 0&=&0 \end{eqnarray}
Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań, proste mają nieskończenie wiele punktów wspólnych, więc się pokrywają. Rysunek:
Wzajemne położenie z wektora kierunkowego i normalnego
Jeśli znamy wektor kierunkowy albo wektor normalny, możemy ustalić wzajemne położenie prostych. Zachodzi przy tym:
- Jeśli wektory kierunkowe są współliniowe (liniowo zależne), to proste są równoległe albo się pokrywają.
- Jeśli wektory kierunkowe nie są współliniowe (nie są liniowo zależne), to proste się przecinają.
- Jeśli iloczyn skalarny wektorów kierunkowych jest równy zero, to proste są do siebie prostopadłe.
Te punkty zachodzą tak samo dla wektorów normalnych. Tzn. jeśli wektory normalne są współliniowe, to proste są równoległe albo się pokrywają itd.
Spróbujmy trzy przykłady z poprzedniego rozdziału policzyć za pomocą wektorów kierunkowych i normalnych.
-
Zbadaj wzajemne położenie prostych p i q, które są dane równaniami p: −x + 3y − 5 = 0 i q: 2x + 3y − 17 = 0. Wektor normalny prostej p to $\vec{u}=[-1, 3]$, wektor normalny prostej q to $\vec{v}=[2, 3]$. Wektory nie są współliniowe, bo wektory $\vec{u}, \vec{v}$ nie są liniowo zależne. Nie istnieje żadne a ∈ ℝ takie, że $a\cdot\vec{u}=\vec{v}$. Wynika z tego, że proste się przecinają.
Obliczymy jeszcze iloczyn skalarny, żeby sprawdzić, czy proste są do siebie prostopadłe. Iloczyn skalarny wektorów normalnych to
$$ \vec{u}\cdot \vec{v} = (u_1\cdot v_1+u_2\cdot v_2) = -2+9=7 $$
Iloczyn skalarny jest różny od zera, więc proste nie są do siebie prostopadłe.
-
Zbadaj wzajemne położenie prostych p i q danych równaniem p: 2x + y − 8 = 0 i równaniem parametrycznym prostej q:
\begin{eqnarray} x &=&5 - t\\ y &=&2 + 2t \end{eqnarray}
Z równania parametrycznego możemy od razu odczytać wektor kierunkowy prostej q. Tworzą go współczynniki przy parametrze t, więc wektor kierunkowy prostej q to $\vec{v}=[-1, 2]$. Z równania ogólnego prostej p możemy z kolei od razu odczytać wektor normalny, który ma postać $\vec{n}=[2, 1]$ (współczynniki przy x i y). Z wektora normalnego dostaniemy wektor kierunkowy $\vec{u}=[1, -2]$.
(Zamieniliśmy tylko liczby miejscami i jedną ze współrzędnych pomnożyliśmy przez −1. Wektory [2, 1] i [1, −2] mają iloczyn skalarny równy zero, dlatego jeśli [2, 1] jest wektorem normalnym, to [1, −2] jest wektorem kierunkowym.)
Widzimy, że wektor kierunkowy prostej p to wektor kierunkowy prostej q pomnożony przez −1, zachodzi $-1\cdot \vec{v} = \vec{u}$. Proste mają więc współliniowe wektory kierunkowe, co oznacza, że proste p i q są równoległe albo się pokrywają.
Teraz powinniśmy ustalić, czy proste są równoległe, czy się pokrywają. Wystarczy wziąć dowolny punkt A, który leży na prostej q, i podstawić go do równania, które opisuje prostą p. Jeśli równość jest prawdziwa, proste się pokrywają. W przeciwnym razie są tylko równoległe.
Weźmiemy równanie parametryczne prostej q i za parametr t podstawimy zero. Dostaniemy:
\begin{eqnarray} x &=&5 - 0=5\\ y &=&2 + 2\cdot0=2 \end{eqnarray}
Dostaliśmy punkt A = (5,2), który na pewno leży na prostej q. Jego współrzędne podstawimy do równania ogólnego p: 2x + y − 8 = 0:
\begin{eqnarray} 2x + y - 8 &=& 0\\ 2\cdot5+2-8 &=& 0\\ 12-8&=&0\\ 4&=&0 \end{eqnarray}
Równość nie jest prawdziwa, więc punkt A = (5,2) nie leży na prostej p i proste się nie pokrywają.
-
Zbadaj wzajemne położenie prostych p i q, które są dane równaniami: p: −x + 3y − 6 = 0 i q: 3x + y − 14 = 0. Ten przykład różni się od trzeciego przykładu z poprzedniego rozdziału. Z obu równań możemy odczytać wektory normalne obu prostych. Wektory normalne to $\vec{n}_p = [-1, 3]$ i $\vec{n}_q=[3, 1]$. Wektory normalne nie są liniowo zależne (współliniowe), nie istnieje żadne rzeczywiste a takie, że $a\cdot \vec{n}_p = \vec{n}_q$.
Teraz jeszcze sprawdzimy, czy proste są prostopadłe. Obliczymy iloczyn skalarny:
$$ \vec{n}_p\cdot \vec{n}_q = [-1, 3]\cdot[3, 1]=-3+3=0 $$
Iloczyn skalarny wyszedł zero, wektory są do siebie prostopadłe. Dlatego również same proste są do siebie prostopadłe. Rysunek:
Jeśli chcielibyśmy znaleźć punkt przecięcia obu prostych, musimy go obliczyć z równań. Z równań ogólnych utworzymy układ równań:
\begin{eqnarray} -x + 3y - 6 &=& 0\\ 3x + y - 14 &=& 0 \end{eqnarray}
Pierwsze równanie pomnożymy przez −3:
\begin{eqnarray} -3x + 9y - 18 &=& 0\\ 3x + y - 14 &=& 0 \end{eqnarray}
Teraz równania dodamy stronami i dalej przekształcimy:
\begin{eqnarray} -3x + 9y - 18 + (3x + y - 14) &=& 0\\ 9y+y-18-14 &=&0\\ 10y-32 &=& 0\\ y = \frac{32}{10} = \frac{16}{5} \end{eqnarray}
Współrzędną x obliczymy, podstawiając do któregoś z równań, na przykład do −x + 3y − 6 = 0:
\begin{eqnarray} -x + 3y - 6 &=& 0\\ -x + 3\cdot \frac{16}{5} - 6 &=& 0\\ -x + \frac{48}{5}-\frac{30}{5} &=&0\\ -x + \frac{18}{5} &=& 0\\ x &=& \frac{18}{5} \end{eqnarray}
Wychodzą nam współrzędne punktu przecięcia obu prostych $P=(\frac{18}{5}, \frac{16}{5})$.