Równanie parametryczne prostej

Równanie parametryczne prostej to podstawowe równanie prostej na płaszczyźnie lub w przestrzeni.

Motywacja

Jak moglibyśmy opisać prostą na płaszczyźnie? Wiemy, że do opisania prostej wystarczą nam dwa różne punkty, oznaczmy je na przykład A i B. Inaczej mówiąc: jeśli mamy dwa różne punkty, to przez te punkty przechodzi dokładnie jedna prosta p:

Jak moglibyśmy opisać tę prostą inaczej, za pomocą wektorów? Możemy dorysować na rysunku wektor $\vec{u}$, który będzie równoległy do prostej p.

Ten wektor $\vec{u}$ ma ten sam kierunek co prosta p. To całkiem fajne, tylko że sam kierunek nam nie wystarczy. Gdybyśmy charakteryzowali prostą p tylko wektorem $\vec{u}$, wyznaczylibyśmy tylko kierunek prostej, a nie jej konkretne położenie. Nie mielibyśmy jak odróżnić tych trzech prostych:

Nowe proste p₁ i p₂ mają ten sam kierunek co prosta p i ten sam kierunek co wektor $\vec{u}$. Żeby jednoznacznie określić prostą p, potrzebujemy znać jeszcze co najmniej jeden punkt leżący na prostej p. Jeśli powiemy, że prosta p ma kierunek opisany wektorem $\vec{u}$ i przechodzi przez punkt A, to jednoznacznie określimy prostą p. Proste p₁ i p₂ mają co prawda ten sam kierunek, ale żadna z nich nie przechodzi przez punkt A.

Dowolną prostą możemy zapisać jako $p(A, \vec{u})$, gdzie A jest punktem leżącym na prostej, a $\vec{u}$ jest wektorem równoległym do prostej. Na przykład prostą p₁ moglibyśmy zapisać w postaci $p(G, \vec{u})$, a prostą p₂ jako $p(E, \vec{u})$ albo $p(F, \vec{u})$ – możemy użyć dowolnego punktu leżącego na prostej.

Wektor kierunkowy prostej

Jeśli mamy prostą $p(A, \vec{u})$, to wektor $\vec{u}$ nazywamy wektorem kierunkowym prostej. Najprościej znajdziemy wektor kierunkowy tak, że znajdziemy dwa punkty A, B, które leżą na prostej p, a wektorem kierunkowym będzie wtedy odcinek skierowany $\vec{AB}$. Współrzędne tego wektora dostaniemy jako różnicę współrzędnych punktów: $\vec{u}=\vec{AB}=B - A$. Przykład:

Mamy prostą p, a na niej leżą dwa punkty A, B. Wektor kierunkowy będzie równy odcinkowi skierowanemu $\vec{AB}$, więc współrzędne takiego wektora $\vec{u}$ wyznaczymy, obliczając

$$ \vec{u} = \left[u_1, u_2\right] = \left[6-2, 6-4\right] = \left[4, 2\right] $$

Wektor $\vec{u}$ ma wtedy tę samą długość co odcinek skierowany $\vec{AB}$. Ten wektor $\vec{u}$ możemy narysować tak:

Koniec wektora $\vec{u}$ ma współrzędne (4, 2), dokładnie tak, jak obliczyliśmy, i widać, że ten wektor jest równoległy do prostej. Wektor kierunkowy pokazuje nam tylko kierunek prostej, albo może lepiej – „nachylenie prostej”. Wektor kierunkowy musi być tylko równoległy do prostej. Gdybyśmy więc zamiast odcinka skierowanego $\vec{AB}$ wzięli odcinek $\vec{BA}$, wyszedłby nam wektor kierunkowy $\vec{v}=\vec{BA}=A-B$:

$$ \vec{v}=\left[v_1, v_2\right]=\left[2-6, 4-6\right]=\left[-4, -2\right] $$

Na rysunku:

Widzimy, że zielony wektor $\vec{v}$ jest przeciwny do niebieskiego wektora $\vec{u}$. Mimo to oba są wektorami kierunkowymi prostej p, bo oba są równoległe do prostej p.

Równanie parametryczne prostej

Mamy prostą p, punkt A, który leży na tej prostej, i wektor kierunkowy $\vec{u}$. Jaki punkt dostaniemy, jeśli dodamy do punktu A wektor $\vec{u}$? Popatrzmy na rysunek:

Jeśli do punktu, który leży na prostej, dodamy wektor kierunkowy, dostaniemy punkt X, który też leży na tej prostej. W zasadzie tylko „przesuwamy punkt A w kierunku wektora o odległość równą długości wektora $\vec{u}$”. Punkt X ma więc współrzędne:

$$ X=\left(x,y\right)=A+\vec{u}=\left(2+1{,}1+3\right)=\left(3{,}4\right) $$

Jak by to wyglądało, gdybyśmy wzięli tylko połowę wektora $\vec{u}$ albo jego podwojenie? Albo wektor $\vec{u}$ pomnożony przez −1? Znowu pokazuje to rysunek:

Widzimy, że gdy dodamy do punktu A wektor kierunkowy $\vec{u}$ pomnożony przez dowolną liczbę, zawsze dostaniemy punkt, który leży na prostej p. Czerwony punkt A przedstawia „początek”, a zielone punkty wyniki dodawania do punktu A niebieskiego wektora kierunkowego $\vec{u}$ pomnożonego przez różne liczby.

W rzeczywistości jakikolwiek punkt X leżący na prostej p wybierzemy, zawsze możemy go wyrazić jako sumę punktu A i wektora kierunkowego $\vec{u}$ pomnożonego przez pewną liczbę t, gdzie t jest liczbą rzeczywistą. Dla wszystkich punktów X leżących na prostej p możemy powiedzieć, że istnieje t∈ ℝ takie, że

$$ X = A + t\cdot \vec{u}. $$

Innymi słowy – gdybyśmy w tym równaniu podstawiali za t po kolei wszystkie liczby rzeczywiste, dostalibyśmy wszystkie punkty, które tworzą prostą p; dostalibyśmy całą prostą p. To równanie nazywa się równaniem parametrycznym prostej $p(A, \vec{u})$.

Poprzednie równanie możemy zastąpić układem równań. Jeśli punkt X ma współrzędne (x,y), punkt A ma współrzędne (a₁, a₂), a wektor $\vec{u}$ ma współrzędne [u₁, u₂], to możemy zapisać

$$ \left(x,y\right)=\left(a_1,a_2\right)+t\cdot\left[u_1,u_2\right], $$

co można dalej przepisać do wspomnianego już układu równań (osobno wyrazimy współrzędną x i osobno współrzędną y):

$$\begin{eqnarray} x &=& a_1 + t\cdot u_1\\ y &=& a_2 + t\cdot u_2\\ \end{eqnarray}$$

Każdą prostą na płaszczyźnie można opisać tym układem równań.

Ograniczenie parametru

W poprzednim rozdziale powiedzieliśmy, że gdy w równaniu parametrycznym podstawimy za parametr t wszystkie liczby rzeczywiste, dostaniemy prostą. Co by się stało, gdybyśmy nie wzięli wszystkich liczb rzeczywistych, ale powiedzmy tylko połowę z nich – tylko nieujemne liczby rzeczywiste?

Dostalibyśmy półprostą. Gdy wrócimy do tego rysunku…

…to widzimy, że dla wszystkich dodatnich wielokrotności (tzn. dodatniego parametru t) wektora kierunkowego $\vec{u}$ dostaliśmy punkty X, które leżały „nad” punktem A. I odwrotnie – jeśli dodaliśmy ujemną wielokrotność $\vec{u}$ (tzn. ujemny parametr t), to dostaliśmy punkt, który leży „po przeciwnej stronie”, „pod” punktem A. Gdybyśmy za parametr t podstawili wszystkie liczby nieujemne, tzn. t∈<0, ∞), dostalibyśmy taką półprostą r, zaznaczoną na czerwono:

Linia przerywana przedstawia punkty, które dostalibyśmy, gdybyśmy natomiast podstawili za t wszystkie liczby ujemne.

Gdybyśmy za parametr t podstawili wszystkie liczby z przedziału jednostkowego <0,1>, dostalibyśmy odcinek tak samo długi jak wektor kierunkowy. Dostalibyśmy ten czerwony odcinek:

Przykłady

Mamy na płaszczyźnie dwa punkty A = (−1,3) i B = (2,5).

1. Wyznacz równanie parametryczne prostej p przechodzącej przez punkty A, B. Najpierw wyznaczymy wektor kierunkowy. Weźmiemy odcinek skierowany $\vec{AB}$, więc wektor kierunkowy $\vec{u}$ będzie miał współrzędne

   $$ \vec{u}=\left[u_1, u_2\right]=\vec{AB}=\left[2-(-1),5-3\right]=\left[3, 2\right] $$

   Równanie parametryczne prostej ma w ogólności postać $X = A + t \cdot \vec{u}$, po podstawieniu dostajemy więc równanie

   $$ X = \left(-1{,}3\right)+t \cdot \left[3, 2\right] $$

   które możemy przepisać jako układ:

   $$\begin{eqnarray} x_1 &=& -1 + 3t\\ x_2 &=&3 + 2t \end{eqnarray}$$

   Ponieważ opisujemy prostą, t∈ ℝ. Rysunek jest trochę niżej.

2. Wyznacz równanie parametryczne półprostej r, która ma początek w punkcie A i przechodzi przez punkt B. Użyjemy tego samego równania parametrycznego, tylko ograniczymy parametr t. Teraz chodzi tylko o to, czy t∈ <0,∞), czy t∈ (−∞, 0>.

   Wektor kierunkowy dostaliśmy z odcinka skierowanego $\vec{AB}$, co oznacza, że jego początkiem jest A, a końcem B. Dokładnie tak, jak tego potrzebujemy – nasza półprosta też ma mieć początek w punkcie A. Oznacza to, że nie musimy odwracać zwrotu ujemnymi wartościami parametru, więc będziemy brać parametr t z przedziału nieujemnego t∈ <0, ∞).

   Rysunek przedstawiający rozwiązanie tego i poprzedniego zadania.

   

3. Znajdź środek odcinka AB. Możemy postąpić na dwa sposoby: dodać współrzędne punktów A, B i otrzymane współrzędne podzielić przez dwa. Zróbmy to:

   $$ S = \left(\frac{-1+2}{2},\frac{3+5}{2}\right)=\left(\frac12, 4\right) $$

   Ten sam punkt możemy jednak dostać też przez wektor kierunkowy. Dostaliśmy go z odcinka skierowanego $\vec{AB}$, co oznacza, że gdy dodamy $A+\vec{u}$, dostaniemy punkt B. Jeśli więc do A dodamy połowę wektora kierunkowego, dostaniemy środek odcinka AB:

   $$ S = A + \frac12 \vec{u} = \left(-1{,}3\right) +\frac12 \left[3, 2\right] = \left(-1+\frac32, 3+1\right)=\left(\frac12, 4\right) $$

   Widzimy, że wyszedł ten sam punkt. Dla sprawdzenia rysunek: